Grupo simple esporádico
En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Mathieu M 23 es un grupo simple esporádico de orden
- 2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 11 · 23 = 10200960
- ≈ 1 × 10 7 .
Historia y propiedades
M 23 es uno de los 26 grupos esporádicos y fue introducido por Mathieu (1861, 1873). Es un grupo de permutación transitiva cuádruple sobre 23 objetos. El multiplicador de Schur y el grupo de automorfismos externos son triviales .
Milgram (2000) calculó la cohomología integral y demostró en particular que M 23 tiene la propiedad inusual de que los primeros 4 grupos de homología integral se desvanecen.
El problema inverso de Galois parece no estar resuelto para M 23 . En otras palabras, no parece que se conozca ningún polinomio en Z[ x ] que tenga M 23 como su grupo de Galois . El problema inverso de Galois está resuelto para todos los demás grupos simples esporádicos.
Construcción utilizando campos finitos
Sea F 2 11 el cuerpo finito de 2 11 elementos. Su grupo de unidades tiene orden 2 11 − 1 = 2047 = 23 · 89, por lo que tiene un subgrupo cíclico C de orden 23.
El grupo de Mathieu M 23 puede identificarse con el grupo de automorfismos lineales F 2 de F 2 11 que estabilizan C . Más precisamente, la acción de este grupo de automorfismos sobre C puede identificarse con la acción transitiva cuádruple de M 23 sobre 23 objetos.
Representaciones
M 23 es el estabilizador puntual de la acción del grupo de Mathieu M24 en 24 puntos, lo que le da una representación de permutación 4-transitiva en 23 puntos con estabilizador puntual el grupo de Mathieu M22 .
M 23 tiene 2 acciones diferentes de rango 3 sobre 253 puntos. Una es la acción sobre pares desordenados con tamaños de órbita 1+42+210 y estabilizador de punto M 21 .2, y la otra es la acción sobre heptadas con tamaños de órbita 1+112+140 y estabilizador de punto 2 4 .A 7 .
La representación integral correspondiente a la acción de permutación sobre 23 puntos se descompone en la representación trivial y en una representación de 22 dimensiones. La representación de 22 dimensiones es irreducible sobre cualquier cuerpo de característica distinta de 2 o 23.
Sobre el campo de orden 2, tiene dos representaciones de 11 dimensiones, las restricciones de las representaciones correspondientes del grupo de Mathieu M24 .
Subgrupos máximos
Hay 7 clases de conjugación de subgrupos máximos de M 23 como sigue:
- M 22 , orden 443520
- PSL(3,4):2, orden 40320, órbitas de 21 y 2
- 2 4 :A 7 , orden 40320, órbitas de 7 y 16
- Estabilizador del bloque W 23
- A 8 , orden 20160, órbitas de 8 y 15
- M 11 , orden 7920, órbitas de 11 y 12
- (2 4 :A 5 ):S 3 o M 20 :S 3 , orden 5760, órbitas de 3 y 20 (5 bloques de 4)
- Estabilizador de un punto del grupo sexteto
- 23:11, orden 253, simplemente transitivo
Clases de conjugación
Referencias
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Enlaces externos
- MathWorld: Grupos de Mathieu
- Atlas de representaciones de grupos finitos: M23
