Decimal

El sistema de numeración decimal (también llamado sistema de numeración posicional de base diez y denario /ˈd iː n ər i/ [ 1 ] o decanario ) es el sistema estándar para denotar números^enteros y no enteros . Es la extensión a los números no enteros ( fracciones decimales ) del sistema de numeración hindú-arábigo . La forma de denotar números en el sistema decimal a menudo se conoce como notación decimal . ^[2]

Un numeral decimal (también conocido como decimal o, menos correctamente, número decimal ) se refiere en general a la notación de un número en el sistema de numeración decimal. Los decimales a veces se pueden identificar mediante un separador decimal (generalmente "." o "," como en $25.9703$ o $3,1415$ ). ^[3] Decimal también puede referirse específicamente a los dígitos después del separador decimal, como en " $3.14$ es la aproximación de $π$ a dos decimales ". Los dígitos cero después de un separador decimal sirven para indicar la precisión de un valor.

Los números que se pueden representar en el sistema decimal son las fracciones decimales, es decir, fracciones de la forma $a /10 n$ , donde $a$ es un número entero y $n$ es un número entero no negativo . Las fracciones decimales también resultan de la suma de un número entero y una parte fraccionaria ; la suma resultante a veces se denomina número fraccionario .

Los decimales se utilizan comúnmente para aproximar números reales. Si se aumenta el número de dígitos después del separador decimal, se pueden hacer los errores de aproximación tan pequeños como se desee, siempre que se cuente con un método para calcular los nuevos dígitos.

Originalmente y en la mayoría de los usos, un decimal tiene solo un número finito de dígitos después del separador decimal. Sin embargo, el sistema decimal se ha extendido a decimales infinitas para representar cualquier número real , mediante el uso de una secuencia infinita de dígitos después del separador decimal (ver representación decimal ). En este contexto, los decimales habituales, con un número finito de dígitos distintos de cero después del separador decimal, a veces se denominan decimales terminales . Un decimal periódico es un decimal infinito que, después de algún lugar, repite indefinidamente la misma secuencia de dígitos (p. ej., $5,123144144144144... = 5,123 144$ ). ^[4] Un decimal infinito representa un número racional , el cociente de dos enteros, si y solo si es un decimal periódico o tiene un número finito de dígitos distintos de cero.

Origen

Muchos sistemas de numeración de civilizaciones antiguas utilizan diez y sus potencias para representar números, posiblemente porque hay diez dedos en dos manos y la gente comenzó a contar usando sus dedos. Algunos ejemplos son, en primer lugar, los numerales egipcios , luego los numerales Brahmi , los numerales griegos , los numerales hebreos , los numerales romanos y los numerales chinos . ^[5] Los números muy grandes eran difíciles de representar en estos antiguos sistemas de numeración, y solo los mejores matemáticos podían multiplicar o dividir números grandes. Estas dificultades se resolvieron por completo con la introducción del sistema de numeración hindú-arábigo para representar números enteros . Este sistema se ha ampliado para representar algunos números no enteros, llamados fracciones decimales o números decimales , para formar el sistema de numeración decimal . ^[5]

Notación decimal

Para escribir números, el sistema decimal utiliza diez dígitos decimales , un signo decimal y, para los números negativos , un signo menos "−". Los dígitos decimales son , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ; ^[6] el separador decimal es el punto " $.$ " en muchos países (principalmente de habla inglesa), ^[7] y una coma " $,$ " en otros países. ^[3]

Para representar un número no negativo , un numeral decimal consta de

o bien una secuencia (finita) de dígitos (como "2017"), donde la secuencia completa representa un número entero:
$a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}$
o un signo decimal que separa dos secuencias de dígitos (como "20.70828")

a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}

Si $m > 0$ , es decir, si la primera secuencia contiene al menos dos dígitos, generalmente se supone que el primer dígito $a m$ no es cero. En algunas circunstancias puede ser útil tener uno o más 0 a la izquierda; esto no cambia el valor representado por el decimal: por ejemplo, $3,14 = 03,14 = 003,14$ . De manera similar, si el dígito final a la derecha de la marca decimal es cero, es decir, si $b n = 0$ , se puede eliminar; por el contrario, se pueden agregar ceros finales después de la marca decimal sin cambiar el número representado; ^{[nota 1]} por ejemplo, $15 = 15,0 = 15,00$ y $5,2 = 5,20 = 5,200$ .

Para representar un número negativo , se coloca un signo menos antes de $una m$ .

El numeral representa el número $a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}$

a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}

La parte entera o parte integral de un número decimal es el número entero escrito a la izquierda del separador decimal (ver también truncamiento ). Para un número decimal no negativo, es el número entero más grande que no es mayor que el decimal. La parte desde el separador decimal hacia la derecha es la parte fraccionaria , que es igual a la diferencia entre el número y su parte entera.

Cuando la parte entera de un número es cero, puede ocurrir, típicamente en computación , que la parte entera no se escriba (por ejemplo, $.1234$ , en lugar de $0.1234$ ). En la escritura normal, esto generalmente se evita, debido al riesgo de confusión entre el signo decimal y otros signos de puntuación.

En resumen, la contribución de cada dígito al valor de un número depende de su posición en el numeral. Es decir, el sistema decimal es un sistema de numeración posicional .

Fracciones decimales

Las fracciones decimales (a veces llamadas números decimales , especialmente en contextos que involucran fracciones explícitas) son los números racionales que pueden expresarse como una fracción cuyo denominador es una potencia de diez. ^[8] Por ejemplo, las expresiones decimales representan las $fracciones$ $0.8,14.89,0.00079,1.618,3.14159$ $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}4/5⁠$ , $⁠$ $1489 / 100 ⁠$ , $⁠$ $79 / 100000 ⁠$ , $⁠$ $+ 809 / 500 ⁠$ y $⁠$ $+ 314159 / 100000 ⁠$ , y por lo tanto denotan fracciones decimales. Un ejemplo de fracción que no se puede representar mediante una expresión decimal (con un número finito de dígitos) es $⁠$ $1 / 3 3$ no es una potencia de 10.

De manera más general, un decimal con $n$ dígitos después del separador (un punto o una coma) representa la fracción con denominador $10 n$ , cuyo numerador es el número entero obtenido al eliminar el separador.

Se deduce que un número es una fracción decimal si y sólo si tiene una representación decimal finita.

Expresados como fracciones totalmente reducidas , los números decimales son aquellos cuyo denominador es un producto de una potencia de 2 por una potencia de 5. Así, los denominadores más pequeños de los números decimales son

1=2^{0}\cdot 5^{0},2=2^{1}\cdot 5^{0},4=2^{2}\cdot 5^{0},5=2^{0}\cdot 5^{1},8=2^{3}\cdot 5^{0},10=2^{1}\cdot 5^{1},16=2^{4}\cdot 5^{0},20=2^{2}\cdot 5^{1},25=2^{0}\cdot 5^{2},\ldots

Aproximación utilizando números decimales

Los números decimales no permiten una representación exacta de todos los números reales . Sin embargo, permiten aproximar cada número real con cualquier precisión deseada, por ejemplo, el decimal 3,14159 se aproxima a $π$ , siendo menor que 10 ⁻⁵ de diferencia; por lo tanto, los decimales se usan ampliamente en ciencia , ingeniería y vida cotidiana.

Más precisamente, para cada número real $x$ y cada entero positivo $n$ , hay dos decimales $L$ y $u$ con como máximo $n$ dígitos después de la marca decimal tales que $L \leq x \leq u$ y $(u - L) = 10 - n$ .

Los números se obtienen muy a menudo como resultado de una medición . Como las mediciones están sujetas a una incertidumbre de medición con un límite superior conocido , el resultado de una medición se representa bien mediante un decimal con $n$ dígitos después de la marca decimal, tan pronto como el error de medición absoluto esté acotado desde arriba por $10 - n$ . En la práctica, los resultados de la medición a menudo se dan con un cierto número de dígitos después del punto decimal, que indican los límites de error. Por ejemplo, aunque 0,080 y 0,08 denotan el mismo número, el numeral decimal 0,080 sugiere una medición con un error menor que 0,001, mientras que el numeral 0,08 indica un error absoluto acotado por 0,01. En ambos casos, el valor verdadero de la cantidad medida podría ser, por ejemplo, 0,0803 o 0,0796 (ver también cifras significativas ).

Expansión decimal infinita

Para un número real $x$ y un entero $n \geq 0$ , sea $[x] n$ la expansión decimal (finita) del mayor número que no sea mayor que $x$ que tenga exactamente $n$ dígitos después de la coma decimal. Sea $d i$ el último dígito de $[x] i$ . Es fácil ver que $[x] n$ se puede obtener añadiendo $d n$ a la derecha de $[x] n -1$ . De esta manera se tiene

[x] n = [x] 0 . d 1 d 2 ... d n -1 d n

y la diferencia de $[x] n -1$ y $[x] n$ es igual a

\left\vert \left[x\right]_{n}-\left[x\right]_{n-1}\right\vert =d_{n}\cdot 10^{-n}<10^{-n+1}

que es 0, si $d n = 0$ , o se vuelve arbitrariamente pequeño cuando $n$ tiende a infinito. Según la definición de un límite , $x$ es el límite de $[x] n$ cuando $n$ tiende a infinito . Esto se escribe como o ${\textstyle \;x=\lim _{n\rightarrow \infty }[x]_{n}\;}$

x = [x] 0 . d 1 d 2 ... d n ...

lo que se llama una expansión decimal infinita de $x$ .

Por el contrario, para cualquier entero $[x] 0$ y cualquier secuencia de dígitos la expresión (infinita) $[$ $x$ $]$ $0$ $.$ $d$ $1$ $d$ $2$ $...$ $d$ $n$ $...$ es una expansión decimal infinita de un número real $x$ . Esta expansión es única si ni todos $los d$ $n$ son iguales a 9 ni todos $los d$ $n$ son iguales a 0 para $n$ suficientemente grande (para todo $n$ mayor que algún número natural $N$ ). ${\textstyle \;(d_{n})_{n=1}^{\infty }}$

Si todos $los d n$ para $n > N$ son iguales a 9 y $[x] n = [x] 0 . d 1 d 2 ... d n$ , el límite de la sucesión es la fracción decimal obtenida al reemplazar el último dígito que no es un 9, es decir: $d$ $N$ , por $d$ $N$ $+ 1$ , y reemplazar todos los 9 subsiguientes por 0 (ver 0,999... ). ${\textstyle \;([x]_{n})_{n=1}^{\infty }}$

Cualquier fracción decimal de este tipo, es decir: $d n = 0$ para $n > N$ , se puede convertir a su expansión decimal infinita equivalente reemplazando $d N$ por $d N - 1$ y reemplazando todos los 0 subsiguientes por 9 (ver 0,999... ).

En resumen, cada número real que no sea una fracción decimal tiene una única expansión decimal infinita. Cada fracción decimal tiene exactamente dos expansiones decimales infinitas, una que contiene solo ceros después de algún lugar, que se obtiene mediante la definición anterior de $[x] n$ , y la otra que contiene solo nueves después de algún lugar, que se obtiene al definir $[x] n$ como el mayor número que es menor que $x$ , que tiene exactamente $n$ dígitos después de la marca decimal.

Números racionales

La división larga permite calcular la expansión decimal infinita de un número racional . Si el número racional es una fracción decimal, la división se detiene eventualmente, produciendo un numeral decimal, que puede prolongarse en una expansión infinita agregando infinitos ceros. Si el número racional no es una fracción decimal, la división puede continuar indefinidamente. Sin embargo, como todos los residuos sucesivos son menores que el divisor, solo hay un número finito de residuos posibles y, después de algún lugar, la misma secuencia de dígitos debe repetirse indefinidamente en el cociente. Es decir, uno tiene un decimal periódico . Por ejemplo,

⁠181⁠ = 0. 012345679 012... (con el grupo 012345679 repitiéndose indefinidamente).

Lo inverso también es cierto: si en algún punto de la representación decimal de un número la misma cadena de dígitos comienza a repetirse indefinidamente, el número es racional.

o, dividiendo tanto el numerador como el denominador por 6 ,692/1665⁠ .

Cálculo decimal

La mayoría de los sistemas de hardware y software de computadoras modernas suelen utilizar una representación binaria internamente (aunque muchas de las primeras computadoras, como la ENIAC o la IBM 650 , utilizaban una representación decimal internamente). ^[9] Para uso externo por parte de especialistas en informática, esta representación binaria a veces se presenta en los sistemas octal o hexadecimal relacionados.

Sin embargo, para la mayoría de los propósitos, los valores binarios se convierten a o desde los valores decimales equivalentes para su presentación o ingreso por parte de humanos; los programas de computadora expresan literales en decimal de manera predeterminada. (123.1, por ejemplo, está escrito como tal en un programa de computadora, aunque muchos lenguajes de computadora no pueden codificar ese número con precisión).

Tanto el hardware como el software de las computadoras también utilizan representaciones internas que son efectivamente decimales para almacenar valores decimales y realizar operaciones aritméticas. A menudo, esta aritmética se realiza con datos que están codificados utilizando alguna variante del sistema decimal codificado en binario , ^[10]^[11] especialmente en implementaciones de bases de datos, pero existen otras representaciones decimales en uso (incluido el punto flotante decimal , como en las revisiones más recientes del estándar IEEE 754 para aritmética de punto flotante ). ^[12]

La aritmética decimal se utiliza en las computadoras para que los resultados fraccionarios decimales de sumar (o restar) valores con una longitud fija de su parte fraccionaria siempre se calculen con esta misma longitud de precisión. Esto es especialmente importante para los cálculos financieros, por ejemplo, que requieren en sus resultados múltiplos enteros de la unidad monetaria más pequeña para fines de contabilidad. Esto no es posible en binario, porque las potencias negativas de no tienen una representación fraccionaria binaria finita; y generalmente es imposible para la multiplicación (o división). ^[13]^[14] Consulte Aritmética de precisión arbitraria para cálculos exactos. $10$

Historia

Muchas culturas antiguas calculaban con números basados en diez, quizás porque dos manos humanas tienen diez dedos. ^[15] Los pesos estandarizados utilizados en la civilización del valle del Indo ( c. 3300-1300 a. C. ) se basaban en las proporciones: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200 y 500, mientras que su regla estandarizada, la regla Mohenjo-Daro , estaba dividida en diez partes iguales. ^[16]^[17]^[18] Los jeroglíficos egipcios , que se conocen desde alrededor del 3000 a. C., utilizaban un sistema puramente decimal, ^[19] al igual que la escritura lineal A ( c. 1800-1450 a. C. ) de los minoicos ^[20]^[21] y la escritura lineal B (c. 1400-1200 a. C.) de los micénicos . La cultura Únětice en Europa central (2300-1600 a. C.) utilizaba pesos estandarizados y un sistema decimal en el comercio. ^[22] El sistema numérico de la Grecia clásica también utilizaba potencias de diez, incluida una base intermedia de 5, al igual que los números romanos . ^[23] En particular, el polímata Arquímedes (c. 287-212 a. C.) inventó un sistema posicional decimal en su Sand Reckoner que se basaba en 10 ⁸ . ^[23]^{[24] Los jeroglíficos} hititas (desde el siglo XV a. C.) también eran estrictamente decimales. ^[25]

Los numerales hieráticos egipcios, los numerales del alfabeto griego, los numerales del alfabeto hebreo, los numerales romanos, los numerales chinos y los primeros numerales indios Brahmi son todos sistemas decimales no posicionales y requerían una gran cantidad de símbolos. Por ejemplo, los numerales egipcios usaban símbolos diferentes para 10, 20 a 90, 100, 200 a 900, 1000, 2000, 3000, 4000 y 10 000. ^[26] El primer sistema decimal posicional del mundo fue el cálculo de varillas chino . ^[27]

El sistema decimal posicional más antiguo del mundo
Forma vertical de la fila superior
Forma horizontal de la fila inferior

Historia de las fracciones decimales

A partir del siglo II a. C., algunas unidades chinas de longitud se basaban en divisiones en diez; en el siglo III d. C., estas unidades metrológicas se usaban para expresar fracciones decimales de longitudes, no posicionalmente. ^[28] Los cálculos con fracciones decimales de longitudes se realizaban utilizando varillas de conteo posicionales , como se describe en el Sunzi Suanjing del siglo III-V d. C. El matemático del siglo V d. C. Zu Chongzhi calculó una aproximación de 7 dígitos de π . El libro de Qin Jiushao Tratado matemático en nueve secciones (1247) escribe explícitamente una fracción decimal que representa un número en lugar de una medida, utilizando varillas de conteo. ^[29] El número 0,96644 se denota

Los historiadores de la ciencia china han especulado que la idea de las fracciones decimales puede haberse transmitido desde China a Oriente Medio. ^[27]

Al-Khwarizmi introdujo las fracciones en los países islámicos a principios del siglo IX d. C., escribiéndolas con un numerador arriba y un denominador abajo, sin barra horizontal. Esta forma de fracción se siguió utilizando durante siglos. ^[27]^[30]

Las fracciones decimales posicionales aparecen por primera vez en un libro del matemático árabe Abu'l-Hasan al-Uqlidisi escrito en el siglo X. ^[31] El matemático judío Immanuel Bonfils utilizó fracciones decimales alrededor de 1350, pero no desarrolló ninguna notación para representarlas. ^[32] El matemático persa Jamshid al-Kashi utilizó, y afirmó haber descubierto, fracciones decimales en el siglo XV. ^[31]

Un precursor de la notación decimal europea moderna fue introducido por Simon Stevin en el siglo XVI. El influyente folleto de Stevin De Thiende ("el arte de las décimas") se publicó por primera vez en holandés en 1585 y se tradujo al francés como La Disme . ^[33]

John Napier introdujo el uso del punto (.) para separar la parte entera de un número decimal de la parte fraccionaria en su libro sobre la construcción de tablas de logaritmos, publicado póstumamente en 1620. ^[34]^{: p. 8, archivo p. 32)}

Lenguajes naturales

En la India surgió un método para expresar todos los números naturales posibles mediante un conjunto de diez símbolos. ^[35] Varias lenguas indias muestran un sistema decimal sencillo. Las lenguas dravídicas tienen números entre 10 y 20 expresados en un patrón regular de adición hasta 10. ^[36]

El húngaro también utiliza un sistema decimal sencillo. Todos los números entre 10 y 20 se forman de forma regular (por ejemplo, 11 se expresa como "tizenegy", literalmente "uno sobre diez"), al igual que los que están entre 20 y 100 (23 como "huszonhárom" = "tres sobre veinte").

Un sistema de clasificación decimal sencillo con una palabra para cada orden (10十, 100百, 1000千, 10.000万), y en el que 11 se expresa como diez-uno y 23 como dos-diez-tres , y 89.345 se expresa como 8 (decenas de millar)万9 (mil)千3 (centenas)百4 (decenas)十5 se encuentra en chino y en vietnamita con algunas irregularidades. El japonés , el coreano y el tailandés han importado el sistema decimal chino. Muchos otros idiomas con un sistema decimal tienen palabras especiales para los números entre 10 y 20, y las décadas. Por ejemplo, en inglés 11 es "once", no "diez-uno" o "uno-diecinueve".

Las lenguas incas como el quechua y el aimara tienen un sistema decimal casi sencillo, en el que 11 se expresa como diez con uno y 23 como dos-diez con tres .

Algunos psicólogos sugieren que las irregularidades en los nombres de los números en inglés pueden obstaculizar la capacidad de los niños para contar. ^[37]

Otras bases

Algunas culturas utilizan o utilizaban otras bases de números.

Las culturas mesoamericanas precolombinas, como los mayas, utilizaban un sistema de base 20 (quizás basado en el uso de los veinte dedos de las manos y de los pies ).
La lengua yuki en California y las lenguas pameas ^[38] en México tienen sistemas octales ( base -8) porque los hablantes cuentan usando los espacios entre sus dedos en lugar de los dedos mismos. ^[39]
La existencia de una base no decimal en los primeros rastros de las lenguas germánicas está atestiguada por la presencia de palabras y glosas que significan que el conteo es en decimal (cognados a "contar diez" o "contar diez en diez"); esto sería de esperar si el conteo normal no fuera decimal, e inusual si lo fuera. ^[40]^[41] Cuando se conoce este sistema de conteo, se basa en la " centena larga " = 120, y un "mil largo" de 1200. Las descripciones como "largo" solo aparecen después de que la "centena pequeña" de 100 apareciera con los cristianos. La Introducción al nórdico antiguo de Gordon Archivado el 15 de abril de 2016 en Wayback Machine , p. 293, da nombres de números que pertenecen a este sistema. Una expresión cognada a 'ciento ochenta' se traduce a 200, y la cognada a 'doscientos' se traduce a 240. Goodare ^{[ enlace muerto permanente ‍ ]} detalla el uso de la centena larga en Escocia en la Edad Media, dando ejemplos como cálculos donde el acarreo implica i C (es decir, cien) como 120, etc. El hecho de que la población general no se alarmara al encontrar tales números sugiere un uso bastante común. También es posible evitar números similares a cien utilizando unidades intermedias, como piedras y libras, en lugar de un largo conteo de libras. Goodare da ejemplos de números como vii score, donde se evita la centena utilizando puntuaciones extendidas. También hay un artículo de WH Stevenson, sobre 'Long Hundred and its uses in England'. ^[42]^[43]
Muchas o todas las lenguas chumashanas utilizaban originalmente un sistema de conteo de base 4 , en el que los nombres de los números se estructuraban según múltiplos de 4 y 16. ^[44 ]
Muchos idiomas ^[45] utilizan sistemas numéricos quinarios (base 5) , entre ellos el gumatj , el nunggubuyu , ^[46] el kuurn kopan noot ^[47] y el saraveca . De estos, el gumatj es el único idioma conocido que verdaderamente tiene un sistema numérico de 5–25, en el que 25 es el grupo superior de 5.
Algunos nigerianos utilizan sistemas duodecimales . ^[48] Lo mismo hicieron algunas pequeñas comunidades en India y Nepal, como lo indican sus idiomas. ^[49]
Se informa que el idioma huli de Papúa Nueva Guinea tiene números de base 15. ^[50] Ngui significa 15, ngui ki significa 15 × 2 = 30 y ngui ngui significa 15 × 15 = 225.
Se informa que Umbu-Ungu , también conocido como Kakoli, tiene números de base 24. ^[51] Tokapu significa 24, tokapu talu significa 24 × 2 = 48 y tokapu tokapu significa 24 × 24 = 576.
Se informa que el sistema numérico ngiti tiene base 32 con ciclos de base 4. ^[45]
Se informa que el idioma Ndom de Papúa Nueva Guinea tiene numerales de base 6. ^[52] Mer significa 6, mer an thef significa 6 × 2 = 12, nif significa 36 y nif thef significa 36 × 2 = 72.

Véase también

Notas

^ A veces, los ceros adicionales se utilizan para indicar la precisión de una medida. Por ejemplo, "15,00 m" puede indicar que el error de medición es inferior a un centímetro (0,01 m), mientras que "15 m" puede significar que la longitud es de aproximadamente quince metros y que el error puede superar los 10 centímetros.

Referencias

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^ En algunos países, como los de habla árabe , se utilizan otros glifos para los dígitos.
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