Sistema de álgebra informática

software matemático

Un sistema de álgebra informática ( CAS ) o sistema de álgebra simbólica ( SAS ) es cualquier software matemático con la capacidad de manipular expresiones matemáticas de forma similar a los cálculos manuales tradicionales de matemáticos y científicos . El desarrollo de los sistemas de álgebra informática en la segunda mitad del siglo XX forma parte de la disciplina del " álgebra informática " o "cálculo simbólico", que ha impulsado el trabajo en algoritmos sobre objetos matemáticos como los polinomios .

Los sistemas de álgebra informática se pueden dividir en dos clases: especializados y de propósito general. Los especializados se dedican a una parte concreta de las matemáticas, como la teoría de números , la teoría de grupos o la enseñanza de las matemáticas elementales .

Los sistemas de álgebra informática de propósito general pretenden ser útiles para un usuario que trabaja en cualquier campo científico que requiera manipulación de expresiones matemáticas. Para que sea útil, un sistema de álgebra computacional de propósito general debe incluir varias características tales como:

• una interfaz de usuario que permite al usuario ingresar y mostrar fórmulas matemáticas, generalmente desde un teclado, selecciones de menú, mouse o lápiz óptico.
• un lenguaje de programación y un intérprete (el resultado de un cálculo suele tener una forma y un tamaño impredecibles; por lo tanto, con frecuencia se necesita la intervención del usuario),
• un simplificador , que es un sistema de reescritura para simplificar fórmulas matemáticas,
• un administrador de memoria , incluido un recolector de basura , necesario por el enorme tamaño de los datos intermedios que pueden aparecer durante un cálculo,
• una aritmética de precisión arbitraria , necesaria por el enorme tamaño de los números enteros que pueden ocurrir,
• una gran biblioteca de algoritmos matemáticos y funciones especiales .

La biblioteca no sólo debe satisfacer las necesidades de los usuarios, sino también las necesidades del simplificador. Por ejemplo, el cálculo del máximo común divisor polinómico se utiliza sistemáticamente para simplificar expresiones que involucran fracciones.

Esta gran cantidad de capacidades informáticas requeridas explica la pequeña cantidad de sistemas de álgebra informática de propósito general. Los sistemas importantes incluyen Axiom , GAP , Maxima , Magma , Maple , Mathematica y SageMath .

Historia

Una calculadora TI-Nspire de Texas Instruments que contiene un sistema de álgebra informática

Los sistemas de álgebra informática comenzaron a aparecer en la década de 1960 y evolucionaron a partir de dos fuentes bastante diferentes: los requisitos de los físicos teóricos y la investigación sobre inteligencia artificial .

Un buen ejemplo del primer desarrollo fue el trabajo pionero realizado por el posterior premio Nobel de física Martinus Veltman , quien diseñó un programa para matemáticas simbólicas, especialmente física de altas energías, llamado Schoonschip (que en holandés significa "barco limpio") en 1963. Otro de los primeros sistemas fue FORMAC .

Utilizando Lisp como base de programación, Carl Engelman creó MATHLAB en 1964 en MITRE dentro de un entorno de investigación de inteligencia artificial. Posteriormente, MATHLAB se puso a disposición de los usuarios de sistemas PDP-6 y PDP-10 que ejecutaban TOPS-10 o TENEX en universidades. Hoy en día todavía se puede utilizar en emulaciones SIMH del PDP-10. MATHLAB (" oratorio de laboratorio matemático ") no debe confundirse con MATLAB (" oratorio de laboratorio matrix " ), que es un sistema de computación numérica construido 15 años después en la Universidad de Nuevo México .

En 1987, Hewlett-Packard presentó la primera calculadora portátil CAS con la serie HP-28 . ^[1] Otras calculadoras portátiles tempranas con capacidades de álgebra simbólica incluyeron la serie Texas Instruments TI-89 y la calculadora TI-92 , y la Casio CFX-9970G . ^[2]

Los primeros sistemas de álgebra informática populares fueron muMATH , Reduce , Derive (basado en muMATH) y Macsyma ; una versión copyleft de Macsyma se llama Maxima . Reduce se convirtió en software libre en 2008. ^[3] Los sistemas comerciales incluyen Mathematica ^[4] y Maple , que son comúnmente utilizados por investigadores matemáticos, científicos e ingenieros. Las alternativas disponibles gratuitamente incluyen SageMath (que puede actuar como interfaz para varios otros CAS gratuitos y no libres). Otros sistemas importantes incluyen Axiom , GAP , Maxima y Magma .

El movimiento hacia las aplicaciones basadas en web a principios de la década de 2000 vio el lanzamiento de WolframAlpha , un motor de búsqueda en línea y CAS que incluye las capacidades de Mathematica . ^[5]

Más recientemente, se han implementado sistemas de álgebra informática utilizando redes neuronales artificiales , aunque a partir de 2020 no están disponibles comercialmente. ^[6]

Manipulaciones simbólicas

Las manipulaciones simbólicas admitidas suelen incluir:

• simplificación a una expresión más pequeña o alguna forma estándar , incluida la simplificación automática con suposiciones y la simplificación con restricciones
• sustitución de símbolos o valores numéricos para ciertas expresiones
• cambio de forma de expresiones: productos y potencias en expansión, factorización parcial y completa , reescritura como fracciones parciales , satisfacción de restricciones , reescritura de funciones trigonométricas como exponenciales, transformación de expresiones lógicas, etc.
• diferenciación parcial y total
• Alguna integración indefinida y definida (ver integración simbólica ), incluidas integrales multidimensionales
• Optimización global simbólica restringida y no restringida.
• solución de ecuaciones lineales y algunas no lineales en varios dominios
• solución de algunas ecuaciones diferenciales y en diferencias
• tomando algunos límites
• transformaciones integrales
• Operaciones en serie como expansión, suma y productos.
• Operaciones matriciales que incluyen productos , inversas , etc.
• cálculo estadístico
• demostración y verificación de teoremas que es muy útil en el área de las matemáticas experimentales
• generación de código optimizada

En lo anterior, la palabra algunos indica que la operación no siempre se puede realizar.

Capacidades adicionales

Muchos también incluyen:

• un lenguaje de programación que permite a los usuarios implementar sus propios algoritmos
• operaciones numéricas de precisión arbitraria
• Funcionalidad de aritmética entera exacta y teoría de números.
• Edición de expresiones matemáticas en forma bidimensional.
• trazar gráficos y diagramas paramétricos de funciones en dos y tres dimensiones, y animarlos
• dibujar cuadros y diagramas
• API para vincularlo a un programa externo, como una base de datos, o usarlo en un lenguaje de programación para usar el sistema de álgebra informática
• Manipulación de cadenas , como coincidencias y búsquedas.
• complementos para uso en matemáticas aplicadas como física, bioinformática , química computacional y paquetes para computación física ^[7]
• solucionadores de ecuaciones diferenciales ^{[8] [9] [10] [11]}

Algunos incluyen:

• producción y edición gráfica , como imágenes generadas por computadora y procesamiento de señales como procesamiento de imágenes
• síntesis de sonido

Algunos sistemas de álgebra informática se centran en disciplinas especializadas; Estos normalmente se desarrollan en el mundo académico y son gratuitos. Pueden ser ineficientes para operaciones numéricas en comparación con los sistemas numéricos .

Tipos de expresiones

Las expresiones manipuladas por CAS suelen incluir polinomios en múltiples variables; funciones estándar de expresiones ( seno , exponencial , etc.); varias funciones especiales ( Γ , ζ , erf , funciones de Bessel , etc.); funciones arbitrarias de expresiones; mejoramiento; derivadas, integrales, simplificaciones, sumas y productos de expresiones; series truncadas con expresiones como coeficientes, matrices de expresiones, etc. Los dominios numéricos admitidos normalmente incluyen representación de punto flotante de números reales , números enteros (de tamaño ilimitado), complejos (representación de punto flotante), representación de intervalo de reales , números racionales (representación exacta) y números algebraicos .

Uso en educación

Ha habido muchos defensores de aumentar el uso de sistemas de álgebra informática en las aulas de escuelas primarias y secundarias. La razón principal para tal promoción es que los sistemas de álgebra computacional representan las matemáticas del mundo real más que las matemáticas basadas en papel y lápiz o calculadoras manuales. ^[12] Este impulso para aumentar el uso de computadoras en las aulas de matemáticas ha sido apoyado por algunas juntas de educación. Incluso ha sido obligatorio en el plan de estudios de algunas regiones. ^[13]

Los sistemas de álgebra informática se han utilizado ampliamente en la educación superior. ^{[14] [15]} Muchas universidades ofrecen cursos específicos sobre el desarrollo de su uso o implícitamente esperan que los estudiantes los utilicen para sus trabajos de curso. Las empresas que desarrollan sistemas de álgebra informática han presionado para aumentar su prevalencia entre los programas universitarios y universitarios. ^{[16] [17]}

Las calculadoras equipadas con CAS no están permitidas en el ACT , el PLAN y en algunas aulas ^[18], aunque pueden estar permitidas en todas las pruebas permitidas por calculadoras del College Board , incluido el SAT , algunas pruebas de materias del SAT y Cálculo AP. Exámenes de Química , Física y Estadística . ^[19]

Matemáticas utilizadas en sistemas de álgebra informática.

• Algoritmo de finalización de Knuth-Bendix ^[20]
• Algoritmos de búsqueda de raíces ^[20]
• Integración simbólica mediante, por ejemplo, el algoritmo de Risch o el algoritmo de Risch-Norman
• Suma hipergeométrica mediante, por ejemplo, el algoritmo de Gosper
• Limitar el cálculo mediante, por ejemplo, el algoritmo de Gruntz
• Factorización polinomial mediante, por ejemplo, sobre campos finitos, ^[21] el algoritmo de Berlekamp o el algoritmo de Cantor-Zassenhaus .
• Máximo común divisor mediante, por ejemplo, el algoritmo euclidiano
• Eliminación gaussiana ^[22]
• base de Gröbner mediante, por ejemplo , el algoritmo de Buchberger ; generalización del algoritmo euclidiano y eliminación gaussiana
• Padé aproximante
• Lema de Schwartz-Zippel y prueba de identidades polinómicas
• Teorema del resto chino
• Ecuaciones diofantinas
• Eliminación de cuantificadores sobre números reales mediante, por ejemplo, el método de Tarski/ descomposición algebraica cilíndrica
• Algoritmo de Landau (radicales anidados)
• Derivadas de funciones elementales y funciones especiales . (p. ej., ver derivadas de la función gamma incompleta ).
• Descomposición algebraica cilíndrica

Ver también

• Portal de matemáticas

• Lista de sistemas de álgebra informática
• Computación científica
• Paquete estadístico
• Demostración automatizada de teoremas
• Lenguaje de modelado algebraico
• Programación de lógica de restricciones
• Teorías del módulo de satisfacción

Referencias

1. Nelson, Richard. "Primeras calculadoras Hewlett-Packard". Hewlett-Packard. Archivado desde el original el 3 de julio de 2010.
2. Coons, Albert (octubre de 1999), "Comenzando con los sistemas matemáticos simbólicos: una herramienta de productividad", Consejos tecnológicos, The Mathematics Teacher , 92 (7): 620–622, doi :10.5951/mt.92.7.0620, JSTOR  27971125
3. "REDUCIR el sistema de álgebra informática en SourceForge". reducir-álgebra.sourceforge.net . Consultado el 28 de septiembre de 2015 .
4. Entrevista con Gaston Gonnet, cocreador de Maple Archivado el 29 de diciembre de 2007 en Wayback Machine , SIAM Historia del Análisis Numérico y la Computación, 16 de marzo de 2005.
5. Bhattacharya, Jyotirmoy (12 de mayo de 2022). "Wolfram | Alpha: un sistema de álgebra informática en línea gratuito". El hindú . ISSN  0971-751X . Consultado el 26 de abril de 2023 .
6. Ornes, Stephen. "Las matemáticas simbólicas finalmente dan paso a las redes neuronales". Revista Quanta . Consultado el 4 de noviembre de 2020 .
7. Dana-Picard, Thierry Noah. "Pruebas asistidas por computadora y métodos automatizados en educación matemática". arxiv.org . Consultado el 23 de junio de 2024 .
8. "dsolve - Ayuda de programación de Maple". www.maplesoft.com . Consultado el 9 de mayo de 2020 .
9. "DSolve: documentación de Wolfram Language". www.wolfram.com . Consultado el 28 de junio de 2020 .
10. "Álgebra y cálculo básicos - Tutorial de Sage v9.0". doc.sagemath.org . Consultado el 9 de mayo de 2020 .
11. «Álgebra simbólica y Matemáticas con Xcas» (PDF) .
12. "Enseñar a los niños matemáticas reales con computadoras". Ted.com . Consultado el 12 de agosto de 2017 .
13. "Matemáticas - Educación en Manitoba". Edu.gov.mb.ca. ​Consultado el 12 de agosto de 2017 .
14. "Mathematica para profesores, personal y estudiantes: tecnología de la información - Northwestern University". It.northwestern.edu . Consultado el 12 de agosto de 2017 .
15. "Mathematica para estudiantes - Tecnología de la información de la Universidad de Columbia". cuit.columbia.edu . Consultado el 12 de agosto de 2017 .
16. "Mathematica para la educación superior: usos para cursos universitarios y universitarios". Wolfram.com . Consultado el 12 de agosto de 2017 .
17. "MathWorks - Academia - MATLAB y Simulink". Mathworks.com . Consultado el 12 de agosto de 2017 .
18. Pruebas CAAP de ACT: uso de calculadoras en la prueba de matemáticas CAAP Archivado el 31 de agosto de 2009 en Wayback Machine.
19. "Política de calculadora de exámenes AP". Estudiantes AP . Junta Universitaria . Consultado el 24 de mayo de 2024 .
20. B. Buchberger; GE Collins; R. Loos (29 de junio de 2013). Álgebra informática: computación simbólica y algebraica. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-3-7091-3406-1.
21. Joachim von zur Gathen; Jürgen Gerhard (25 de abril de 2013). Álgebra informática moderna. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-03903-2.
22. Keith O.Geddes; Stephen R. Czapor; George Labahn (30 de junio de 2007). Algoritmos para álgebra informática. Medios de ciencia y negocios de Springer. ISBN 978-0-585-33247-5.

Enlaces externos

• Plan de estudios y evaluación en la era de los sistemas de álgebra informática Archivado el 1 de diciembre de 2009 en Wayback Machine , del Centro de información de recursos educativos para ciencias, matemáticas y educación ambiental, Columbus, Ohio .
• Richard J. Fateman. "Ensayos de simplificación algebraica". Informe técnico MIT-LCS-TR-095, 1972. (De interés histórico al mostrar la dirección de la investigación en álgebra informática. En el sitio web del MIT LCS: [1])