Tensor de tensión de Maxwell

Descripción matemática en electromagnetismo.

El tensor de tensión de Maxwell (llamado así en honor a James Clerk Maxwell ) es un tensor simétrico de segundo orden utilizado en el electromagnetismo clásico para representar la interacción entre las fuerzas electromagnéticas y el momento mecánico . En situaciones simples, como una carga puntual que se mueve libremente en un campo magnético homogéneo, es fácil calcular las fuerzas sobre la carga a partir de la ley de fuerzas de Lorentz . Cuando la situación se vuelve más complicada, este procedimiento ordinario puede volverse imprácticamente difícil, con ecuaciones que abarcan varias líneas. Por lo tanto, es conveniente recopilar muchos de estos términos en el tensor de tensión de Maxwell y utilizar la aritmética de tensor para encontrar la respuesta al problema que nos ocupa.

En la formulación relativista del electromagnetismo, el tensor de Maxwell aparece como parte del tensor de tensión-energía electromagnética , que es el componente electromagnético del tensor de tensión-energía total . Este último describe la densidad y el flujo de energía y momento en el espacio-tiempo .

Motivación

Como se describe a continuación, la fuerza electromagnética se escribe en términos de y . Utilizando el cálculo vectorial y las ecuaciones de Maxwell , se busca la simetría en los términos que contienen y , y la introducción del tensor de tensión de Maxwell simplifica el resultado. ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

1. Comenzando con la ley de fuerzas de Lorentz
   $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\\[3pt]&=\int (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\rho \mathrm {d} \tau \end{aligned}}}$$
   la fuerza por unidad de volumen es
   $${\displaystyle \mathbf {f} =\rho \mathbf {E} +\mathbf {J} \times \mathbf {B} }$$
2. A continuación, y puede sustituirse por los campos y , utilizando la ley de Gauss y la ley del circuito de Ampère : ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$
   $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} }$$
3. La derivada del tiempo se puede reescribir en algo que se pueda interpretar físicamente, es decir, el vector de Poynting . Usando la regla del producto y la ley de inducción de Faraday se obtiene
   $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {E} \times \mathbf {B} )={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} +\mathbf {E} \times {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\times \mathbf {B} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )}$$
   y ahora podemos reescribir como ${\displaystyle \mathbf {f} }$
   $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} \right)\mathbf {E} +{\frac {1}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\times \mathbf {B} -\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right)-\varepsilon _{0}\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} ),}$$
   luego recopila términos con y da ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$
   $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[-\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$$
4. Parece que "falta" un término en la simetría en y , que se puede lograr insertando debido a la ley de Gauss para el magnetismo : ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \left({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {B} }$
   $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} -\mathbf {E} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )\right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} -\mathbf {B} \times \left({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} \right)\right]-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$$
   Eliminando los rizos (que son bastante complicados de calcular), utilizando el cálculo vectorial de identidad.
   $${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} )=\mathbf {A} \times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )+(\mathbf {A} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {A} ,}$$
   lleva a:
   $${\displaystyle \mathbf {f} =\varepsilon _{0}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )\mathbf {E} +(\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E} \right]+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left[({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} )\mathbf {B} +(\mathbf {B} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} \right]-{\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\nabla }}\left(\varepsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)-\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {E} \times \mathbf {B} \right).}$$
5. Esta expresión contiene todos los aspectos del electromagnetismo y el momento y es relativamente fácil de calcular. Se puede escribir de forma más compacta introduciendo el tensor de tensión de Maxwell ,
   $${\displaystyle \sigma _{ij}\equiv \varepsilon _{0}\left(E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}E^{2}\right)+{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\delta _{ij}B^{2}\right).}$$
   Todos menos el último término de pueden escribirse como la divergencia tensorial del tensor de tensión de Maxwell, dando: ${\displaystyle \mathbf {f} }$
   $${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {f} +\varepsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {S} }{\partial t}}\,,}$$
   Como en el teorema de Poynting , el segundo término en el lado derecho de la ecuación anterior se puede interpretar como la derivada temporal de la densidad de momento del campo EM, mientras que el primer término es la derivada temporal de la densidad de momento de las partículas masivas. De esta forma, la ecuación anterior será la ley de conservación del momento en la electrodinámica clásica. donde se ha introducido el vector de Poynting
   $${\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} .}$$

En la relación anterior para la conservación del impulso, es la densidad de flujo de impulso y juega un papel similar al del teorema de Poynting . ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$

La derivación anterior supone un conocimiento completo de y (cargas y corrientes tanto libres como limitadas). Para el caso de materiales no lineales (como el hierro magnético con una curva BH), se debe utilizar el tensor de tensión de Maxwell no lineal. ^[1] ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbf {J} }$

Ecuación

En física , el tensor de tensión de Maxwell es el tensor de tensión de un campo electromagnético . Como se derivó anteriormente en unidades SI , viene dado por:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{0}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)\delta _{ij}}$,

donde es la constante eléctrica y es la constante magnética , es el campo eléctrico , es el campo magnético y es el delta de Kronecker . En unidades cgs gaussianas , viene dada por: ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle \mu _{0}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{4\pi }}\left(E_{i}E_{j}+H_{i}H_{j}-{\frac {1}{2}}\left(E^{2}+H^{2}\right)\delta _{ij}\right)}$,

¿ Dónde está el campo magnetizante ? ${\displaystyle \mathbf {H} }$

Una forma alternativa de expresar este tensor es:

${\displaystyle {\overset {\leftrightarrow }{\boldsymbol {\sigma }}}={\frac {1}{4\pi }}\left[\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} +\mathbf {H} \otimes \mathbf {H} -{\frac {E^{2}+H^{2}}{2}}\mathbb {I} \right]}$

donde está el producto diádico y el último tensor es la díada unitaria: ${\displaystyle \otimes }$

${\displaystyle \mathbb {I} \equiv {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}=\left(\mathbf {\hat {x}} \otimes \mathbf {\hat {x}} +\mathbf {\hat {y}} \otimes \mathbf {\hat {y}} +\mathbf {\hat {z}} \otimes \mathbf {\hat {z}} \right)}$

El elemento del tensor de tensión de Maxwell tiene unidades de impulso por unidad de área por unidad de tiempo y da el flujo de impulso paralelo al eje ésimo que cruza una superficie normal al eje ésimo (en dirección negativa) por unidad de tiempo. ${\displaystyle ij}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Estas unidades también pueden verse como unidades de fuerza por unidad de área (presión negativa), y el elemento del tensor también puede interpretarse como la fuerza paralela al eje enésimo que sufre una superficie normal al eje enésimo por unidad de área. . De hecho, los elementos diagonales dan la tensión (tracción) que actúa sobre un elemento de área diferencial normal al eje correspondiente. A diferencia de las fuerzas debidas a la presión de un gas ideal, un elemento de área en el campo electromagnético también siente una fuerza en una dirección que no es normal al elemento. Este corte viene dado por los elementos fuera de la diagonal del tensor de tensión. ${\displaystyle ij}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

En magnetostática

Si el campo es sólo magnético (lo que es cierto en gran medida en los motores, por ejemplo), algunos de los términos desaparecen y la ecuación en unidades SI se convierte en:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{i}B_{j}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{ij}\,.}$

Para objetos cilíndricos, como el rotor de un motor, esto se simplifica aún más a:

${\displaystyle \sigma _{rt}={\frac {1}{\mu _{0}}}B_{r}B_{t}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\delta _{rt}\,.}$

donde es el corte en la dirección radial (hacia afuera del cilindro) y es el corte en la dirección tangencial (alrededor del cilindro). Es la fuerza tangencial la que hace girar el motor. es la densidad de flujo en la dirección radial y es la densidad de flujo en la dirección tangencial. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle B_{r}}$ ${\displaystyle B_{t}}$

En electrostática

En electrostática los efectos del magnetismo no están presentes. En este caso el campo magnético desaparece, es decir , y obtenemos el tensor de tensión electrostático de Maxwell . Está dado en forma de componentes por ${\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {0} }$

${\displaystyle \sigma _{ij}=\varepsilon _{0}E_{i}E_{j}-{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}E^{2}\delta _{ij}}$

y en forma simbólica por

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\varepsilon _{0}\mathbf {E} \otimes \mathbf {E} -{\frac {1}{2}}\varepsilon _{0}(\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} )\mathbf {I} }$

¿ Dónde suele estar el tensor de identidad apropiado ? ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle {\big (}}$ ${\displaystyle 3\times 3{\big )}}$

Valor propio

Los valores propios del tensor de tensión de Maxwell vienen dados por:

${\displaystyle \{\lambda \}=\left\{-\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}+{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right),~\pm {\sqrt {\left({\frac {\epsilon _{0}}{2}}E^{2}-{\frac {1}{2\mu _{0}}}B^{2}\right)^{2}+{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left({\boldsymbol {E}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right)^{2}}}\right\}}$

Estos valores propios se obtienen aplicando iterativamente el lema del determinante matricial , junto con la fórmula de Sherman-Morrison .

Teniendo en cuenta que la matriz de ecuación característica, , se puede escribir como ${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } }$

${\displaystyle {\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$

dónde

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\left(\epsilon _{0}E^{2}+{\frac {1}{\mu _{0}}}B^{2}\right)}$

establecimos

${\displaystyle \mathbf {U} =-\left(\lambda +V\right)\mathbf {\mathbb {I} } +\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}$

Aplicando el lema del determinante de la matriz una vez, esto nos da

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\det {\left(\mathbf {U} \right)}}$

Aplicándolo nuevamente se obtiene,

${\displaystyle \det {\left({\overleftrightarrow {\boldsymbol {\sigma }}}-\lambda \mathbf {\mathbb {I} } \right)}=\left(1+{\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {U} ^{-1}\mathbf {B} \right)\left(1-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }{\lambda +V}}\right)\left(-\lambda -V\right)^{3}}$

Desde el último multiplicando del lado derecho, vemos inmediatamente que es uno de los valores propios. ${\displaystyle \lambda =-V}$

Para encontrar la inversa de , utilizamos la fórmula de Sherman-Morrison: ${\displaystyle \mathbf {U} }$

${\displaystyle \mathbf {U} ^{-1}=-\left(\lambda +V\right)^{-1}-{\frac {\epsilon _{0}\mathbf {E} \mathbf {E} ^{\textsf {T}}}{\left(\lambda +V\right)^{2}-\left(\lambda +V\right)\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} }}}$

Factorizando un término en el determinante, nos queda encontrar los ceros de la función racional: ${\displaystyle \left(-\lambda -V\right)}$

${\displaystyle \left(-\left(\lambda +V\right)-{\frac {\epsilon _{0}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}}{\mu _{0}\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}}\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}\mathbf {E} ^{\textsf {T}}\mathbf {E} \right)}$

Así, una vez que resolvamos

${\displaystyle -\left(\lambda +V\right)\left(-\left(\lambda +V\right)+\epsilon _{0}E^{2}\right)-{\frac {\epsilon _{0}}{\mu _{0}}}\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}=0}$

obtenemos los otros dos valores propios.

Ver también

• cálculo de ricci
• Densidad de energía de los campos eléctricos y magnéticos.
• Vector de puntería
• Tensor de energía-estrés electromagnético
• Presión magnética
• Fuerza de tensión magnética

Referencias

1. Brauer, John R. (13 de enero de 2014). Actuadores y sensores magnéticos. John Wiley e hijos. ISBN 9781118754979.

• David J. Griffiths , "Introducción a la electrodinámica", págs. 351–352, Benjamin Cummings Inc., 2008
• John David Jackson, "Electrodinámica clásica, 3.ª edición", John Wiley & Sons, Inc., 1999.
• Richard Becker, "Campos electromagnéticos e interacciones", Dover Publications Inc., 1964.