Limpiando denominadores

Método para simplificar ecuaciones

En matemáticas , el método de limpieza de denominadores , también llamado limpieza de fracciones , es una técnica para simplificar una ecuación igualando dos expresiones que son cada una una suma de expresiones racionales , lo que incluye fracciones simples .

Ejemplo

Considere la ecuación

${\displaystyle {\frac {x}{6}}+{\frac {y}{15z}}=1.}$

El mínimo común múltiplo de los dos denominadores 6 y 15 z es 30 z , por lo que se multiplican ambos lados por 30 z :

${\displaystyle 5xz+2y=30z.\,}$

El resultado es una ecuación sin fracciones.

La ecuación simplificada no es completamente equivalente a la original, ya que cuando sustituimos y = 0 y z = 0 en la última ecuación, ambos lados se simplifican a 0, por lo que obtenemos 0 = 0 , una verdad matemática. Pero la misma sustitución aplicada a la ecuación original da como resultado x /6 + 0/0 = 1 , lo cual no tiene sentido matemático .

Descripción

Sin pérdida de generalidad , podemos suponer que el lado derecho de la ecuación es 0, ya que una ecuación E ₁ = E ₂ puede reescribirse de manera equivalente en la forma E ₁ − E ₂ = 0 .

Así que dejemos que la ecuación tenga la forma

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=0.}$

El primer paso es determinar un denominador común D de estas fracciones, preferiblemente el mínimo común denominador , que es el mínimo común múltiplo de Q _i .

Esto significa que cada Q _i es un factor de D , por lo que D = R _i Q _i para alguna expresión R _i que no sea una fracción. Entonces

${\displaystyle {\frac {P_{i}}{Q_{i}}}={\frac {R_{i}P_{i}}{R_{i}Q_{i}}}={\frac {R_{i}P_{i}}{D}}\,,}$

siempre que R _i Q _i no asuma el valor 0 – en cuyo caso también D es igual a 0.

Así que ahora tenemos

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {R_{i}P_{i}}{D}}={\frac {1}{D}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0.}$

Siempre que D no asuma el valor 0, la última ecuación es equivalente a

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0\,,}$

en el que los denominadores han desaparecido.

Como lo muestran las condiciones, se debe tener cuidado de no introducir ceros de D –considerados como una función de las incógnitas de la ecuación– como soluciones espurias .

Ejemplo 2

Considere la ecuación

${\displaystyle {\frac {1}{x(x+1)}}+{\frac {1}{x(x+2)}}-{\frac {1}{(x+1)(x+2)}}=0.}$

El mínimo común denominador es x ( x + 1)( x + 2) .

Siguiendo el método descrito anteriormente se obtiene como resultado:

${\displaystyle (x+2)+(x+1)-x=0.}$

Simplificando esto aún más obtenemos la solución x = −3 .

Se comprueba fácilmente que ninguno de los ceros de x ( x + 1)( x + 2) – es decir, x = 0 , x = −1 y x = −2 – es una solución de la ecuación final, por lo que no se introdujeron soluciones espurias.

Referencias

• Richard N. Aufmann; Joanne Lockwood (2012). Álgebra: nivel inicial e intermedio (3.ª ed.). Cengage Learning. pág. 88. ISBN 978-1-133-70939-8.