Radical anidado

Expresión matemática con radical interno

En álgebra , un radical anidado es una expresión radical (que contiene un signo de raíz cuadrada, un signo de raíz cúbica, etc.) que contiene (anida) otra expresión radical. Algunos ejemplos incluyen

$${\displaystyle {\sqrt {5-2{\sqrt {5}}\ }},}$$

que surge al discutir el pentágono regular y otros más complicados como

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {3}}+{\sqrt[{3}]{4}}\ }}.}$$

Desanidar

Algunos radicales anidados se pueden reescribir en una forma que no esté anidada. Por ejemplo,

$${\displaystyle {\sqrt {3+2{\sqrt {2}}}}=1+{\sqrt {2}}\,,}$$

${\displaystyle {\sqrt {2}}+{\sqrt {5-2{\sqrt {6}}}}={\sqrt {3}},\quad }$^[1]

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}={\frac {1-{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{4}}}{\sqrt[{3}]{9}}}\,.}$$

Otro ejemplo sencillo,

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\sqrt {2}}}={\sqrt[{6}]{2}}}$$

Reescribir un radical anidado de esta manera se denomina desanidamiento . Esto no siempre es posible y, aun cuando lo sea, suele ser difícil.

Dos raíces cuadradas anidadas

En el caso de dos raíces cuadradas anidadas, el siguiente teorema resuelve completamente el problema de desanidación. ^[2]

Si a y c son números racionales y c no es el cuadrado de un número racional, hay dos números racionales x e y tales que si y sólo si es el cuadrado de un número racional d . $${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}={\sqrt {x}}\pm {\sqrt {y}}}$$ ${\displaystyle a^{2}-c~}$

Si el radical anidado es real, x e y son los dos números y donde es un número racional. $${\displaystyle {\frac {a+d}{2}}~}$$ ${\displaystyle ~{\frac {a-d}{2}}~,~}$ ${\displaystyle ~d={\sqrt {a^{2}-c}}~}$

En particular, si a y c son números enteros, entonces 2 x y 2 y son números enteros.

Este resultado incluye desanidamientos de la forma , ya que z siempre puede escribirse y al menos uno de los términos debe ser positivo (porque el lado izquierdo de la ecuación es positivo). $${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}=z\pm {\sqrt {y}}~,}$$ ${\displaystyle z=\pm {\sqrt {z^{2}}},}$

Una fórmula de desanidamiento más general podría tener la forma Sin embargo, la teoría de Galois implica que el lado izquierdo pertenece a o debe obtenerse cambiando el signo de uno o ambos. En el primer caso, esto significa que uno puede tomar x = c y En el segundo caso, y otro coeficiente debe ser cero. Si uno puede cambiar el nombre de xy como x para obtener Procediendo de manera similar, si resulta que uno puede suponer Esto muestra que el desanidamiento aparentemente más general siempre se puede reducir al anterior. $${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}=\alpha +\beta {\sqrt {x}}+\gamma {\sqrt {y}}+\delta {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}~.}$$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {c}}),}$ ${\displaystyle {\sqrt {x}},}$ ${\displaystyle {\sqrt {y}},}$ ${\displaystyle \gamma =\delta =0.}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta =0,}$ ${\displaystyle \delta =0.}$ ${\displaystyle \alpha =0,}$ ${\displaystyle \alpha =\delta =0.}$

Demostración : Elevando al cuadrado, la ecuación es equivalente a y, en el caso de un signo menos en el lado derecho, $${\displaystyle {\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}={\sqrt {x}}\pm {\sqrt {y}}}$$ $${\displaystyle a+{\sqrt {c}}=x+y\pm 2{\sqrt {xy}},}$$

| x | ≥ | y | ,

(las raíces cuadradas son no negativas por definición de la notación). Como la desigualdad siempre puede satisfacerse intercambiando posiblemente x e y , resolver la primera ecuación en x e y es equivalente a resolver $${\displaystyle a+{\sqrt {c}}=x+y\pm 2{\sqrt {xy}}.}$$

Esta igualdad implica que pertenece al cuerpo cuadrático En este cuerpo cada elemento puede escribirse de forma única con y siendo números racionales. Esto implica que no es racional (de lo contrario el lado derecho de la ecuación sería racional; pero el lado izquierdo es irracional). Como x e y deben ser racionales, el cuadrado de debe ser racional. Esto implica que en la expresión de como Por lo tanto , para algún número racional La unicidad de la descomposición sobre 1 y implica por lo tanto que la ecuación considerada es equivalente con Se deduce por las fórmulas de Vieta que x e y deben ser raíces de la ecuación cuadrática its ( ≠ 0 , de lo contrario c sería el cuadrado de a ), por lo tanto x e y deben ser y Por lo tanto, x e y son racionales si y solo si es un número racional. ${\displaystyle {\sqrt {xy}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {c}}).}$ ${\displaystyle \alpha +\beta {\sqrt {c}},}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \pm 2{\sqrt {xy}}}$ ${\displaystyle \pm 2{\sqrt {xy}}}$ ${\displaystyle \alpha =0}$ ${\displaystyle \pm 2{\sqrt {xy}}}$ ${\displaystyle \alpha +\beta {\sqrt {c}}.}$ $${\displaystyle a+{\sqrt {c}}=x+y+\beta {\sqrt {c}}}$$ ${\displaystyle \beta .}$ ${\displaystyle {\sqrt {c}}}$ $${\displaystyle a=x+y\quad {\text{and}}\quad \pm 2{\sqrt {xy}}={\sqrt {c}}.}$$ $${\displaystyle z^{2}-az+{\frac {c}{4}}=0~;}$$ ${\displaystyle ~\Delta =a^{2}-c=d^{2}>0~}$ $${\displaystyle {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-c}}}{2}}~}$$ ${\displaystyle ~{\frac {a-{\sqrt {a^{2}-c}}}{2}}~.}$ ${\displaystyle d={\sqrt {a^{2}-c}}~}$

Para elegir explícitamente los distintos signos, se deben considerar solo raíces cuadradas reales positivas, y por lo tanto se supone que c > 0. La ecuación muestra que | a | > √ c . Por lo tanto, si el radical anidado es real y si es posible desanidarlo, entonces a > 0. Entonces la solución es ${\displaystyle a^{2}=c+d^{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {a+{\sqrt {c}}}}&={\sqrt {\frac {a+d}{2}}}+{\sqrt {\frac {a-d}{2}}},\\[6pt]{\sqrt {a-{\sqrt {c}}}}&={\sqrt {\frac {a+d}{2}}}-{\sqrt {\frac {a-d}{2}}}.\end{aligned}}}$$

Algunas identidades de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan demostró una serie de identidades curiosas que involucran radicales anidados. Entre ellas se encuentran las siguientes: ^[3]

$${\displaystyle {\sqrt[{4}]{\frac {3+2{\sqrt[{4}]{5}}}{3-2{\sqrt[{4}]{5}}}}}={\frac {{\sqrt[{4}]{5}}+1}{{\sqrt[{4}]{5}}-1}}={\tfrac {1}{2}}\left(3+{\sqrt[{4}]{5}}+{\sqrt {5}}+{\sqrt[{4}]{125}}\right),}$$

$${\displaystyle {\sqrt {{\sqrt[{3}]{28}}-{\sqrt[{3}]{27}}}}={\tfrac {1}{3}}\left({\sqrt[{3}]{98}}-{\sqrt[{3}]{28}}-1\right),}$$

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}},}$$

y

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{\ {\sqrt[{3}]{2}}\ -1}}={\sqrt[{3}]{\frac {1}{9}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{9}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {4}{9}}}.\quad }$^[4]

Algoritmo de Landau

En 1989, Susan Landau introdujo el primer algoritmo para decidir qué radicales anidados se pueden desanidar. ^[5] Los algoritmos anteriores funcionaron en algunos casos, pero no en otros. El algoritmo de Landau implica raíces complejas de unidad y se ejecuta en tiempo exponencial con respecto a la profundidad del radical anidado. ^[6]

En trigonometría

En trigonometría , los senos y cosenos de muchos ángulos se pueden expresar en términos de radicales anidados. Por ejemplo, $${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{60}}=\sin 3^{\circ }={\frac {1}{16}}\left[2(1-{\sqrt {3}}){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt {3}}+1)\right]}$$

y La última igualdad resulta directamente de los resultados de § Dos raíces cuadradas anidadas. $${\displaystyle \sin {\frac {\pi }{24}}=\sin 7.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\frac {1+{\sqrt {3}}}{\sqrt {2}}}}}.}$$

En la solución de la ecuación cúbica

Los radicales anidados aparecen en la solución algebraica de la ecuación cúbica . Cualquier ecuación cúbica se puede escribir en forma simplificada sin un término cuadrático, como

$${\displaystyle x^{3}+px+q=0,}$$

cuya solución general para una de las raíces es $${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.}$$

En el caso en que la ecuación cúbica tiene sólo una raíz real, la raíz real viene dada por esta expresión, siendo los radicandos de las raíces cúbicas reales y siendo las raíces cúbicas las raíces cúbicas reales. En el caso de tres raíces reales, la expresión de la raíz cuadrada es un número imaginario; aquí cualquier raíz real se expresa definiendo la primera raíz cúbica como cualquier raíz cúbica compleja específica del radicando complejo, y definiendo la segunda raíz cúbica como el conjugado complejo de la primera. Los radicales anidados en esta solución no pueden, en general, simplificarse a menos que la ecuación cúbica tenga al menos una solución racional . De hecho, si la ecuación cúbica tiene tres soluciones irracionales pero reales, tenemos el casus irreducibilis , en el que las tres soluciones reales se escriben en términos de raíces cúbicas de números complejos. Por otro lado, considere la ecuación

$${\displaystyle x^{3}-7x+6=0,}$$

que tiene las soluciones racionales 1, 2 y −3. La fórmula de solución general dada anteriormente proporciona las soluciones $${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{-3+{\frac {10{\sqrt {3}}i}{9}}}}+{\sqrt[{3}]{-3-{\frac {10{\sqrt {3}}i}{9}}}}.}$$

Para cualquier elección dada de raíz cúbica y su conjugado, esto contiene radicales anidados que involucran números complejos, pero es reducible (aunque no sea obvio) a una de las soluciones 1, 2 o –3.

Radicales anidados infinitamente

Raíces cuadradas

En determinadas condiciones, raíces cuadradas infinitamente anidadas, como $${\displaystyle x={\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}}$$

representan números racionales. Este número racional se puede encontrar al darse cuenta de que x también aparece debajo del signo radical, lo que da la ecuación

$${\displaystyle x={\sqrt {2+x}}.}$$

Si resolvemos esta ecuación, encontramos que x = 2 (la segunda solución x = −1 no se aplica, según la convención de que se hace referencia a la raíz cuadrada positiva). Este enfoque también se puede utilizar para demostrar que, en general, si n > 0 , entonces $${\displaystyle {\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+{\sqrt {n+\cdots }}}}}}}}={\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {1+4n}}\right)}$$

y es la raíz positiva de la ecuación x ² − x − n = 0 . Para n = 1 , esta raíz es el número áureo φ , aproximadamente igual a 1,618. El mismo procedimiento también sirve para obtener, si n > 0 , que es la raíz positiva de la ecuación x ² + x − n = 0 . $${\displaystyle {\sqrt {n-{\sqrt {n-{\sqrt {n-{\sqrt {n-\cdots }}}}}}}}={\tfrac {1}{2}}\left(-1+{\sqrt {1+4n}}\right),}$$

Raíces cuadradas anidadas de 2

Las raíces cuadradas anidadas de 2 son un caso especial de la amplia clase de radicales infinitamente anidados. Existen muchos resultados conocidos que los vinculan a senos y cosenos . Por ejemplo, se ha demostrado que las raíces cuadradas anidadas de 2 como ^[7] $${\displaystyle R(b_{k},\ldots ,b_{1})={\frac {b_{k}}{2}}{\sqrt {2+b_{k-1}{\sqrt {2+b_{k-2}{\sqrt {2+\cdots +b_{2}{\sqrt {2+x}}}}}}}}}$$

donde con en [−2,2] y para , son tales que para ${\displaystyle x=2\sin(\pi b_{1}/4)}$ ${\displaystyle b_{1}}$ ${\displaystyle b_{i}\in \{-1,0,1\}}$ ${\displaystyle i\neq 1}$ ${\displaystyle R(b_{k},\ldots ,b_{1})=\cos \theta }$ $${\displaystyle \theta =\left({\frac {1}{2}}-{\frac {b_{k}}{4}}-{\frac {b_{k}b_{k-1}}{8}}-{\frac {b_{k}b_{k-1}b_{k-2}}{16}}-\cdots -{\frac {b_{k}b_{k-1}\cdots b_{1}}{2^{k+1}}}\right)\pi .}$$

Este resultado permite deducir para cualquier valor de los siguientes radicales infinitamente anidados que consisten en k raíces anidadas como ${\displaystyle x\in [-2,2]}$ $${\displaystyle R_{k}(x)={\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2+x}}}}}}.}$$

Si , entonces ^[8] ${\displaystyle x\geq 2}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{k}(x)&={\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2+x}}}}}}\\&=\left({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-4}}}{2}}\right)^{1/2^{k}}+\left({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-4}}}{2}}\right)^{-1/2^{k}}\end{aligned}}}$$

Estos resultados se pueden utilizar para obtener algunas representaciones de raíces cuadradas anidadas de . Consideremos el término definido anteriormente. Entonces ^[7] ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle R\left(b_{k},\ldots ,b_{1}\right)}$ $${\displaystyle \pi =\lim _{k\rightarrow \infty }\left[{\frac {2^{k+1}}{2-b_{1}}}R(\underbrace {1,-1,1,1,\ldots ,1,1,b_{1}} _{k{\text{ terms }}})\right]}$$

dónde . ${\displaystyle b_{1}\neq 2}$

Los radicales infinitos de Ramanujan

Ramanujan planteó el siguiente problema al Journal of Indian Mathematical Society :

$${\displaystyle ?={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.}$$

Esto se puede resolver observando una formulación más general: $${\displaystyle ?={\sqrt {ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\mathrm {\cdots } }}}}}}.}$$

Al establecer esto en F ( x ) y elevar al cuadrado ambos lados obtenemos $${\displaystyle F(x)^{2}=ax+(n+a)^{2}+x{\sqrt {a(x+n)+(n+a)^{2}+(x+n){\sqrt {\mathrm {\cdots } }}}},}$$

que puede simplificarse a $${\displaystyle F(x)^{2}=ax+(n+a)^{2}+xF(x+n).}$$

Se puede demostrar que

$${\displaystyle F(x)={x+n+a}}$$

satisface la ecuación para , por lo que se puede esperar que sea la solución verdadera. Para una prueba completa, tendríamos que demostrar que esta es de hecho la solución a la ecuación para . ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$

Entonces, estableciendo a = 0 , n = 1 y  x = 2 , tenemos que Ramanujan enunció la siguiente desanidación radical infinita en su cuaderno perdido : El patrón repetitivo de los signos es $${\displaystyle 3={\sqrt {1+2{\sqrt {1+3{\sqrt {1+\cdots }}}}}}.}$$ $${\displaystyle {\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5+{\sqrt {5-\cdots }}}}}}}}}}}}}}={\frac {2+{\sqrt {5}}+{\sqrt {15-6{\sqrt {5}}}}}{2}}.}$$ ${\displaystyle (+,+,-,+).}$

La expresión de Viète paraπ

La fórmula de Viète para π , la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, es $${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots .}$$

Raíces cúbicas

En ciertos casos, raíces cúbicas infinitamente anidadas, como por ejemplo, también pueden representar números racionales. Nuevamente, al darnos cuenta de que toda la expresión aparece dentro de sí misma, nos queda la ecuación $${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+{\sqrt[{3}]{6+\cdots }}}}}}}}}$$ $${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{6+x}}.}$$

Si resolvemos esta ecuación, encontramos que  x = 2 . De manera más general, encontramos que es la raíz real positiva de la ecuación x ³ − x − n = 0 para todo  n > 0 . Para n = 1 , esta raíz es la razón plástica ρ , aproximadamente igual a 1,3247. $${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+{\sqrt[{3}]{n+\cdots }}}}}}}}}$$

El mismo procedimiento también funciona para conseguir

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-{\sqrt[{3}]{n-\cdots }}}}}}}}}$$

como la raíz real de la ecuación x ³ + x − n = 0 para todo n > 1 .

Teorema de convergencia de Herschfeld

Un radical infinitamente anidado (donde todos son no negativos ) converge si y solo si hay alguno tal que para todos , ^[9] o en otras palabras ${\displaystyle {\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+\dotsb }}}}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle M\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M\geq a_{n}^{2^{-n}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\textstyle \sup a_{n}^{2^{-n}}<+\infty .}$

Prueba de "si"

Observamos que además, la sucesión es monótonamente creciente. Por lo tanto, converge, según el teorema de convergencia monótona . $${\displaystyle {\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+\dotsb }}}}\leq {\sqrt {M^{2^{1}}+{\sqrt {M^{2^{2}}+\cdots }}}}=M{\sqrt {1+{\sqrt {1+\dotsb }}}}<2M.}$$ ${\displaystyle \left({\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+\dotsc {\sqrt {a_{n}}}}}}}\right)}$

Prueba de "sólo si"

Si la secuencia converge entonces está acotada. ${\displaystyle \left({\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+\cdots {\sqrt {a_{n}}}}}}}\right)}$

Sin embargo, por lo tanto también está acotado. ${\displaystyle a_{n}^{2^{-n}}\leq {\sqrt {a_{1}+{\sqrt {a_{2}+\cdots {\sqrt {a_{n}}}}}}}}$ ${\displaystyle \left(a_{n}^{2^{-n}}\right)}$

Véase también

• Exponenciación
• Suma de radicales

Referencias

1. Scheinerman, Edward R. (2000), "Cuando lo suficientemente cerca es lo suficientemente cerca", American Mathematical Monthly , 107 (6): 489–499, doi :10.2307/2589344, JSTOR  2589344, MR  1766736
2. Euler, Leonhard (2012). Elementos de álgebra . Springer Science & Business Media. Capítulo VIII.
3. Landau, Susan (16 de julio de 1993). "Una nota sobre 'Zippel Denesting'". CiteSeerX 10.1.1.35.5512 . Consultado el 23 de agosto de 2023 . 
4. Berndt, Bruce; Chan, Heng; Zhang, Liang-Cheng (1998). "Radicales y unidades en la obra de Ramanujan" (PDF) . Acta Arithmetica . 87 (2): 145–158. doi : 10.4064/aa-87-2-145-158 .
5. Landau, Susan (1992). "Simplificación de radicales anidados". 30.º Simposio anual sobre fundamentos de la informática . Vol. 21. SIAM . Págs. 85-110. CiteSeerX 10.1.1.34.2003 . doi :10.1109/SFCS.1989.63496. ISBN .  978-0-8186-1982-3.S2CID 29982884  .
6. Gkioulekas, Eleftherios (18 de agosto de 2017). "Sobre la desintegración de raíces cuadradas anidadas". Revista Internacional de Educación Matemática en Ciencia y Tecnología . 48 (6): 942–953. Bibcode :2017IJMES..48..942G. doi :10.1080/0020739X.2017.1290831. ISSN  0020-739X. S2CID  9737528.
7. Servi, LD (abril de 2003). "Raíces cuadradas anidadas de 2". The American Mathematical Monthly . 110 (4): 326–330. doi :10.1080/00029890.2003.11919968. ISSN  0002-9890. S2CID  38100940.
8. Nyblom, MA (noviembre de 2005). "Más raíces cuadradas anidadas de 2". The American Mathematical Monthly . 112 (9): 822–825. doi :10.1080/00029890.2005.11920256. ISSN  0002-9890. S2CID  11206345.
9. Herschfeld, Aaron (1935). "Sobre radicales infinitos". The American Mathematical Monthly . 42 (7): 419–429. doi :10.2307/2301294. ISSN  0002-9890. JSTOR  2301294.

Lectura adicional

• Landau, Susan (1994). "Cómo enredarse con un radical anidado". Mathematical Intelligencer . 16 (2): 49–55. doi :10.1007/bf03024284. S2CID  119991567.
• Cómo reducir la profundidad de anidamiento de expresiones que involucran raíces cuadradas
• Simplificando raíces cuadradas de raíces cuadradas
• Weisstein, Eric W. "Raíz cuadrada". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Radical anidado". MathWorld .