Grupo simple esporádico
En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Mathieu M 22 es un grupo simple esporádico de orden
- 2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 11 = 443520
- ≈ 4 × 105 .
Historia y propiedades
M 22 es uno de los 26 grupos esporádicos y fue introducido por Mathieu (1861, 1873). Es un grupo de permutación transitiva triple sobre 22 objetos. El multiplicador de Schur de M 22 es cíclico de orden 12 y el grupo de automorfismos externos tiene orden 2.
Existen varias afirmaciones incorrectas sobre la parte 2 del multiplicador de Schur en la literatura matemática. Burgoyne y Fong (1966) afirmaron incorrectamente que el multiplicador de Schur de M 22 tiene orden 3, y en una corrección Burgoyne y Fong (1968) afirmaron incorrectamente que tiene orden 6. Esto provocó un error en el título del artículo Janko (1976) que anunciaba el descubrimiento del grupo de Janko J4 . Mazet (1979) demostró que el multiplicador de Schur es de hecho cíclico de orden 12.
Adem y Milgram (1995) calcularon la 2-parte de toda la cohomología de M 22 .
Representaciones
M 22 tiene una representación de permutación 3-transitiva en 22 puntos, con estabilizador de puntos el grupo PSL 3 (4), a veces llamado M 21 . Esta acción fija un sistema de Steiner S(3,6,22) con 77 hexadas, cuyo grupo de automorfismos completo es el grupo de automorfismos M 22 .2 de M 22 .
M 22 tiene tres representaciones de permutación de rango 3 : una en las 77 hexadas con estabilizador de punto 2 4 :A 6 , y dos acciones de rango 3 en 176 heptadas que son conjugadas bajo un automorfismo externo y tienen estabilizador de punto A 7 .
M 22 es el estabilizador puntual de la acción de M 23 en 23 puntos, y también el estabilizador puntual de la acción de rango 3 del grupo Higman–Sims en 100 = 1+22+77 puntos.
La triple cubierta 3.M 22 tiene una representación fiel en 6 dimensiones sobre el campo con 4 elementos.
La cubierta séxtuple de M 22 aparece en el centralizador 2 1+12 .3.(M 22 :2) de una involución del grupo Janko J4 .
Subgrupos máximos
No existen subgrupos propios transitivos en los 22 puntos. Existen 8 clases de conjugación de subgrupos maximalistas de M 22, como sigue:
- PSL(3,4) o M 21 , orden 20160: estabilizador de un punto
- 2 4 :A 6 , orden 5760, órbitas de 6 y 16
- Estabilizador del bloque W 22
- A 7 , orden 2520, órbitas de 7 y 15
- Hay 2 conjuntos, de 15 cada uno, de subgrupos simples de orden 168. Los de un tipo tienen órbitas de 1, 7 y 14; los otros tienen órbitas de 7, 8 y 7.
- Conjugado al tipo precedente en M 22 :2.
- 2 4 :S 5 , orden 1920, órbitas de 2 y 20 (5 bloques de 4)
- Un estabilizador de 2 puntos en el grupo sexteto
- 2 3 :PSL(3,2), orden 1344, órbitas de 8 y 14
- M 10 , orden 720, órbitas de 10 y 12 (2 bloques de 6)
- Un estabilizador de un punto de M 11 (punto en la órbita de 11)
- Una extensión de grupo no dividido de la forma A 6 .2
- PSL(2,11), orden 660, órbitas de 11 y 11
- Otro estabilizador de un punto de M 11 (punto en órbita de 12)
Clases de conjugación
Hay 12 clases de conjugación, aunque las dos clases de elementos de orden 11 están fusionadas bajo un automorfismo externo.
Véase también
Referencias
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Enlaces externos
- MathWorld: Grupos de Mathieu
- Atlas de representaciones de grupos finitos: M22
