Un dígito numérico (a menudo abreviado simplemente como dígito ) es un símbolo único que se usa solo (como "1") o en combinaciones (como "15"), para representar números en un sistema de numeración posicional . El nombre "dígito" proviene del hecho de que los diez dígitos ( en latín digiti significa dedos) [1] de las manos corresponden a los diez símbolos del sistema numérico común de base 10 , es decir, el decimal (antiguo adjetivo latino decem que significa diez) [ 2] dígitos.
Para un sistema numérico dado con base entera , el número de dígitos diferentes necesarios viene dado por el valor absoluto de la base. Por ejemplo, el sistema decimal (base 10) requiere diez dígitos (0 al 9), mientras que el sistema binario (base 2) requiere dos dígitos (0 y 1).
En un sistema digital básico, un número es una secuencia de dígitos, que puede tener una longitud arbitraria. Cada posición en la secuencia tiene un valor posicional y cada dígito tiene un valor. El valor del número se calcula multiplicando cada dígito de la secuencia por su valor posicional y sumando los resultados.
Cada dígito en un sistema numérico representa un número entero. Por ejemplo, en decimal el dígito "1" representa el número entero uno , y en el sistema hexadecimal , la letra "A" representa el número diez . Un sistema numérico posicional tiene un dígito único para cada número entero desde cero hasta, pero sin incluir, la base del sistema numérico.
Así, en el sistema decimal posicional, los números del 0 al 9 se pueden expresar utilizando sus respectivos números del "0" al "9" en la posición de "unidades" más a la derecha. El número 12 se puede expresar con el numeral "2" en la posición de las unidades, y con el numeral "1" en la posición de las "decenas", a la izquierda del "2", mientras que el número 312 se puede expresar con tres numerales: "3" en la posición de "centenas", "1" en la posición de "decenas" y "2" en la posición de "unidades".
El sistema de numeración decimal utiliza un separador decimal , comúnmente un punto en inglés o una coma en otros idiomas europeos , [3] para indicar el "lugar de las unidades" o el "lugar de las unidades", [4] [5] [6] que tiene uno de valor posicional. Cada lugar sucesivo a la izquierda de este tiene un valor posicional igual al valor posicional del dígito anterior multiplicado por la base . De manera similar, cada lugar sucesivo a la derecha del separador tiene un valor posicional igual al valor posicional del dígito anterior dividido por la base. Por ejemplo, en el numeral 10.34 (escrito en base 10 ),
El valor total del número es 1 decena, 0 unidades, 3 décimas y 4 centésimas. El cero, que no aporta ningún valor al número, indica que el 1 está en el lugar de las decenas y no de las unidades.
El valor posicional de cualquier dígito determinado en un número se puede obtener mediante un cálculo simple, que en sí mismo es un complemento a la lógica detrás de los sistemas numéricos. El cálculo implica la multiplicación del dígito dado por la base elevada por el exponente n − 1 , donde n representa la posición del dígito desde el separador; el valor de n es positivo (+), pero esto es sólo si el dígito está a la izquierda del separador. Y a la derecha, el dígito se multiplica por la base elevada por un negativo (-) n . Por ejemplo, en el número 10.34 (escrito en base 10),
Se considera que el primer sistema de numeración posicional escrito verdadero es el sistema de numeración hindú-árabe . Este sistema se estableció en el siglo VII en la India, [12] pero aún no tenía su forma moderna porque el uso del dígito cero aún no había sido ampliamente aceptado. En lugar de un cero, a veces los dígitos se marcaban con puntos para indicar su significado, o se utilizaba un espacio como marcador de posición. El primer uso ampliamente reconocido del cero fue en 876. [13] Los números originales eran muy similares a los modernos, incluso hasta los glifos utilizados para representar dígitos. [12]
En el siglo XIII, los números arábigos occidentales fueron aceptados en los círculos matemáticos europeos ( Fibonacci los usó en su Liber Abaci ). Comenzaron a ser de uso común en el siglo XV. [14] A finales del siglo XX, prácticamente todos los cálculos no computarizados del mundo se realizaban con números arábigos, que han reemplazado los sistemas de numeración nativos en la mayoría de las culturas.
La edad exacta de los números mayas no está clara, pero es posible que sea más antigua que el sistema hindú-árabe. El sistema era vigesimal (base 20), por lo que tiene veinte dígitos. Los mayas usaban un símbolo de concha para representar el cero. Los números se escribieron verticalmente, con las unidades en la parte inferior. Los mayas no tenían equivalente al moderno separador decimal , por lo que su sistema no podía representar fracciones.
El sistema de numeración tailandés es idéntico al sistema de numeración hindú-árabe excepto por los símbolos utilizados para representar dígitos. El uso de estos dígitos es menos común en Tailandia que antes, pero todavía se utilizan junto con los números arábigos.
Los números de varilla, las formas escritas de varillas para contar que alguna vez usaron los matemáticos chinos y japoneses , son un sistema posicional decimal capaz de representar no solo el cero sino también los números negativos. Las propias varillas para contar son anteriores al sistema de numeración hindú-árabe. Los números de Suzhou son variantes de los números de varilla.
Los sistemas binario (base 2), octal (base 8) y hexadecimal (base 16), ampliamente utilizados en informática , siguen las convenciones del sistema numérico hindú-árabe . [15] El sistema binario utiliza sólo los dígitos "0" y "1", mientras que el sistema octal utiliza los dígitos del "0" al "7". El sistema hexadecimal utiliza todos los dígitos del sistema decimal, más las letras "A" a "F", que representan los números del 10 al 15 respectivamente. [16] Cuando se utiliza el sistema binario, el término "bit(s)" se utiliza normalmente como alternativa a "dígito(s)", siendo un acrónimo del término "dígito binario". Existen términos similares para otros sistemas numéricos, como "trit(s)" para un sistema ternario y "dit(s) para el sistema decimal, aunque se utilizan con menos frecuencia.
En ocasiones se han utilizado los sistemas ternario y ternario equilibrado . Ambos son sistemas de base 3. [17]
El ternario equilibrado es inusual porque tiene valores de dígitos 1, 0 y –1. El ternario equilibrado resulta tener algunas propiedades útiles y el sistema se ha utilizado en las computadoras experimentales rusas Setun . [18]
Varios autores en los últimos 300 años han notado una facilidad de notación posicional que equivale a una representación decimal modificada . Se citan algunas ventajas del uso de dígitos numéricos que representan valores negativos. En 1840, Augustin-Louis Cauchy abogó por el uso de la representación de números con dígitos con signo , y en 1928 Florian Cajori presentó su colección de referencias para números negativos . El concepto de representación de dígitos con signo también se ha adoptado en el diseño por computadora .
A pesar del papel esencial de los dígitos en la descripción de números, son relativamente poco importantes para las matemáticas modernas . [19] Sin embargo, hay algunos conceptos matemáticos importantes que hacen uso de la representación de un número como una secuencia de dígitos.
La raíz digital es el número de un solo dígito que se obtiene sumando los dígitos de un número dado, luego sumando los dígitos del resultado, y así sucesivamente hasta obtener un número de un solo dígito. [20]
Echar nueves es un procedimiento para comprobar la aritmética que se realiza a mano. Para describirlo, representemos la raíz digital de , como se describió anteriormente. Al sacar nueves se aprovecha el hecho de que si , entonces . En el proceso de sacar nueves, se calculan ambos lados de la última ecuación y, si no son iguales, la suma original debe haber sido defectuosa. [21]
Los repunits son números enteros que se representan únicamente con el dígito 1. Por ejemplo, 1111 (mil ciento once) es un repunit. Los repdigits son una generalización de repunits; son números enteros representados por instancias repetidas del mismo dígito. Por ejemplo, 333 es un repdígito. La primalidad de las repunitas es de interés para los matemáticos. [22]
Los números palindrómicos son números que se leen igual cuando se invierten sus dígitos. [23] Un número de Lychrel es un número entero positivo que nunca produce un número palindrómico cuando se somete al proceso iterativo de sumarse a sí mismo con dígitos invertidos. [24] La cuestión de si hay números de Lychrel en base 10 es un problema abierto en las matemáticas recreativas ; el candidato más pequeño es 196 . [25]
Las ayudas para contar, especialmente el uso de partes del cuerpo (contar con los dedos), ciertamente se utilizaron tanto en la prehistoria como en la actualidad. Hay muchas variaciones. Además de contar diez dedos, algunas culturas han contado los nudillos, el espacio entre los dedos de las manos y de los pies, así como los dedos de las manos. La cultura Oksapmin de Nueva Guinea utiliza un sistema de 27 ubicaciones en la parte superior del cuerpo para representar números. [26]
Para preservar la información numérica, desde tiempos prehistóricos se han utilizado cuentas talladas en madera, hueso y piedra. [27] Las culturas de la Edad de Piedra, incluidos los antiguos grupos indígenas americanos , utilizaban cuentas para juegos de azar, servicios personales y bienes comerciales.
Los sumerios inventaron un método para conservar información numérica en arcilla entre el 8000 y el 3500 a.C. [28] Esto se hacía con pequeñas fichas de arcilla de diversas formas que se ensartaban como cuentas en una cuerda. A partir del año 3500 a. C., aproximadamente, las fichas de arcilla fueron reemplazadas gradualmente por signos numéricos impresos con un lápiz redondo en diferentes ángulos en tablillas de arcilla (originalmente recipientes para fichas) que luego se horneaban. Alrededor del año 3100 a. C., los números escritos se disociaron de las cosas que se contaban y se convirtieron en números abstractos.
Entre 2700 y 2000 a. C., en Sumeria, la aguja redonda fue reemplazada gradualmente por una aguja de caña que se utilizaba para imprimir signos cuneiformes en forma de cuña en arcilla. Estos signos numéricos cuneiformes se parecían a los signos numéricos redondos que reemplazaron y conservaron la notación aditiva de valor de signo de los signos numéricos redondos. Estos sistemas convergieron gradualmente en un sistema numérico sexagesimal común; se trataba de un sistema de valor posicional que constaba de sólo dos marcas impresas, la cuña vertical y el galón, que también podían representar fracciones. [29] Este sistema numérico sexagesimal se desarrolló completamente al comienzo del período de la Antigua Babilonia (alrededor de 1950 a. C.) y se convirtió en estándar en Babilonia. [30]
Los números sexagesimales eran un sistema de bases mixtas que retenía la base alterna 10 y la base 6 en una secuencia de cuñas y galones verticales cuneiformes. En 1950 a. C., se trataba de un sistema de notación posicional . Los números sexagesimales llegaron a ser ampliamente utilizados en el comercio, pero también en cálculos astronómicos y de otro tipo. Este sistema fue exportado desde Babilonia y utilizado en toda Mesopotamia y en todas las naciones mediterráneas que utilizaban unidades de medida y conteo estándar babilónicas, incluidos los griegos, romanos y egipcios. La numeración sexagesimal al estilo babilónico todavía se utiliza en las sociedades modernas para medir el tiempo (minutos por hora) y los ángulos (grados). [31]
En China , los ejércitos y las provisiones se contaron utilizando recuentos modulares de números primos . Números únicos de tropas y medidas de arroz aparecen como combinaciones únicas de estos recuentos. Una gran ventaja de la aritmética modular es que es fácil de multiplicar. [32] Esto hace que el uso de la aritmética modular para las provisiones sea especialmente atractivo. Los recuentos convencionales son bastante difíciles de multiplicar y dividir. En los tiempos modernos, la aritmética modular se utiliza a veces en el procesamiento de señales digitales . [33]
El sistema griego más antiguo era el de los números áticos , [34] pero en el siglo IV a.C. se empezó a utilizar un sistema alfabético cuasisidecimal (ver Números griegos ). [35] Los judíos comenzaron a utilizar un sistema similar ( números hebreos ), siendo los ejemplos más antiguos conocidos monedas de alrededor del año 100 a.C. [36]
El imperio romano utilizaba cuentas escritas en cera, papiro y piedra, y seguía aproximadamente la costumbre griega de asignar letras a varios números. El sistema de números romanos siguió siendo de uso común en Europa hasta que la notación posicional se hizo común en el siglo XVI. [37]
Los mayas de Centroamérica utilizaron un sistema mixto de base 18 y base 20, posiblemente heredado de los olmecas , que incluía características avanzadas como la notación posicional y un cero . [38] Utilizaron este sistema para realizar cálculos astronómicos avanzados, incluidos cálculos muy precisos de la duración del año solar y la órbita de Venus . [39]
El Imperio Inca dirigió una gran economía dirigida utilizando quipu , cuentas hechas anudando fibras de colores. [40] El conocimiento de las codificaciones de los nudos y los colores fue suprimido por los conquistadores españoles en el siglo XVI y no ha sobrevivido, aunque en la región andina todavía se utilizan simples dispositivos de registro similares a quipu .
Algunas autoridades creen que la aritmética posicional comenzó con el uso generalizado de varillas de contar en China. [41] Los primeros registros posicionales escritos parecen ser resultados de cálculo de varillas en China alrededor del año 400. El cero fue utilizado por primera vez en la India en el siglo VII d.C. por Brahmagupta . [42]
El moderno sistema de numeración arábiga posicional fue desarrollado por matemáticos de la India y transmitido a los matemáticos musulmanes , junto con las tablas astronómicas traídas a Bagdad por un embajador indio alrededor del año 773. [43]
Desde la India , el próspero comercio entre los sultanes islámicos y África llevó el concepto a El Cairo . Los matemáticos árabes ampliaron el sistema para incluir fracciones decimales , y Muḥammad ibn Mūsā al-Ḵwārizmī escribió una obra importante al respecto en el siglo IX. [44] Los números arábigos modernos se introdujeron en Europa con la traducción de esta obra en el siglo XII en España y el Liber Abaci de Leonardo de Pisa de 1201. [45] En Europa, el sistema indio completo con el cero se derivó de los árabes en el siglo XII. [46]
El sistema binario (base 2), fue propagado en el siglo XVII por Gottfried Leibniz . [47] Leibniz había desarrollado el concepto al principio de su carrera y lo había revisado cuando revisó una copia del I Ching de China. [48] Los números binarios se volvieron de uso común en el siglo XX debido a las aplicaciones informáticas. [47]
unidades o lugar
lugar de unidades o de uno
lugar de las unidades o de los
unidades' o unidades', dígito
dígitos de unidades o unidades
unidades, o unidades, dígito
Todo número de dos cifras se puede expresar como 10t+u cuando t es la cifra de las decenas.
Es cierto que si abres una revista matemática moderna e intentas leer cualquier artículo, es muy probable que no veas ningún número.
El sistema corporal Okspamin incluye 27 partes del cuerpo...
...incluso muescas cortadas en palos hechos de madera, hueso u otros materiales que datan de hace 30.000 años (a menudo denominadas "cuentas con muescas").
{{cite book}}: Mantenimiento CS1: falta el editor de la ubicación ( enlace )Y así, a principios del tercer milenio B. C . , los sumerios y elamitas habían adoptado la práctica de registrar información numérica en pequeñas tablillas de arcilla, generalmente rectangulares.
Las ventajas de una representación modular son que la suma, resta y multiplicación son muy simples.
El primer caso fechado con seguridad en el que el uso de números alfabéticos hebreos es seguro es en monedas del reinado del rey asmoneo Alejandro Janneus (103 a 76 a. C.)...
La astronomía maya calculó con precisión tanto la duración del año solar como la revolución sinodal de Venus
…definitivamente antes del 400 a.C. poseían una notación posicional similar basada en las antiguas varillas de conteo.