Forma diferencial compleja

Forma diferencial de una variedad a la que se le permite tener coeficientes complejos

En matemáticas , una forma diferencial compleja es una forma diferencial en una variedad (generalmente una variedad compleja ) a la que se le permite tener coeficientes complejos .

Las formas complejas tienen amplias aplicaciones en geometría diferencial . En variedades complejas, son fundamentales y sirven como base para gran parte de la geometría algebraica , la geometría de Kähler y la teoría de Hodge . En variedades no complejas, también desempeñan un papel en el estudio de estructuras casi complejas , la teoría de espinores y las estructuras CR .

Por lo general, se consideran formas complejas debido a alguna descomposición deseable que las formas admiten. En una variedad compleja, por ejemplo, cualquier forma k compleja se puede descomponer de manera única en una suma de las llamadas ( p ,  q )-formas : aproximadamente, cuñas de diferenciales p de las coordenadas holomorfas con diferenciales q de sus conjugados complejos. El conjunto de ( p ,  q )-formas se convierte en el objeto primitivo de estudio y determina una estructura geométrica más fina en la variedad que las k -formas. Existen estructuras aún más finas, por ejemplo, en casos en los que se aplica la teoría de Hodge .

Formas diferenciales en una variedad compleja

Supongamos que M es una variedad compleja de dimensión compleja n . Entonces, existe un sistema de coordenadas local que consta de n funciones de valor complejo z ¹ , ..., z ⁿ tales que las transiciones de coordenadas de un parche a otro son funciones holomorfas de estas variables. El espacio de formas complejas tiene una estructura rica, que depende fundamentalmente del hecho de que estas funciones de transición son holomorfas, en lugar de simplemente suaves .

Formas únicas

Comenzamos con el caso de las uniformas. Primero descomponemos las coordenadas complejas en sus partes reales e imaginarias: z ^j = x ^j + iy ^j para cada j . Dejando

${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},\quad d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j},}$

Se ve que cualquier forma diferencial con coeficientes complejos se puede escribir únicamente como una suma.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left(f_{j}dz^{j}+g_{j}d{\bar {z}}^{j}\right).}$

Sea Ω ^1,0 el espacio de formas diferenciales complejas que contienen solo 's y Ω ^0,1 el espacio de formas que contienen solo 's. Se puede demostrar, mediante las ecuaciones de Cauchy-Riemann , que los espacios Ω ^1,0 y Ω ^0,1 son estables ante cambios de coordenadas holomorfas. En otras palabras, si se hace una elección diferente w _i de sistema de coordenadas holomorfas, entonces los elementos de Ω ^1,0 se transforman tensorialmente , al igual que los elementos de Ω ^0,1 . Por lo tanto, los espacios Ω ^0,1 y Ω ^{1,0 determinan} fibrados vectoriales complejos en la variedad compleja. ${\displaystyle dz}$ ${\displaystyle d{\bar {z}}}$

Formas de grado superior

El producto de cuña de formas diferenciales complejas se define de la misma manera que con las formas reales. Sean p y q un par de enteros no negativos ≤ n . El espacio Ω ^p,q de ( p ,  q )-formas se define tomando combinaciones lineales de los productos de cuña de p elementos de Ω ^1,0 y q elementos de Ω ^0,1 . Simbólicamente,

${\displaystyle \Omega ^{p,q}=\underbrace {\Omega ^{1,0}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{1,0}} _{p{\text{ times}}}\wedge \underbrace {\Omega ^{0,1}\wedge \dotsb \wedge \Omega ^{0,1}} _{q{\text{ times}}}}$

donde hay factores p de Ω ^1,0 y factores q de Ω ^0,1 . Al igual que con los dos espacios de 1-formas, estos son estables ante cambios holomorfos de coordenadas, y por lo tanto determinan fibrados vectoriales.

Si E ^k es el espacio de todas las formas diferenciales complejas de grado total k , entonces cada elemento de E ^k puede expresarse de manera única como una combinación lineal de elementos de entre los espacios Ω ^p,q con p + q = k . Más sucintamente, existe una descomposición de suma directa

${\displaystyle E^{k}=\Omega ^{k,0}\oplus \Omega ^{k-1,1}\oplus \dotsb \oplus \Omega ^{1,k-1}\oplus \Omega ^{0,k}=\bigoplus _{p+q=k}\Omega ^{p,q}.}$

Debido a que esta descomposición de suma directa es estable bajo cambios de coordenadas holomórficas, también determina una descomposición de fibrado vectorial.

En particular, para cada k y cada p y q con p + q = k , existe una proyección canónica de fibrados vectoriales

${\displaystyle \pi ^{p,q}:E^{k}\rightarrow \Omega ^{p,q}.}$

Los operadores de Dolbeault

La derivada exterior habitual define un mapeo de secciones a través de ${\displaystyle d:\Omega ^{r}\to \Omega ^{r+1}}$

${\displaystyle d(\Omega ^{p,q})\subseteq \bigoplus _{r+s=p+q+1}\Omega ^{r,s}}$

La derivada exterior no refleja en sí misma la estructura compleja más rígida de la variedad.

Utilizando d y las proyecciones definidas en la subsección anterior, es posible definir los operadores de Dolbeault :

${\displaystyle \partial =\pi ^{p+1,q}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p+1,q},\quad {\bar {\partial }}=\pi ^{p,q+1}\circ d:\Omega ^{p,q}\rightarrow \Omega ^{p,q+1}}$

Para describir estos operadores en coordenadas locales, sea

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}\in \Omega ^{p,q}}$

donde I y J son multiíndices . Entonces

${\displaystyle \partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}}\,dz^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }{\frac {\partial f_{IJ}}{\partial {\bar {z}}^{\ell }}}d{\bar {z}}^{\ell }\wedge dz^{I}\wedge d{\bar {z}}^{J}.}$

Se considera que se cumplen las siguientes propiedades:

${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$

${\displaystyle \partial ^{2}={\bar {\partial }}^{2}=\partial {\bar {\partial }}+{\bar {\partial }}\partial =0.}$

Estos operadores y sus propiedades forman la base de la cohomología de Dolbeault y muchos aspectos de la teoría de Hodge .

En un dominio en forma de estrella de una variedad compleja, los operadores de Dolbeault tienen operadores de homotopía duales ^[1] que resultan de la división del operador de homotopía para . ^[1] Este es un contenido del lema de Poincaré en una variedad compleja. ${\displaystyle d}$

El lema de Poincaré para y puede mejorarse aún más hasta llegar al lema local , que muestra que toda forma diferencial compleja -exacta es en realidad -exacta. En variedades de Kähler compactas se cumple una forma global del lema local, conocida como el lema . Es una consecuencia de la teoría de Hodge y establece que una forma diferencial compleja que es globalmente -exacta (en otras palabras, cuya clase en la cohomología de De Rham es cero) es globalmente -exacta. ${\displaystyle {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial }$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

Formas holomorfas

Para cada p , una p -forma holomorfa es una sección holomorfa del fibrado Ω ^{p ,0} . En coordenadas locales, entonces, una p -forma holomorfa se puede escribir en la forma

${\displaystyle \alpha =\sum _{|I|=p}f_{I}\,dz^{I}}$

donde son funciones holomorfas. De manera equivalente, y debido a la independencia del conjugado complejo , la forma ( p , 0) α es holomorfa si y solo si ${\displaystyle f_{I}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}\alpha =0.}$

El haz de formas p holomórficas a menudo se escribe Ω ^p , aunque esto a veces puede generar confusión, por lo que muchos autores tienden a adoptar una notación alternativa.

Véase también

• Complejo Dolbeault
• Secuencia espectral de Frölicher
• Diferencial de primer tipo

Referencias

1. Kycia, Radosław Antoni (2020). "El lema de Poincaré, las formas antiexactas y el oscilador armónico cuántico fermiónico". Resultados en Matemáticas . 75 (3). Sección 4: 122. arXiv : 1908.02349 . doi : 10.1007/s00025-020-01247-8 . ISSN  1422-6383. S2CID  199472766.

• P. Griffiths y J. Harris (1994). Principios de geometría algebraica . Wiley Classics Library. Wiley Interscience. págs. 23-25. ISBN. 0-471-05059-8.
• Wells, RO (1973). Análisis diferencial en variedades complejas . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90419-0.
• Voisin, Claire (2008). Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja I. Cambridge University Press. ISBN 978-0521718011.