En relatividad especial , electromagnetismo y teoría de ondas , el operador d'Alembert (indicado por un recuadro:) , también llamado operador de ondas d'Alembertiano , operador de caja o, a veces, operador de quabla [1] ( cf. símbolo de nabla ) es el Laplace operador del espacio Minkowski . El operador lleva el nombre del matemático y físico francés Jean le Rond d'Alembert .
En el espacio de Minkowski, en coordenadas estándar ( t , x , y , z ) , tiene la forma
Aquí está el laplaciano tridimensional y η μν es la métrica inversa de Minkowski con
Tenga en cuenta que los índices de suma μ y ν varían de 0 a 3: consulte la notación de Einstein .
(Algunos autores utilizan alternativamente la firma métrica negativa de (− + + +) , con .)
Las transformaciones de Lorentz dejan invariante la métrica de Minkowski , por lo que el d'Alembertiano produce un escalar de Lorentz . Las expresiones de coordenadas anteriores siguen siendo válidas para las coordenadas estándar en cada sistema inercial.
Hay una variedad de notaciones para el d'alembertiano. Los más comunes son el símbolo de caja ( Unicode : U+2610 ☐ BALLOT BOX ) cuyos cuatro lados representan las cuatro dimensiones del espacio-tiempo y el símbolo de caja cuadrada que enfatiza la propiedad escalar a través del término cuadrado (muy parecido al laplaciano ). De acuerdo con la notación triangular del laplaciano , a veces se utiliza.
Otra forma de escribir el d'alembertiano en coordenadas estándar planas es . Esta notación se utiliza ampliamente en la teoría cuántica de campos , donde las derivadas parciales suelen estar indexadas, por lo que la falta de un índice con la derivada parcial al cuadrado señala la presencia de la d'alembertiana.
A veces, el símbolo del cuadro se utiliza para representar la derivada covariante de Levi-Civita de cuatro dimensiones . Luego, el símbolo se utiliza para representar las derivadas espaciales, pero esto depende del gráfico de coordenadas .
La ecuación de onda para pequeñas vibraciones es de la forma
donde u ( x , t ) es el desplazamiento.
La ecuación de onda para el campo electromagnético en el vacío es
donde A μ es el cuatro potencial electromagnético en calibre de Lorenz .
La ecuación de Klein-Gordon tiene la forma
La función de Green , , para el d'alembertiano está definida por la ecuación
donde es la función delta de Dirac multidimensional y y son dos puntos en el espacio de Minkowski.
Una solución especial viene dada por la función de Green retardada que corresponde a la propagación de la señal solo hacia adelante en el tiempo [2]
¿Dónde está la función de paso de Heaviside ?
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