Indeterminado (variable)

Símbolo tratado como una variable matemática

En matemáticas , una variable indeterminada o formal es una variable (un símbolo , generalmente una letra) que se utiliza de manera puramente formal en una expresión matemática , pero que no representa ningún valor. ^{[1] [2] [ se necesita una mejor fuente ]}

En análisis , una expresión matemática como ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3x^{2}+4x}$ se toma generalmente para representar una cantidad cuyo valor es una función de su variable ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ , y la variable en sí se toma para representar una cantidad desconocida o cambiante. Dos expresiones funcionales de este tipo se consideran iguales siempre que su valor sea igual para cada valor posible de ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ dentro del dominio de las funciones . En álgebra , sin embargo, las expresiones de este tipo se toman típicamente para representar objetos en sí mismos, elementos de alguna estructura algebraica – aquí un polinomio , elemento de un anillo polinomial . Un polinomio se puede definir formalmente como la secuencia de sus coeficientes , en este caso ⁠ ⁠ ${\displaystyle [0,4,3]}$ , y la expresión ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3x^{2}+4x}$ o más explícitamente ⁠ ⁠ ${\displaystyle 0x^{0}+4x^{1}+3x^{2}}$ es solo una notación alternativa conveniente, con potencias de lo indeterminado ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$ utilizadas para indicar el orden de los coeficientes. Dos de estos polinomios formales se consideran iguales siempre que sus coeficientes sean iguales. A veces, estos dos conceptos de igualdad no coinciden.

Algunos autores reservan la palabra variable para designar una cantidad desconocida o cambiante, y distinguen estrictamente los conceptos de variable e indeterminado . Otros autores utilizan indistintamente el nombre de variable para ambos.

Los indeterminados aparecen en polinomios , fracciones racionales (razones de polinomios), series de potencias formales y, de forma más general, en expresiones que se consideran objetos independientes.

Una propiedad fundamental de un indeterminado es que puede sustituirse por cualquier expresión matemática a la que se apliquen las mismas operaciones que las aplicadas al indeterminado.

Algunos autores de libros de texto de álgebra abstracta definen un indeterminado sobre un anillo R como un elemento de un anillo mayor que es trascendental sobre R. ^{[3] [4] [5]} Esta definición poco común implica que todo número trascendental y todo polinomio no constante deben considerarse indeterminados.

Polinomios

Un polinomio en una indeterminada es una expresión de la forma , donde se denominan coeficientes del polinomio. Dos de estos polinomios son iguales solo si los coeficientes correspondientes son iguales. ^[6] Por el contrario, dos funciones polinómicas en una variable pueden ser iguales o no en un valor particular de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots +a_{n}X^{n}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Por ejemplo, las funciones

${\displaystyle f(x)=2+3x,\quad g(x)=5+2x}$

son iguales cuando y no iguales en caso contrario. Pero los dos polinomios ${\displaystyle x=3}$

${\displaystyle 2+3X,\quad 5+2X}$

son desiguales, ya que 2 no es igual a 5, y 3 no es igual a 2. De hecho,

${\displaystyle 2+3X=a+bX}$

no se cumple a menos que y . Esto se debe a que no es, y no designa, un número. ${\displaystyle a=2}$ ${\displaystyle b=3}$ ${\displaystyle X}$

La distinción es sutil, ya que un polinomio en se puede convertir en una función en mediante sustitución. Pero la distinción es importante porque se puede perder información cuando se realiza esta sustitución. Por ejemplo, al trabajar en módulo 2 , tenemos que: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle 0-0^{2}=0,\quad 1-1^{2}=0,}$

Por lo tanto, la función polinómica es idénticamente igual a 0 para cualquier valor en el sistema módulo 2. Sin embargo, el polinomio no es el polinomio cero, ya que los coeficientes 0, 1 y −1, respectivamente, no son todos cero. ${\displaystyle x-x^{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X-X^{2}}$

Serie de potencias formales

Una serie de potencias formal en una indeterminada es una expresión de la forma , donde no se asigna ningún valor al símbolo . ^[7] Esto es similar a la definición de un polinomio, excepto que un número infinito de coeficientes puede ser distinto de cero. A diferencia de las series de potencias que se encuentran en el cálculo, las cuestiones de convergencia son irrelevantes (ya que no hay ninguna función en juego). Por lo tanto, se permiten series de potencias que divergirían para valores de , como . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\ldots }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1+x+2x^{2}+6x^{3}+\ldots +n!x^{n}+\ldots \,}$

Como generadores

Los indeterminados son útiles en álgebra abstracta para generar estructuras matemáticas . Por ejemplo, dado un cuerpo , el conjunto de polinomios con coeficientes en es el anillo polinómico con la adición y multiplicación de polinomios como operaciones. En particular, si se utilizan dos indeterminados y , entonces el anillo polinómico también utiliza estas operaciones, y la convención sostiene que . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle K[X,Y]}$ ${\displaystyle XY=YX}$

Los indeterminados también pueden utilizarse para generar un álgebra libre sobre un anillo conmutativo . Por ejemplo, con dos indeterminados y , el álgebra libre incluye sumas de cadenas en y , con coeficientes en , y con el entendimiento de que y no son necesariamente idénticos (ya que el álgebra libre es, por definición, no conmutativa). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A\langle X,Y\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle XY}$ ${\displaystyle YX}$

Véase también

• Ecuación indeterminada
• Forma indeterminada
• Sistema indeterminado

Notas

1. McCoy (1960, págs. 189, 190)
2. Joseph Miller Thomas (1974). Una introducción a las raíces. William Byrd Press. ASIN  B0006W3EBY.
3. Lewis, Donald J. (1965). Introducción al Álgebra. Nueva York: Harper & Row . pag. 160. LCCN  65-15743.
4. Landin, Joseph (1989). Introducción a las estructuras algebraicas. Nueva York: Dover Publications . pág. 204. ISBN. 0-486-65940-2.
5. Marcus, Marvin (1978). Introducción al álgebra moderna. Nueva York: Marcel Dekker . pág. 140-141. ISBN. 0-8247-6479-X.
6. Herstein 1975, Sección 3.9.
7. Weisstein, Eric W. "Serie de potencias formales". mathworld.wolfram.com . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .

Referencias

• Herstein, IN (1975). Temas de álgebra. Wiley. ISBN 047102371X.
• McCoy, Neal H. (1960), Introducción al álgebra moderna, Boston: Allyn y Bacon , LCCN  68015225