Área de superficie

Medida de una superficie bidimensional

Una esfera de radio r tiene un área superficial de 4 πr ² .

El área superficial (símbolo A ) de un objeto sólido es una medida del área total que ocupa la superficie del objeto. ^[1] La definición matemática del área superficial en presencia de superficies curvas es considerablemente más compleja que la definición de longitud de arco de curvas unidimensionales, o del área superficial para poliedros (es decir, objetos con caras poligonales planas ), para los cuales el área superficial es la suma de las áreas de sus caras. A las superficies lisas, como una esfera , se les asigna un área superficial utilizando su representación como superficies paramétricas . Esta definición de área superficial se basa en métodos de cálculo infinitesimal e involucra derivadas parciales e integración doble .

A principios del siglo XX, Henri Lebesgue y Hermann Minkowski buscaron una definición general del área de superficie . Su trabajo condujo al desarrollo de la teoría de la medida geométrica , que estudia diversas nociones de área de superficie para objetos irregulares de cualquier dimensión. Un ejemplo importante es el contenido de Minkowski de una superficie.

Definición

Si bien las áreas de muchas superficies simples se conocen desde la antigüedad, una definición matemática rigurosa del área requiere mucho cuidado. Esto debería proporcionar una función

${\displaystyle S\mapsto A(S)}$

que asigna un número real positivo a una cierta clase de superficies que satisface varios requisitos naturales. La propiedad más fundamental del área de la superficie es su aditividad : el área del todo es la suma de las áreas de las partes . Más rigurosamente, si una superficie S es una unión de un número finito de piezas S ₁ , …, S _r que no se superponen excepto en sus límites, entonces

${\displaystyle A(S)=A(S_{1})+\cdots +A(S_{r}).}$

Las áreas de superficie de formas poligonales planas deben coincidir con su área definida geométricamente . Dado que el área de superficie es una noción geométrica, las áreas de superficies congruentes deben ser las mismas y el área debe depender solo de la forma de la superficie, pero no de su posición y orientación en el espacio. Esto significa que el área de superficie es invariante bajo el grupo de movimientos euclidianos . Estas propiedades caracterizan de manera única el área de superficie para una amplia clase de superficies geométricas llamadas superficies lisas por partes . Dichas superficies constan de un número finito de partes que se pueden representar en la forma paramétrica.

${\displaystyle S_{D}:{\vec {r}}={\vec {r}}(u,v),\quad (u,v)\in D}$

con una función continuamente diferenciable El área de una pieza individual está definida por la fórmula ${\displaystyle {\vec {r}}.}$

${\displaystyle A(S_{D})=\iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv.}$

De esta manera, el área de S _D se obtiene integrando la longitud del vector normal a la superficie sobre la región apropiada D en el plano paramétrico uv . El área de la superficie total se obtiene luego sumando las áreas de las partes, utilizando la aditividad del área de superficie. La fórmula principal se puede especializar para diferentes clases de superficies, dando, en particular, fórmulas para áreas de grafos z = f ( x , y ) y superficies de revolución . ${\displaystyle {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}}$

Linterna de Schwarz con cortes axiales y vértices radiales. El límite del área cuando y tiende a infinito no converge. En particular no converge al área del cilindro. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

Una de las sutilezas del área de superficie, en comparación con la longitud de arco de las curvas, es que el área de superficie no se puede definir simplemente como el límite de áreas de formas poliédricas que se aproximan a una superficie lisa dada. Hermann Schwarz demostró que, ya para el cilindro, diferentes opciones de aproximación de superficies planas pueden conducir a diferentes valores límite del área; este ejemplo se conoce como la linterna de Schwarz . ^{[2] [3]}

A finales del siglo XIX y principios del XX, Henri Lebesgue y Hermann Minkowski desarrollaron diversos enfoques para una definición general del área de superficie . Si bien para las superficies lisas por partes existe una noción natural única de área de superficie, si una superficie es muy irregular o rugosa, puede que no sea posible asignarle un área en absoluto. Un ejemplo típico lo da una superficie con picos distribuidos de forma densa. Muchas superficies de este tipo aparecen en el estudio de los fractales . Las extensiones de la noción de área que cumplen parcialmente su función y pueden definirse incluso para superficies muy irregulares se estudian en la teoría de la medida geométrica . Un ejemplo específico de tal extensión es el contenido de Minkowski de la superficie.

Fórmulas comunes

Relación de las áreas superficiales de una esfera y un cilindro del mismo radio y altura

Un cono, una esfera y un cilindro de radio r y altura h .

Las fórmulas que se dan a continuación se pueden utilizar para demostrar que el área de superficie de una esfera y un cilindro del mismo radio y altura están en la proporción 2: 3 , de la siguiente manera.

Sea el radio r y la altura h (que es 2 r para la esfera).

$${\displaystyle {\begin{array}{rlll}{\text{Sphere surface area}}&=4\pi r^{2}&&=(2\pi r^{2})\times 2\\{\text{Cylinder surface area}}&=2\pi r(h+r)&=2\pi r(2r+r)&=(2\pi r^{2})\times 3\end{array}}}$$

El descubrimiento de esta relación se atribuye a Arquímedes . ^[4]

En química

Área superficial de partículas de diferentes tamaños.

El área superficial es importante en la cinética química . Aumentar el área superficial de una sustancia generalmente aumenta la velocidad de una reacción química . Por ejemplo, el hierro en un polvo fino se quemará , ^[5] mientras que en bloques sólidos es lo suficientemente estable como para usarse en estructuras. Para diferentes aplicaciones puede ser deseable un área superficial mínima o máxima.

En biología

La membrana interna de la mitocondria tiene una gran superficie debido a los pliegues, lo que permite mayores tasas de respiración celular ( micrografía electrónica ). ^[6]

La superficie de un organismo es importante por varias razones, como la regulación de la temperatura corporal y la digestión . ^[7] Los animales usan sus dientes para moler los alimentos en partículas más pequeñas, lo que aumenta la superficie disponible para la digestión. ^[8] El tejido epitelial que recubre el tracto digestivo contiene microvellosidades , lo que aumenta en gran medida el área disponible para la absorción. ^[9] Los elefantes tienen orejas grandes , lo que les permite regular su propia temperatura corporal. ^[10] En otros casos, los animales necesitarán minimizar la superficie; ^[11] por ejemplo, las personas cruzan los brazos sobre el pecho cuando tienen frío para minimizar la pérdida de calor.

La relación entre el área superficial y el volumen (SA:V) de una célula impone límites superiores al tamaño, ya que el volumen aumenta mucho más rápido que el área superficial, lo que limita la velocidad a la que las sustancias se difunden desde el interior a través de la membrana celular hacia los espacios intersticiales o hacia otras células. ^[12] De hecho, al representar una célula como una esfera idealizada de radio r , el volumen y el área superficial son, respectivamente, V = (4/3) πr ³ y SA = 4 πr ² . La relación entre el área superficial y el volumen resultante es, por tanto, 3/ r . Por tanto, si una célula tiene un radio de 1 μm, la relación SA:V es 3; mientras que si el radio de la célula es, en cambio, 10 μm, la relación SA:V se convierte en 0,3. Con un radio celular de 100, la relación SA:V es 0,03. Por tanto, el área superficial cae abruptamente con el aumento del volumen.

Véase también

• Longitud del perímetro
• Área proyectada
• Teoría BET , técnica para la medición de la superficie específica de los materiales.
• Área esférica
• Integral de superficie

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Área de superficie". MathWorld .
2. "La paradoja de Schwarz" (PDF) . Archivado (PDF) del original el 4 de marzo de 2016 . Consultado el 21 de marzo de 2017 .
3. "Copia archivada" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 15 de diciembre de 2011. Consultado el 24 de julio de 2012 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)
4. Rorres, Chris. "Tumba de Arquímedes: fuentes". Courant Institute of Mathematical Sciences. Archivado desde el original el 9 de diciembre de 2006. Consultado el 2 de enero de 2007 .
5. Nasr, Somaye; Plucknett, Kevin P. (20 de febrero de 2014). "Cinética de la reducción de mineral de hierro por metano para la combustión química en bucle". Energía y combustibles . 28 (2): 1387–1395. doi :10.1021/ef402142q. ISSN  0887-0624.
6. Paumard, Patricio; Vaillier, Jacques; Coulary, Bénédicte; Schaeffer, Jacques; Soubannier, Vicente; Mueller, David M.; Hermanos, Daniel; di Rago, Jean-Paul; Velours, Jean (1 de febrero de 2002). "La ATP sintasa participa en la generación de la morfología de las crestas mitocondriales". La Revista EMBO . 21 (3): 221–230. doi :10.1093/emboj/21.3.221. PMC 125827 . PMID  11823415. 
7. Narasimhan, Arunn (1 de julio de 2008). "¿Por qué los elefantes tienen grandes orejeras?". Resonance . 13 (7): 638–647. doi :10.1007/s12045-008-0070-5. ISSN  0973-712X.
8. Feher, Joseph (2012), "Boca y esófago", Fisiología humana cuantitativa , Elsevier, págs. 689-700, doi :10.1016/b978-0-12-382163-8.00077-3, ISBN 978-0-12-382163-8, consultado el 30 de marzo de 2024
9. "Microvillus | Descripción, anatomía y función | Britannica". www.britannica.com . Consultado el 30 de marzo de 2024 .
10. Wright, PG (1984). "¿Por qué los elefantes mueven las orejas?". Zoología africana . 19 (4): 266–269. ISSN  2224-073X.
11. Stocks, Jodie M.; Taylor, Nigel AS; Tipton, Michael J.; Greenleaf, John E. (1 de mayo de 2004). "Respuestas fisiológicas humanas a la exposición al frío". Medicina de la aviación, el espacio y el medio ambiente . 75 (5): 444–457. PMID  15152898.
12. Deaver, James R. (1 de noviembre de 1978). "Modelado de límites para el tamaño celular". The American Biology Teacher . 40 (8): 502–504. doi :10.2307/4446369. ISSN  0002-7685. JSTOR  4446369.

• Yu. D. Burago; VA Zalgaller; LD Kudryavtsev (2001) [1994], "Área", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

Enlaces externos

• Vídeo sobre el área de superficie en Thinkwell