Sistema indeterminado

En matemáticas , particularmente en álgebra , un sistema indeterminado es un sistema de ecuaciones simultáneas (por ejemplo, ecuaciones lineales ) que tiene más de una solución (a veces infinitas soluciones). ^[1] En el caso de un sistema lineal, se puede decir que el sistema está subespecificado , en cuyo caso la presencia de más de una solución implicaría un número infinito de soluciones (ya que el sistema sería descriptible en términos de al menos una variable libre ^[2] ), pero esa propiedad no se extiende a los sistemas no lineales (por ejemplo, el sistema con la ecuación ). ${\displaystyle x^{2}=1}$

Un sistema indeterminado por definición es consistente , en el sentido de tener al menos una solución. ^[3] Para un sistema de ecuaciones lineales, el número de ecuaciones en un sistema indeterminado podría ser igual al número de incógnitas, menor que el número de incógnitas (un sistema subdeterminado ) o mayor que el número de incógnitas (un sistema sobredeterminado ). Por el contrario, cualquiera de esos tres casos puede ser indeterminado o no.

Ejemplos

Los siguientes ejemplos de sistemas de ecuaciones indeterminadas tienen respectivamente, menos ecuaciones que, tantas ecuaciones como y más ecuaciones que incógnitas:

${\displaystyle {\text{System 1: }}x+y=2}$

${\displaystyle {\text{System 2: }}x+y=2,\,\,\,\,\,2x+2y=4}$

${\displaystyle {\text{System 3: }}x+y=2,\,\,\,\,\,2x+2y=4,\,\,\,\,\,3x+3y=6}$

Condiciones que dan lugar a la indeterminación

En los sistemas lineales, la indeterminación ocurre si y solo si el número de ecuaciones independientes (el rango de la matriz aumentada del sistema) es menor que el número de incógnitas y es el mismo que el rango de la matriz de coeficientes . Porque si hay al menos tantas ecuaciones independientes como incógnitas, eso eliminará cualquier extensión de superposición de las superficies de las ecuaciones en el espacio geométrico de las incógnitas (aparte de posiblemente un solo punto), lo que a su vez excluye la posibilidad de tener más de una solución. Por otro lado, si el rango de la matriz aumentada excede (necesariamente en uno, si es que lo hace) el rango de la matriz de coeficientes, entonces las ecuaciones se contradecirán conjuntamente entre sí, lo que excluye la posibilidad de tener alguna solución.

Encontrar el conjunto solución de un sistema lineal indeterminado

Sea el sistema de ecuaciones escrito en forma matricial como

${\displaystyle Ax=b}$

donde es la matriz de coeficientes, es el vector de incógnitas y es un vector de constantes. En cuyo caso, si el sistema es indeterminado, entonces el conjunto de soluciones infinitas es el conjunto de todos los vectores generados por ^[4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle n\times 1}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle m\times 1}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle x=A^{+}b+[I_{n}-A^{+}A]w}$

donde es la pseudoinversa de Moore-Penrose de y es cualquier vector. ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle n\times 1}$

Véase también

• Ecuación indeterminada
• Forma indeterminada
• Indeterminado (variable)
• Álgebra lineal
• Ecuaciones simultáneas
• Ecuación independiente
• Identificabilidad

Referencias

1. "Sistemas indeterminados e inconsistentes: sistemas de ecuaciones". TheProblemSite.com . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .
2. Gustafson, Grant B. (2008). "Tres posibilidades (de un sistema lineal)" (PDF) . math.utah.edu . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .
3. "Sistemas de ecuaciones consistentes e inconsistentes | Recursos de Wyzant". www.wyzant.com . 19 de septiembre de 2013 . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .
4. James, M., "La inversa generalizada", Mathematical Gazette 62, junio de 1978, 109–114.

Lectura adicional

• Lay, David (2003). Álgebra lineal y sus aplicaciones . Addison-Wesley. ISBN 0-201-70970-8.