Núcleo de Bergman

En el estudio matemático de varias variables complejas , el núcleo de Bergman , llamado así por Stefan Bergman , es el núcleo reproductor del espacio de Hilbert ( RKHS ) de todas las funciones holomorfas cuadradas integrables en un dominio D en  C ⁿ .

En detalle, sea L ² ( D ) el espacio de Hilbert de funciones integrables cuadradas en D , y sea L ^{2, h} ( D ) el subespacio que consiste en funciones holomorfas en L ² ( D ): es decir,

${\displaystyle L^{2,h}(D)=L^{2}(D)\cap H(D)}$

donde H ( D ) es el espacio de funciones holomorfas en D . Entonces L ^{2, h} ( D ) es un espacio de Hilbert: es un subespacio lineal cerrado de L ² ( D ), y por lo tanto completo por derecho propio. Esto se desprende de la estimación fundamental de que para una función holomorfa integrable al cuadrado ƒ en D

para cada subconjunto compacto K de D . Por lo tanto, la convergencia de una secuencia de funciones holomorfas en L ² ( D ) implica también convergencia compacta , y por lo tanto la función límite también es holomorfa.

Otra consecuencia de ( 1 ) es que, para cada z  ∈  D , la evaluación

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}:f\mapsto f(z)}$

es un funcional lineal continuo en L ^{2, h} ( D ). Por el teorema de representación de Riesz , este funcional se puede representar como el producto interno con un elemento de L ^{2, h} ( D ), es decir que

${\displaystyle \operatorname {ev} _{z}f=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,d\mu (\zeta ).}$

El núcleo de Bergman K se define por

${\displaystyle K(z,\zeta )={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}.}$

El núcleo K ( z ,ζ) es holomorfo en z y antiholomorfo en ζ, y satisface

${\displaystyle f(z)=\int _{D}K(z,\zeta )f(\zeta )\,d\mu (\zeta ).}$

Una observación clave sobre esta imagen es que L ^{2, h} ( D ) puede identificarse con el espacio de formas (n,0) holomorfas en D, mediante la multiplicación por . Dado que el producto interno en este espacio es manifiestamente invariante bajo biholomorfismos de D, el núcleo de Bergman y la métrica de Bergman asociada son, por lo tanto, automáticamente invariantes bajo el grupo de automorfismos del dominio. ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle dz^{1}\wedge \cdots \wedge dz^{n}}$ ${\displaystyle L^{2}}$

El núcleo de Bergman para el disco unitario D es la función $${\displaystyle K(z,\zeta )={\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{(1-z{\bar {\zeta }})^{2}}}.}$$

Véase también

• Métrica de Bergman
• Espacio de Bergman
• Núcleo de Szegő

Referencias

• Krantz, Steven G. (2002), Teoría de funciones de varias variables complejas , Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2724-6.
• Chirka, EM (2001) [1994], "Función kernel de Bergman", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press.