Campo vectorial solenoide

Campo vectorial con divergencia cero

Un ejemplo de un campo vectorial solenoidal, ${\displaystyle \mathbf {v} (x,y)=(y,-x)}$

En cálculo vectorial, un campo vectorial solenoidal (también conocido como campo vectorial incompresible , campo vectorial sin divergencia o campo vectorial transversal ) es un campo vectorial v con divergencia cero en todos los puntos del campo: una forma común de expresar esto propiedad es decir que el campo no tiene fuentes ni sumideros. ^{[nota 1]} $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0.}$$

Propiedades

El teorema de divergencia da una definición integral equivalente de un campo solenoidal; es decir, que para cualquier superficie cerrada, el flujo total neto a través de la superficie debe ser cero:

${\displaystyle \;\;\mathbf {v} \cdot \,d\mathbf {S} =0,}$

¿Dónde está la normal exterior a cada elemento de la superficie? ${\displaystyle d\mathbf {S} }$

El teorema fundamental del cálculo vectorial establece que cualquier campo vectorial se puede expresar como la suma de un campo irrotacional y uno solenoidal. La condición de divergencia cero se cumple siempre que un campo vectorial v tiene sólo un componente de potencial vectorial , porque la definición del potencial vectorial A como: da como resultado automáticamente la identidad (como se puede demostrar, por ejemplo, usando coordenadas cartesianas): también se cumple: para cualquier solenoidal v existe un potencial vectorial A tal que (Estrictamente hablando, esto se cumple sujeto a ciertas condiciones técnicas en v , ver descomposición de Helmholtz ). $${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} }$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0.}$$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \times \mathbf {A} .}$

Etimología

Solenoide tiene su origen en la palabra griega para solenoide , que es σωληνοειδές (sōlēnoeidēs) que significa en forma de tubería, de σωλην (sōlēn) o tubería.

Ejemplos

• El campo magnético B (ver la ley de Gauss para el magnetismo )
• El campo de velocidades de un flujo de fluido incompresible.
• El campo de vorticidad
• El campo eléctrico E en regiones neutras ( ); ${\displaystyle \rho _{e}=0}$
• La densidad de corriente J donde la densidad de carga es invariable, . ${\textstyle {\frac {\partial \rho _{e}}{\partial t}}=0}$
• El potencial del vector magnético A en calibre de Coulomb

Ver también

• Campos vectoriales longitudinales y transversales
• Función de corriente
• Campo vectorial conservador

Notas

1. Esta afirmación no significa que las líneas de campo de un campo solenoidal deban estar cerradas, ni que no puedan comenzar ni terminar. Para una discusión detallada del tema, ver J. Slepian: "Lines of Force in Electric and Magnetic Fields", American Journal of Physics, vol. 19, págs. 87-90, 1951, y L. Zilberti: "The Misconception of Closed Magnetic Flux Lines", IEEE Magnetics Letters, vol. 8, art. 1306005, 2017.

Referencias

• Aris, Rutherford (1989), Vectores, tensores y ecuaciones básicas de la mecánica de fluidos, Dover, ISBN 0-486-66110-5