Operador de Laplace-Beltrami

Operador que generaliza el laplaciano en geometría diferencial

En geometría diferencial , el operador de Laplace-Beltrami es una generalización del operador de Laplace a funciones definidas en subvariedades del espacio euclidiano y, de forma más general, en variedades riemannianas y pseudoriemannianas . Recibe su nombre en honor a Pierre-Simon Laplace y Eugenio Beltrami .

Para cualquier función real dos veces diferenciable f definida en el espacio euclidiano R ⁿ , el operador de Laplace (también conocido como el Laplaciano ) toma f como la divergencia de su campo de vectores gradiente , que es la suma de las n segundas derivadas puras de f con respecto a cada vector de una base ortonormal para R ⁿ . Al igual que el Laplaciano, el operador de Laplace-Beltrami se define como la divergencia del gradiente y es un operador lineal que convierte funciones en funciones. El operador se puede extender para operar sobre tensores como la divergencia de la derivada covariante. Alternativamente, el operador se puede generalizar para operar sobre formas diferenciales utilizando la divergencia y la derivada exterior . El operador resultante se llama operador de Laplace-de Rham (llamado así por Georges de Rham ).

Detalles

El operador de Laplace-Beltrami, al igual que el laplaciano, es la divergencia (riemanniana) del gradiente (riemanniano) :

${\displaystyle \Delta f={\rm {div}}(\nabla f).}$

Es posible una fórmula explícita en coordenadas locales .

Supongamos primero que M es una variedad riemanniana orientada . La orientación permite especificar una forma de volumen definida en M , dada en un sistema de coordenadas orientado x ⁱ por

${\displaystyle \operatorname {vol} _{n}:={\sqrt {|g|}}\;dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$

donde | g | := |det( g _ij )| es el valor absoluto del determinante del tensor métrico , y dx ⁱ son las 1-formas que forman el marco dual al marco

${\displaystyle \partial _{i}:={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

del fibrado tangente y es el producto cuña . ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \wedge }$

La divergencia de un campo vectorial en la variedad se define entonces como la función escalar con la propiedad ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nabla \cdot X}$

${\displaystyle (\nabla \cdot X)\operatorname {vol} _{n}:=L_{X}\operatorname {vol} _{n}}$

donde L _X es la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial X . En coordenadas locales, se obtiene

${\displaystyle \nabla \cdot X={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}X^{i}\right)}$

donde aquí y abajo está implícita la notación de Einstein , de modo que se suma el índice repetido i .

El gradiente de una función escalar ƒ es el campo vectorial grad f que puede definirse a través del producto interno en la variedad, como ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

${\displaystyle \langle \operatorname {grad} f(x),v_{x}\rangle =df(x)(v_{x})}$

para todos los vectores v _x anclados en el punto x en el espacio tangente T _x M de la variedad en el punto x . Aquí, d ƒ es la derivada exterior de la función ƒ ; es una 1-forma que toma el argumento v _x . En coordenadas locales, se tiene

${\displaystyle \left(\operatorname {grad} f\right)^{i}=\partial ^{i}f=g^{ij}\partial _{j}f}$

donde g ^ij son los componentes del inverso del tensor métrico , de modo que g ^ij g _jk = δ ⁱ _k con δ ⁱ _k el delta de Kronecker .

Combinando las definiciones de gradiente y divergencia, la fórmula para el operador de Laplace-Beltrami aplicado a una función escalar ƒ es, en coordenadas locales

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}\partial _{j}f\right).}$

Si M no está orientada, entonces el cálculo anterior se realiza exactamente como se presenta, excepto que la forma de volumen debe reemplazarse por un elemento de volumen (una densidad en lugar de una forma). Ni el gradiente ni la divergencia dependen realmente de la elección de la orientación, y por lo tanto el operador de Laplace-Beltrami en sí no depende de esta estructura adicional.

Autoadherencia formal

La derivada exterior y son adjuntos formales, en el sentido de que para una función con soporte compacto ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle -\nabla }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{M}df(X)\operatorname {vol} _{n}=-\int _{M}f\nabla \cdot X\operatorname {vol} _{n}}$     (prueba)

donde la última igualdad es una aplicación del teorema de Stokes . La dualización da

para todas las funciones con soporte compacto y . Por el contrario, ( 2 ) caracteriza completamente al operador de Laplace-Beltrami, en el sentido de que es el único operador con esta propiedad. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$

Como consecuencia, el operador de Laplace-Beltrami es negativo y formalmente autoadjunto, lo que significa que para funciones con soporte compacto y , ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle \int _{M}f\,\Delta h\operatorname {vol} _{n}=-\int _{M}\langle df,dh\rangle \operatorname {vol} _{n}=\int _{M}h\,\Delta f\operatorname {vol} _{n}.}$

Debido a que el operador de Laplace-Beltrami, tal como se define de esta manera, es negativo en lugar de positivo, a menudo se define con el signo opuesto.

Valores propios del operador de Laplace-Beltrami (teorema de Lichnerowicz-Obata)

Sea M una variedad riemanniana compacta sin borde. Queremos considerar la ecuación de valor propio,

${\displaystyle -\Delta u=\lambda u,}$

donde es la función propia asociada con el valor propio . Se puede demostrar usando la autoadjunción demostrada anteriormente que los valores propios son reales. La compacidad de la variedad permite demostrar que los valores propios son discretos y, además, el espacio vectorial de funciones propias asociadas con un valor propio dado , es decir, los espacios propios son todos de dimensión finita. Observe que al tomar la función constante como una función propia, obtenemos es un valor propio. Además, dado que hemos considerado una integración por partes, se muestra que . Más precisamente, si multiplicamos la ecuación del valor propio a través de por la función propia e integramos la ecuación resultante en obtenemos (usando la notación ): ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle -\Delta }$ ${\displaystyle \lambda \geq 0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle dV=\operatorname {vol} _{n}}$

${\displaystyle -\int _{M}\Delta u\ u\ dV=\lambda \int _{M}u^{2}\ dV}$

Realizando una integración por partes o lo que es lo mismo que utilizar el teorema de divergencia sobre el término de la izquierda, y como no tiene frontera obtenemos ${\displaystyle M}$

${\displaystyle -\int _{M}\Delta u\ u\ dV=\int _{M}|\nabla u|^{2}\ dV}$

Juntando las dos últimas ecuaciones llegamos a

${\displaystyle \int _{M}|\nabla u|^{2}\ dV=\lambda \int _{M}u^{2}\ dV}$

Concluimos de la última ecuación que . ${\displaystyle \lambda \geq 0}$

Un resultado fundamental de André Lichnerowicz ^[1] establece que: Dada una variedad riemanniana compacta de n dimensiones sin límite con . Supongamos que la curvatura de Ricci satisface el límite inferior: ${\displaystyle n\geq 2}$

${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,X)\geq \kappa g(X,X),\kappa >0,}$

donde es el tensor métrico y es cualquier vector tangente en la variedad . Entonces el primer valor propio positivo de la ecuación de valores propios satisface el límite inferior: ${\displaystyle g(\cdot ,\cdot )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$

${\displaystyle \lambda _{1}\geq {\frac {n}{n-1}}\kappa .}$

Este límite inferior es preciso y se logra en la esfera . De hecho, en el espacio propio para es tridimensional y abarcado por la restricción de las funciones de coordenadas de a . Usando coordenadas esféricas , en la esfera bidimensional, establezca ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$ ${\displaystyle (\theta ,\phi )}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}}$

${\displaystyle x_{3}=\cos \phi =u_{1},}$

Vemos fácilmente a partir de la fórmula para el laplaciano esférico que se muestra a continuación que

${\displaystyle -\Delta _{\mathbb {S} ^{2}}u_{1}=2u_{1}}$

De esta forma, el límite inferior del teorema de Lichnerowicz se alcanza al menos en dos dimensiones.

^{Por el contrario, Morio Obata [2]} demostró que si la variedad riemanniana compacta n -dimensional sin borde fuera tal que para el primer valor propio positivo se tiene, ${\displaystyle \lambda _{1}}$

${\displaystyle \lambda _{1}={\frac {n}{n-1}}\kappa ,}$

entonces la variedad es isométrica a la esfera n -dimensional , la esfera de radio . Se pueden encontrar pruebas de todas estas afirmaciones en el libro de Isaac Chavel. ^[3] También se cumplen límites agudos análogos para otras geometrías y para ciertos laplacianos degenerados asociados con estas geometrías como el laplaciano de Kohn (según Joseph J. Kohn ) en una variedad CR compacta . Existen aplicaciones para la incrustación global de tales variedades CR en ^[4] ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}{\bigg (}{\sqrt {\frac {n-1}{\kappa }}}{\bigg )}}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {n-1}{\kappa }}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

Tensor Laplaciano

El operador de Laplace-Beltrami se puede escribir utilizando la traza (o contracción) de la derivada covariante iterada asociada con la conexión de Levi-Civita. El hessiano (tensor) de una función es el 2-tensor simétrico ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \displaystyle {\mbox{Hess}}f\in \mathbf {\Gamma } ({\mathsf {T}}^{*}M\otimes {\mathsf {T}}^{*}M)}$, , ${\displaystyle {\mbox{Hess}}f:=\nabla ^{2}f\equiv \nabla \nabla f\equiv \nabla \mathrm {d} f}$

donde df denota la derivada (exterior) de una función f .

Sea X _i una base de campos vectoriales tangentes (no necesariamente inducidos por un sistema de coordenadas). Entonces, los componentes de Hess f están dados por

${\displaystyle ({\mbox{Hess}}f)_{ij}={\mbox{Hess}}f(X_{i},X_{j})=\nabla _{X_{i}}\nabla _{X_{j}}f-\nabla _{\nabla _{X_{i}}X_{j}}f}$

Se ve fácilmente que esto se transforma tensorialmente, ya que es lineal en cada uno de los argumentos X _i , X _j . El operador de Laplace-Beltrami es entonces la traza (o contracción ) del hessiano con respecto a la métrica:

${\displaystyle \displaystyle \Delta f:=\mathrm {tr} \nabla \mathrm {d} f\in {\mathsf {C}}^{\infty }(M)}$.

Más precisamente, esto significa

${\displaystyle \displaystyle \Delta f(x)=\sum _{i=1}^{n}\nabla \mathrm {d} f(X_{i},X_{i})}$,

o en términos de la métrica

${\displaystyle \Delta f=\sum _{ij}g^{ij}({\mbox{Hess}}f)_{ij}.}$

En índices abstractos , el operador a menudo se escribe

${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{a}\nabla _{a}f}$

siempre que se entienda implícitamente que este rastro es de hecho el rastro del tensor de Hesse .

Debido a que la derivada covariante se extiende canónicamente a tensores arbitrarios , el operador de Laplace-Beltrami definido en un tensor T por

${\displaystyle \Delta T=g^{ij}\left(\nabla _{X_{i}}\nabla _{X_{j}}T-\nabla _{\nabla _{X_{i}}X_{j}}T\right)}$

Está bien definido.

Operador de Laplace-de Rham

De manera más general, se puede definir un operador diferencial laplaciano sobre secciones del fibrado de formas diferenciales en una variedad pseudoriemanniana . En una variedad riemanniana es un operador elíptico , mientras que en una variedad lorentziana es hiperbólico . El operador de Laplace–de Rham se define por

${\displaystyle \Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} =(\mathrm {d} +\delta )^{2},\;}$

donde d es la derivada o diferencial exterior y δ es la codiferencial , actuando como (−1) ^{kn + n +1} ∗d∗ en k -formas, donde ∗ es la estrella de Hodge . El operador de primer orden es el operador de Hodge–Dirac. ^[5] ${\displaystyle \mathrm {d} +\delta }$

Al calcular el operador de Laplace-de Rham en una función escalar f , tenemos δf = 0 , de modo que

${\displaystyle \Delta f=\delta \,\mathrm {d} f.}$

Hasta un signo global, el operador de Laplace-de Rham es equivalente a la definición previa del operador de Laplace-Beltrami cuando actúa sobre una función escalar; véase la prueba para más detalles. En funciones, el operador de Laplace-de Rham es en realidad el negativo del operador de Laplace-Beltrami, ya que la normalización convencional del codiferencial asegura que el operador de Laplace-de Rham es (formalmente) definido positivo , mientras que el operador de Laplace-Beltrami es típicamente negativo. El signo es meramente una convención, y ambos son comunes en la literatura. El operador de Laplace-de Rham difiere más significativamente del laplaciano tensorial restringido a actuar sobre tensores antisimétricos. Aparte del signo incidental, los dos operadores difieren por una identidad de Weitzenböck que involucra explícitamente al tensor de curvatura de Ricci .

Ejemplos

Se pueden resolver explícitamente muchos ejemplos del operador de Laplace-Beltrami.

Espacio euclidiano

En las coordenadas cartesianas usuales (ortonormales) x ⁱ en el espacio euclidiano , la métrica se reduce a la delta de Kronecker y, por lo tanto, se tiene . En consecuencia, en este caso ${\displaystyle |g|=1}$

${\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}{\sqrt {|g|}}\partial ^{i}f=\partial _{i}\partial ^{i}f}$

que es el laplaciano ordinario. En coordenadas curvilíneas , como las esféricas o cilíndricas , se obtienen expresiones alternativas .

De manera similar, el operador de Laplace-Beltrami correspondiente a la métrica de Minkowski con signatura (− + + +) es el d'Alembertiano .

Laplaciano esférico

El laplaciano esférico es el operador de Laplace-Beltrami sobre la ( n − 1) -esfera con su métrica canónica de curvatura seccional constante 1. Es conveniente considerar la esfera como isométricamente incrustada en R ⁿ como la esfera unitaria centrada en el origen. Entonces, para una función f sobre S ^{n −1} , el laplaciano esférico se define por

${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}f(x)=\Delta f(x/|x|)}$

donde f ( x /| x |) es la extensión homogénea de grado cero de la función f hasta R ⁿ  − {0}, y es el laplaciano del espacio euclidiano ambiental. En concreto, esto se deduce de la conocida fórmula del laplaciano euclidiano en coordenadas polares esféricas: ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \Delta f=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{n-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}f.}$

De manera más general, se puede formular un truco similar usando el fibrado normal para definir el operador de Laplace-Beltrami de cualquier variedad de Riemann incrustada isométricamente como una hipersuperficie del espacio euclidiano.

También se puede dar una descripción intrínseca del operador de Laplace-Beltrami sobre la esfera en un sistema de coordenadas normal . Sean ( ϕ , ξ ) coordenadas esféricas sobre la esfera con respecto a un punto particular p de la esfera (el "polo norte"), es decir coordenadas polares geodésicas con respecto a p . Aquí ϕ representa la medida de latitud a lo largo de una geodésica de velocidad unitaria desde p , y ξ un parámetro que representa la elección de la dirección de la geodésica en S ^{n −1} . Entonces el laplaciano esférico tiene la forma:

${\displaystyle \Delta _{S^{n-1}}f(\xi ,\phi )=(\sin \phi )^{2-n}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left((\sin \phi )^{n-2}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\right)+(\sin \phi )^{-2}\Delta _{\xi }f}$

donde es el operador de Laplace-Beltrami en la unidad ordinaria ( n − 2) -esfera. En particular, para la 2-esfera ordinaria usando la notación estándar para coordenadas polares obtenemos: ${\displaystyle \Delta _{\xi }}$

${\displaystyle \Delta _{S^{2}}f(\theta ,\phi )=(\sin \phi )^{-1}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left(\sin \phi {\frac {\partial f}{\partial \phi }}\right)+(\sin \phi )^{-2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}f}$

Espacio hiperbólico

Una técnica similar funciona en el espacio hiperbólico . Aquí el espacio hiperbólico H ^{n −1} puede incorporarse al espacio de Minkowski de n dimensiones , un espacio vectorial real dotado de la forma cuadrática

${\displaystyle q(x)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}.}$

Entonces H ⁿ es el subconjunto del futuro cono nulo en el espacio de Minkowski dado por

${\displaystyle H^{n}=\{x\mid q(x)=1,x_{1}>1\}.\,}$

Entonces

${\displaystyle \Delta _{H^{n-1}}f=\left.\Box f\left(x/q(x)^{1/2}\right)\right|_{H^{n-1}}}$

Aquí está la extensión homogénea de grado cero de f hacia el interior del futuro cono nulo y □ es el operador de onda ${\displaystyle f(x/q(x)^{1/2})}$

${\displaystyle \Box ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}-\cdots -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}.}$

El operador también puede escribirse en coordenadas polares. Sean ( t , ξ ) las coordenadas esféricas de la esfera con respecto a un punto particular p de H ^{n −1} (por ejemplo, el centro del disco de Poincaré ). Aquí t representa la distancia hiperbólica desde p y ξ un parámetro que representa la elección de la dirección de la geodésica en S ^{n −2} . Entonces el laplaciano hiperbólico tiene la forma:

${\displaystyle \Delta _{H^{n-1}}f(t,\xi )=\sinh(t)^{2-n}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\sinh(t)^{n-2}{\frac {\partial f}{\partial t}}\right)+\sinh(t)^{-2}\Delta _{\xi }f}$

donde es el operador de Laplace-Beltrami en la unidad ordinaria ( n  − 2)-esfera. En particular, para el plano hiperbólico utilizando la notación estándar para coordenadas polares obtenemos: ${\displaystyle \Delta _{\xi }}$

${\displaystyle \Delta _{H^{2}}f(r,\theta )=\sinh(r)^{-1}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(\sinh(r){\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+\sinh(r)^{-2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}f}$

Véase también

• Derivada covariante
• Operadores laplacianos en geometría diferencial
• Operador de Laplace

Notas

1. Lichnerowicz, André (1958). Geometría de grupos de transformaciones . París: Dunod.
2. Obata, Morio (1962). "Ciertas condiciones para que una variedad de Riemann sea isométrica con una esfera". J. Math. Soc. Jpn . 14 (3): 333–340. doi : 10.2969/jmsj/01430333 .
3. Chavel, Isaac (1984), Valores propios en geometría riemanniana , Matemáticas puras y aplicadas, vol. 115 (2.ª ed.), Academic Press, ISBN 978-0-12-170640-1
4. Chanillo, Sagun, Chiu, Hung-Lin y Yang, Paul C. (2012). "Incorporabilidad para colectores CR tridimensionales e invariantes CR Yamabe". Revista de Matemáticas de Duke . 161 (15): 2909–2921. arXiv : 1007.5020 . doi :10.1215/00127094-1902154. S2CID  304301.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. McIntosh, Alan; Monniaux, Sylvie (2018). "Operadores Hodge–Dirac, Hodge–Laplaciano y Hodge–Stokes en espacios $L^p$ en dominios de Lipschitz". Revista Matemática Iberoamericana . 34 (4): 1711–1753. arXiv : 1608.01797 . doi :10.4171/RMI/1041. S2CID  119123242.

Referencias

• Flanders, Harley (1989), Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas , Dover, ISBN 978-0-486-66169-8
• Jost, Jürgen (2002), Geometría riemanniana y análisis geométrico , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2.
• Solomentsev, ED; Shikin, EV (2001) [1994], "Ecuación de Laplace-Beltrami", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press