Integral de Riemann-Stieltjes

Generalización de la integral de Riemann

En matemáticas , la integral de Riemann-Stieltjes es una generalización de la integral de Riemann , llamada así por Bernhard Riemann y Thomas Joannes Stieltjes . La definición de esta integral fue publicada por primera vez en 1894 por Stieltjes. ^[1] Sirve como un precursor instructivo y útil de la integral de Lebesgue , y una herramienta invaluable para unificar formas equivalentes de teoremas estadísticos que se aplican a la probabilidad discreta y continua.

Definición formal

La integral de Riemann-Stieltjes de una función de valor real de una variable real en el intervalo con respecto a otra función de valor real a real se denota por ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \int _{x=a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x).}$

Su definición utiliza una secuencia de particiones del intervalo ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle P=\{a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}=b\}.}$

La integral, entonces, se define como el límite, a medida que la malla (la longitud del subintervalo más largo) de las particiones se acerca a , de la suma aproximada ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle S(P,f,g)=\sum _{i=0}^{n-1}f(c_{i})\left[g(x_{i+1})-g(x_{i})\right]}$

donde está en el subintervalo -ésimo . Las dos funciones y se denominan respectivamente integrando e integrador . Normalmente se considera monótona (o al menos de variación acotada ) y semicontinua por la derecha (sin embargo, esto último es esencialmente una convención). Específicamente, no requerimos que sea continua, lo que permite integrales que tienen términos de masa puntual. ${\displaystyle c_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle [x_{i};x_{i+1}]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

El "límite" se entiende aquí como un número A (el valor de la integral de Riemann-Stieltjes) tal que para cada ε  > 0, existe δ  > 0 tal que para cada partición P con malla( P ) <  δ , y para cada elección de puntos c _i en [ x _i ,  x _{i +1} ],

${\displaystyle |S(P,f,g)-A|<\varepsilon .\,}$

Propiedades

La integral de Riemann-Stieltjes admite integración por partes en la forma

$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=f(b)g(b)-f(a)g(a)-\int _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} f(x)}$$

y la existencia de cualquiera de las integrales implica la existencia de la otra. ^[2]

Por otra parte, un resultado clásico ^[3] muestra que la integral está bien definida si f es α - Hölder continua y g es β -Hölder continua con α + β > 1  .

Si está acotado en , aumenta monótonamente y es integrable en Riemann, entonces la integral de Riemann-Stieltjes está relacionada con la integral de Riemann por ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle g'(x)}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x}$$

Para una función escalonada donde , si es continua en , entonces $${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\leq s\\1&{\text{if }}x>s\\\end{cases}}}$$ ${\displaystyle a<s<b}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=f(s)}$$

Aplicación a la teoría de la probabilidad

Si g es la función de distribución de probabilidad acumulada de una variable aleatoria X que tiene una función de densidad de probabilidad con respecto a la medida de Lebesgue , y f es cualquier función para la cual el valor esperado es finito, entonces la función de densidad de probabilidad de X es la derivada de g y tenemos ${\displaystyle \operatorname {E} \left[\,\left|f(X)\right|\,\right]}$

${\displaystyle \operatorname {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x.}$

Pero esta fórmula no funciona si X no tiene una función de densidad de probabilidad con respecto a la medida de Lebesgue. En particular, no funciona si la distribución de X es discreta (es decir, toda la probabilidad se explica por masas puntuales), e incluso si la función de distribución acumulativa g es continua, no funciona si g no es absolutamente continua (de nuevo, la función de Cantor puede servir como un ejemplo de esta falla). Pero la identidad

${\displaystyle \operatorname {E} [f(X)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} g(x)}$

se cumple si g es cualquier función de distribución de probabilidad acumulada en la línea real, sin importar cuán mal se comporte. En particular, sin importar cuán mal se comporte la función de distribución acumulada g de una variable aleatoria X , si existe el momento E( X ⁿ ), entonces es igual a

${\displaystyle \operatorname {E} \left[X^{n}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,\mathrm {d} g(x).}$

Aplicación al análisis funcional

La integral de Riemann-Stieltjes aparece en la formulación original del teorema de F. Riesz que representa el espacio dual del espacio de Banach C [ a , b ] de funciones continuas en un intervalo [ a , b ] como integrales de Riemann-Stieltjes frente a funciones de variación acotada . Posteriormente, ese teorema fue reformulado en términos de medidas.

La integral de Riemann-Stieltjes también aparece en la formulación del teorema espectral para operadores autoadjuntos (o, más generalmente, normales) (no compactos) en un espacio de Hilbert. En este teorema, la integral se considera con respecto a una familia espectral de proyecciones. ^[4]

Existencia de la integral

El mejor teorema de existencia simple establece que si f es continua y g es de variación acotada en [ a , b ], entonces la integral existe. ^{[5] [6] [7]} Debido a la fórmula de integración por partes, la integral también existe si la condición en f y g está invertida, es decir, si f es de variación acotada y g es continua.

Una función g es de variación acotada si y solo si es la diferencia entre dos funciones monótonas (acotadas). Si g no es de variación acotada, entonces habrá funciones continuas que no se puedan integrar con respecto a g . En general, la integral no está bien definida si f y g comparten puntos de discontinuidad , pero también hay otros casos.

Interpretación geométrica

Un gráfico 3D, con , y a lo largo de ejes ortogonales, conduce a una interpretación geométrica de la integral de Riemann-Stieltjes. ^[8] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$

La geometría básica de la integral de Riemann-Stieljes.

Si el plano - es horizontal y la dirección - apunta hacia arriba, entonces la superficie a considerar es como una cerca curva. La cerca sigue la curva trazada por , y la altura de la cerca está dada por . La cerca es la sección de la lámina - (es decir, la curva extendida a lo largo del eje) que está limitada entre el plano - y la lámina -. La integral de Riemann-Stieljes es el área de la proyección de esta cerca sobre el plano - - en efecto, su "sombra". La pendiente de pondera el área de la proyección. Los valores de para los cuales tiene la pendiente más pronunciada corresponden a regiones de la cerca con la mayor proyección y, por lo tanto, tienen el mayor peso en la integral. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle g'(x)}$

Los efectos de la curvatura en la geometría de la integral de Riemann-Stieljes. ${\displaystyle g(x)}$

¿Cuándo es una función escalonada? ${\displaystyle g}$ $${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x\leq s\\1&{\text{if }}x>s\\\end{cases}}}$$

La valla tiene una "puerta" rectangular de ancho 1 y altura igual a . Por lo tanto, la puerta y su proyección tienen un área igual al valor de la integral de Riemann-Stieljes. ${\displaystyle f(s)}$ ${\displaystyle f(s),}$

El efecto de una función escalonada en la geometría de la integral de Riemann-Stieljes. ${\displaystyle g(x)}$

Generalización

Una generalización importante es la integral de Lebesgue-Stieltjes , que generaliza la integral de Riemann-Stieltjes de manera análoga a cómo la integral de Lebesgue generaliza la integral de Riemann. Si se permiten integrales de Riemann-Stieltjes impropias , entonces la integral de Lebesgue no es estrictamente más general que la integral de Riemann-Stieltjes.

La integral de Riemann-Stieltjes también se generaliza ^{[ cita requerida ]} al caso en el que el integrando ƒ o el integrador g toman valores en un espacio de Banach . Si g  : [ a , b ] → X toma valores en el espacio de Banach X , entonces es natural suponer que es de variación fuertemente acotada , lo que significa que

${\displaystyle \sup \sum _{i}\|g(t_{i-1})-g(t_{i})\|_{X}<\infty }$

El supremo siendo asumido sobre todas las particiones finitas

${\displaystyle a=t_{0}\leq t_{1}\leq \cdots \leq t_{n}=b}$

del intervalo [ a , b ]. Esta generalización juega un papel en el estudio de los semigrupos , a través de la transformada de Laplace-Stieltjes .

La integral de Itô extiende la integral de Riemann-Stietjes para abarcar integrandos e integradores que son procesos estocásticos en lugar de funciones simples; véase también cálculo estocástico .

Integral generalizada de Riemann-Stieltjes

Una ligera generalización ^[9] consiste en considerar en la definición anterior particiones P que refinan otra partición P _ε , lo que significa que P surge de P _ε mediante la adición de puntos, en lugar de a partir de particiones con una malla más fina. Específicamente, la integral generalizada de Riemann-Stieltjes de f con respecto a g es un número A tal que para cada ε  > 0 existe una partición P _ε tal que para cada partición P que refina P _ε ,

${\displaystyle |S(P,f,g)-A|<\varepsilon \,}$

para cada elección de puntos c _i en [ x _i ,  x _{i +1} ].

Esta generalización exhibe la integral de Riemann-Stieltjes como el límite de Moore-Smith en el conjunto dirigido de particiones de [ a ,  b ]. ^{[10] [11]}

Una consecuencia es que con esta definición, la integral todavía puede definirse en los casos donde f y g tienen un punto de discontinuidad en común. ${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)}$

Sumas de Darboux

La integral de Riemann–Stieltjes se puede manejar de manera eficiente utilizando una generalización apropiada de las sumas de Darboux . Para una partición P y una función no decreciente g en [ a ,  b ] defina la suma de Darboux superior de f con respecto a g mediante

$${\displaystyle U(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}\,\,[\,g(x_{i})-g(x_{i-1})\,]\,\sup _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x)}$$

y la suma inferior por

$${\displaystyle L(P,f,g)=\sum _{i=1}^{n}\,\,[\,g(x_{i})-g(x_{i-1})\,]\,\inf _{x\in [x_{i-1},x_{i}]}f(x).}$$

Entonces, la función de Riemann-Stieltjes generalizada de f con respecto a g existe si y sólo si, para cada ε > 0, existe una partición P tal que

${\displaystyle U(P,f,g)-L(P,f,g)<\varepsilon .}$

Además, f es integrable por Riemann-Stieltjes con respecto a g (en el sentido clásico) si

${\displaystyle \lim _{\operatorname {mesh} (P)\to 0}[\,U(P,f,g)-L(P,f,g)\,]=0.\quad }$^[12]

Ejemplos y casos especiales

Diferenciablegramo(incógnita)

Dado un que es continuamente diferenciable sobre él se puede demostrar que existe la igualdad ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x}$

donde la integral del lado derecho es la integral de Riemann estándar, asumiendo que puede integrarse mediante la integral de Riemann-Stieltjes. ${\displaystyle f}$

De manera más general, la integral de Riemann es igual a la integral de Riemann-Stieltjes si es la integral de Lebesgue de su derivada; en este caso se dice que es absolutamente continua . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

Puede ser el caso que tenga discontinuidades de salto, o puede tener derivada cero casi en todas partes mientras sigue siendo continua y creciente (por ejemplo, podría ser la función de Cantor o la “escalera del diablo”), en cualquiera de los casos la integral de Riemann-Stieltjes no es capturada por ninguna expresión que involucre derivadas de g . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$

Integral de Riemann

La integral de Riemann estándar es un caso especial de la integral de Riemann-Stieltjes donde . ${\displaystyle g(x)=x}$

Rectificador

Considere la función utilizada en el estudio de redes neuronales , llamada unidad lineal rectificada (ReLU) . Entonces, la ecuación de Riemann-Stieltjes se puede evaluar como ${\displaystyle g(x)=\max\{0,x\}}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)=\int _{g(a)}^{g(b)}f(x)\,\mathrm {d} x}$

donde la integral en el lado derecho es la integral de Riemann estándar.

Integración de Cavalieri

Visualización de la integral de Cavaliere para la función ${\displaystyle f(x)=(2x+8)^{3}}$

El principio de Cavalieri se puede utilizar para calcular áreas limitadas por curvas utilizando integrales de Riemann-Stieltjes. ^[13] Las franjas de integración de la integración de Riemann se reemplazan con franjas que no tienen forma rectangular. El método consiste en transformar una "región de Cavalieri" con una transformación o utilizar como integrando. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g=h^{-1}}$

Para una función dada en un intervalo , una "función traslacional" debe intersecar exactamente una vez para cualquier desplazamiento en el intervalo. Una "región de Cavaliere" está entonces limitada por , el eje y . El área de la región es entonces ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a(y)}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle f(x),a(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b(y)=a(y)+(b-a)}$

${\displaystyle \int _{a(y)}^{b(y)}f(x)\,dx\ =\ \int _{a'}^{b'}f(x)\,dg(x),}$

donde y son los valores donde y se intersecan . ${\displaystyle a'}$ ${\displaystyle b'}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle a(y)}$ ${\displaystyle b(y)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Notas

1. Stieltjes (1894), págs. 68–71.
2. Hille y Phillips (1974), §3.3.
3. Joven (1936).
4. Véase Riesz y Sz. Nagy (1990) para más detalles.
5. Johnsonbaugh y Pfaffenberger (2010), pág. 219.
6. Rudin (1964), págs. 121-122.
7. Kolmogorov y Fomin (1975), pág. 368.
8. Bullock (1988)
9. Introducido por Pollard (1920) y ahora estándar en el análisis.
10. McShane (1952).
11. Hildebrandt (1938) la llama la integral de Pollard–Moore–Stieltjes .
12. Graves (1946), Cap. XII, §3.
13. TL Grobler, ER Ackermann, AJ van Zyl y JC Olivier Cavaliere Integración del Consejo de Investigación Científica e Industrial

Referencias

• Bullock, Gregory L. (mayo de 1988). "Una interpretación geométrica de la integral de Riemann-Stieltjes". The American Mathematical Monthly . 95 (5). Asociación Matemática de Estados Unidos: 448–455. doi :10.1080/00029890.1988.11972030. JSTOR  2322483.{{cite journal}}: CS1 maint: date and year (link)
• Graves, Lawrence (1946). La teoría de funciones de variables reales. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. McGraw-Hill.a través de HathiTrust
• Hildebrandt, TH (1938). "Definiciones de las integrales de Stieltjes del tipo Riemann". The American Mathematical Monthly . 45 (5): 265–278. doi :10.1080/00029890.1938.11990804. ISSN  0002-9890. JSTOR  2302540. MR  1524276.
• Hille, Einar ; Phillips, Ralph S. (1974). Análisis funcional y semigrupos . Providence, RI: American Mathematical Society . MR  0423094.
• Johnsonbaugh, Richard F. ; Pfaffenberger, William Elmer (2010). Fundamentos del análisis matemático . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-47766-4.
• Kolmogorov, Andrey ; Fomin, Sergei V. (1975) [1970]. Introducción al análisis real . Traducido por Silverman, Richard A. (edición revisada en inglés). Dover Press. ISBN 0-486-61226-0.
• McShane, EJ (1952). "Ordenamientos parciales y límite de Moore-Smith" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 59 : 1–11. doi :10.2307/2307181. JSTOR  2307181. Consultado el 2 de noviembre de 2010 .
• Pollard, Henry (1920). "La integral de Stieltjes y sus generalizaciones". Revista trimestral de matemáticas puras y aplicadas . 49 .
• Riesz, F.; Sz. Nagy, B. (1990). Análisis funcional . Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-66289-6.
• Rudin, Walter (1964). Principios del análisis matemático (Segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill.
• Shilov, GE; Gurevich, BL (1978). Integral, medida y derivada: un enfoque unificado . Traducido por Silverman, Richard A. Dover Publications. Bibcode :1966imdu.book.....S. ISBN 0-486-63519-8.
• Stieltjes, Thomas Jan (1894). "Continúan las investigaciones sobre las fracciones". Ana. fac. Ciencia. Tolosa . VIII : 1–122. SEÑOR  1344720.
• Stroock, Daniel W. (1998). Una breve introducción a la teoría de la integración (3.ª ed.). Birkhauser. ISBN 0-8176-4073-8.
• Young, LC (1936). "Una desigualdad del tipo Hölder, conectada con la integración de Stieltjes". Acta Mathematica . 67 (1): 251–282. doi : 10.1007/bf02401743 .