Multiplicación cruzada

Técnica matemática

En matemáticas , específicamente en aritmética elemental y álgebra elemental , dada una ecuación entre dos fracciones o expresiones racionales , se puede realizar una multiplicación cruzada para simplificar la ecuación o determinar el valor de una variable.

El método también se conoce a veces como el método de "cruzar el corazón" porque se pueden dibujar líneas que se asemejan al contorno de un corazón para recordar qué cosas se deben multiplicar entre sí.

Dada una ecuación como

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

donde b y d no son cero, se puede realizar una multiplicación cruzada para obtener

${\displaystyle ad=bc\quad {\text{or}}\quad a={\frac {bc}{d}}.}$

En geometría euclidiana se puede lograr el mismo cálculo considerando las razones como las de triángulos semejantes .

Procedimiento

En la práctica, el método de multiplicación cruzada significa que multiplicamos el numerador de cada (o uno) lado por el denominador del otro lado, cruzando efectivamente los términos:

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\nwarrow {\frac {c}{d}},\quad {\frac {a}{b}}\nearrow {\frac {c}{d}}.}$

La justificación matemática del método se encuentra en el siguiente procedimiento matemático más extenso. Si comenzamos con la ecuación básica

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

Podemos multiplicar los términos de cada lado por el mismo número y los términos permanecerán iguales. Por lo tanto, si multiplicamos la fracción de cada lado por el producto de los denominadores de ambos lados, bd , obtenemos

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times bd={\frac {c}{d}}\times bd.}$

Podemos reducir las fracciones a sus términos más bajos observando que las dos ocurrencias de b en el lado izquierdo se cancelan, al igual que las dos ocurrencias de d en el lado derecho, quedando

${\displaystyle ad=bc,}$

y podemos dividir ambos lados de la ecuación por cualquiera de los elementos—en este caso usaremos d —obteniendo

${\displaystyle a={\frac {bc}{d}}.}$

Otra justificación de la multiplicación cruzada es la siguiente: partiendo de la ecuación dada

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}},}$

multiplicar pord/d⁠ = 1 a la izquierda y por ⁠b/b⁠ = 1 a la derecha, obteniendo

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\times {\frac {d}{d}}={\frac {c}{d}}\times {\frac {b}{b}},}$

y entonces

${\displaystyle {\frac {ad}{bd}}={\frac {cb}{db}}.}$

Cancela el denominador común bd = db , quedando

${\displaystyle ad=cb.}$

Cada paso de estos procedimientos se basa en una propiedad fundamental de las ecuaciones . La multiplicación cruzada es un atajo, un procedimiento fácil de entender que se puede enseñar a los estudiantes.

Usar

Este es un procedimiento común en matemáticas, que se utiliza para reducir fracciones o calcular un valor para una variable dada en una fracción. Si tenemos una ecuación

${\displaystyle {\frac {x}{b}}={\frac {c}{d}},}$

donde x es una variable que nos interesa resolver, podemos usar la multiplicación cruzada para determinar que

${\displaystyle x={\frac {bc}{d}}.}$

Por ejemplo, supongamos que queremos saber qué distancia recorrerá un automóvil en 7 horas, si sabemos que su velocidad es constante y que ya recorrió 90 millas en las últimas 3 horas. Al convertir el problema verbal en proporciones, obtenemos

${\displaystyle {\frac {x}{7\ {\text{hours}}}}={\frac {90\ {\text{miles}}}{3\ {\text{hours}}}}.}$

La multiplicación cruzada produce

${\displaystyle x={\frac {7\ {\text{hours}}\times 90\ {\text{miles}}}{3\ {\text{hours}}}},}$

y entonces

${\displaystyle x=210\ {\text{miles}}.}$

Solución alternativa

⁠90 millas/3 horas⁠ =30mph

Entonces, 30 mph × 7 horas = 210 millas.

Tenga en cuenta que incluso ecuaciones simples como

${\displaystyle a={\frac {x}{d}}}$

se resuelven mediante multiplicación cruzada, ya que el término b faltante es implícitamente igual a 1:

${\displaystyle {\frac {a}{1}}={\frac {x}{d}}.}$

Cualquier ecuación que contenga fracciones o expresiones racionales se puede simplificar multiplicando ambos lados por el mínimo común denominador . Este paso se llama despejar fracciones .

Regla de tres

La regla de tres ^[1] era una versión abreviada histórica de una forma particular de multiplicación cruzada que podía enseñarse a los estudiantes de memoria. Se consideraba el punto culminante de la educación matemática colonial ^[2] y todavía figura en el currículo nacional francés para la educación secundaria ^{[3] y en el currículo de educación primaria de España [4]} .

Para una ecuación de la forma

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{x}},}$

donde la variable a evaluar está en el denominador de la derecha, la regla de tres establece que

${\displaystyle x={\frac {bc}{a}}.}$

En este contexto, a se denomina extremo de la proporción, y b y c se denominan medias .

Esta regla ya era conocida por los matemáticos chinos antes del siglo II d.C., ^[5] aunque no se utilizó en Europa hasta mucho después.

La Aritmética de Cocker , el principal libro de texto del siglo XVII, introduce su discusión de la regla de tres ^[6] con el problema "Si 4 yardas de tela cuestan 12 chelines, ¿cuánto costarán 6 yardas a ese ritmo?" La regla de tres da la respuesta a este problema directamente; mientras que en la aritmética moderna, lo resolveríamos introduciendo una variable x para representar el costo de 6 yardas de tela, escribiendo la ecuación

${\displaystyle {\frac {4\ {\text{yards}}}{12\ {\text{shillings}}}}={\frac {6\ {\text{yards}}}{x}}}$

y luego usando la multiplicación cruzada para calcular x :

${\displaystyle x={\frac {12\ {\text{shillings}}\times 6\ {\text{yards}}}{4\ {\text{yards}}}}=18\ {\text{shillings}}.}$

Un manuscrito anónimo fechado en 1570 ^[7] decía: "La multiplicación es una molestia, / la división es igual de mala; / la regla de tres me confunde, / y la práctica me vuelve loco".

Charles Darwin hace referencia a su uso de la regla de tres para estimar el número de especies en un género recién discernido. ^[8] En una carta a William Darwin Fox en 1855, Charles Darwin declaró: “No tengo fe en nada que no sea la medición real y la Regla de Tres”. ^[9] Karl Pearson adoptó esta declaración como lema de su recién fundada revista Biometrika . ^[10]

Doble regla de tres

Una extensión de la regla de tres fue la doble regla de tres , que implicaba encontrar un valor desconocido cuando se conocían cinco valores en lugar de tres.

Un ejemplo de un problema de este tipo podría ser: Si 6 constructores pueden construir 8 casas en 100 días, ¿cuántos días tardarían 10 constructores en construir 20 casas al mismo ritmo?, y esto se puede configurar como

${\displaystyle {\frac {\frac {8\ {\text{houses}}}{100\ {\text{days}}}}{6\ {\text{builders}}}}={\frac {\frac {20\ {\text{houses}}}{x}}{10\ {\text{builders}}}},}$

que, al multiplicarlo dos veces, da

${\displaystyle x={\frac {20\ {\text{houses}}\times 100\ {\text{days}}\times 6\ {\text{builders}}}{8\ {\text{houses}}\times 10\ {\text{builders}}}}=150\ {\text{days}}.}$

La "Canción del jardinero loco " de Lewis Carroll incluye los versos "Pensó ver una puerta de jardín / que se abría con llave: / miró de nuevo, y descubrió que era / una doble regla de tres". ^[11]

Véase también

• Relación cruzada
• Razón de probabilidades
• Traidoras
• Giro (ángulo)
• Método unitario

Referencias

1. A veces también se hacía referencia a esto como la regla de oro , aunque ese uso es poco frecuente en comparación con otros usos de la regla de oro . Véase E. Cobham Brewer (1898). "Regla de oro". Diccionario de frases y fábulas de Brewer . Filadelfia: Henry Altemus.
2. Ubiratan D'Ambrósio; Joseph W. Dauben; Karen Hunger Parshall (2014). "La educación matemática en Estados Unidos en el período premoderno". En Alexander Karp; Gert Schubring (eds.). Manual sobre la historia de la educación matemática . Springer Science. pág. 177. ISBN 978-1-4614-9155-2.
3. "Socle de connaissances, pilier 3". Ministerio de Educación francés. 30 de diciembre de 2012. Consultado el 24 de septiembre de 2015 .
4. "Real Decreto 126/2014, de 28 de febrero, por el que se establece el currículo básico de la Educación Primaria". Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. 28 de febrero de 2014. págs. 19349–19420 . Consultado el 10 de mayo de 2022 .
5. Shen Kangshen; John N. Crossley; Anthony W.-C. Lun (1999). Los nueve capítulos sobre el arte matemático: guía y comentario . Oxford: Oxford University Press.
6. Edward Cocker (1702). Aritmética de Cocker. Londres: John Hawkins. pág. 103.
7. Diccionario Oxford conciso de citas, 1964.
8. Ariew, André (2022). "Charles Darwin como pensador estadístico". Estudios en Historia y Filosofía de la Ciencia . 95 : 215–223. doi :10.1016/j.shpsa.2022.08.005. PMID  36113233. S2CID  252246047.
9. Stigler, Stephen M (7 de marzo de 2016). Los siete pilares de la sabiduría estadística (edición ilustrada). Harvard University Press. ISBN 978-0674088917.
10. Stigler, Stephen M (7 de marzo de 2016). Los siete pilares de la sabiduría estadística (edición ilustrada). Harvard University Press. ISBN 978-0674088917.
11. Sylvie y Bruno , Capítulo 12.

Lectura adicional

• Brian Burell: Guía de matemáticas cotidianas de Merriam-Webster: una referencia para el hogar y la empresa . Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213 , págs. 85-101 
• 'Dr. Matemáticas', Regla de tres
• El Doctor Matemáticas, Abraham Lincoln y la regla de tres
• Sistema aritmético abreviado de Pike: diseñado para facilitar el estudio de la ciencia de los números, comprendiendo las reglas más claras y precisas, ilustradas con ejemplos útiles; a lo que se añaden preguntas apropiadas para el examen de los eruditos y un breve sistema de contabilidad, 1827 - facsímil de la sección pertinente
• La regla de tres tal como la aplicó Miguel de Rodas en el siglo XV
• La regla de tres en Mother Goose
• Rudyard Kipling: Puedes calcularlo con fracciones o con la simple regla de tres, pero el método de Tweedle-dum no es el método de Tweedle-dee.

Enlaces externos

• Medios relacionados con Multiplicación cruzada en Wikimedia Commons