Rosas especificadas por la sinusoide r = cos( kθ ) para varios valores numerados racionales de la frecuencia angular k = norte/d . Las rosas especificadas por r = sin( kθ ) son rotaciones de estas rosas por un cuarto del período de la sinusoide en sentido antihorario alrededor del polo (origen). Para un análisis matemático adecuado, k debe expresarse en forma irreducible.
En matemáticas , una curva en rosa o rododenaria es una sinusoide especificada por las funciones coseno o seno sin ángulo de fase que se representa gráficamente en coordenadas polares . Las curvas en rosa o "rodonarias" recibieron su nombre del matemático italiano que las estudió, Guido Grandi , entre los años 1723 y 1728. [1]
Visión general
Especificación
Una rosa es el conjunto de puntos en coordenadas polares especificados por la ecuación polar [2]
o en coordenadas cartesianas utilizando las ecuaciones paramétricas
Las rosas también se pueden especificar utilizando la función seno. [3] Dado que
.
Por lo tanto, la rosa especificada por r = a sin( kθ ) es idéntica a la especificada por r = a cos( kθ ) girada en sentido antihorario por π/2k radianes, que es una cuarta parte del período de cada sinusoide.
Representación artística de rosas con diferentes configuraciones de parámetros.
Las rosas están directamente relacionadas con las propiedades de los sinusoides que las especifican.
Pétalos
Los gráficos de rosas están compuestos por pétalos . Un pétalo es la forma formada por el gráfico de un semiciclo de la sinusoide que especifica la rosa. (Un ciclo es una porción de una sinusoide que es un período T = 2π/a largo y consta de un semiciclo positivo, el conjunto continuo de puntos donde r ≥ 0 y es yo/2 = π/a largo, y un semiciclo negativo es la otra mitad donde r ≤ 0 .)
La forma de cada pétalo es la misma porque los gráficos de los semiciclos tienen la misma forma. La forma está dada por el semiciclo positivo con cresta en ( a ,0) especificado por r = a cos( kθ ) (que está limitado por el intervalo de ángulo − yo/4 ≤ θ ≤ yo/4 ). El pétalo es simétrico respecto del eje polar. Todos los demás pétalos son rotaciones de este pétalo respecto del polo, incluidos los de las rosas especificadas por la función seno con los mismos valores para a y k . [5]
De acuerdo con las reglas para representar puntos en coordenadas polares, un punto en un semiciclo negativo no puede representarse en su ángulo polar porque su coordenada radial r es negativa. El punto se representa sumando π radianes al ángulo polar con una coordenada radial | r | . Por lo tanto, los semiciclos positivos y negativos pueden coincidir en el gráfico de una rosa. Además, las rosas están inscritas en el círculo r = a .
Cuando el período T de la sinusoide es menor o igual a 4 π , la forma del pétalo es un bucle cerrado único. Se forma un bucle único porque el intervalo de ángulo para un diagrama polar es 2 π y el ancho angular del semiciclo es menor o igual a 2 π . Cuando T > 4 π (o | k | < 1/2 ) la trama de un semiciclo puede verse como una espiral que sale del polo en más de un circuito alrededor del polo hasta que la gráfica llega al círculo inscrito donde vuelve en espiral al polo, se cruza consigo misma y forma uno o más bucles a lo largo del camino. En consecuencia, cada pétalo forma dos bucles cuando 4 π < T ≤ 8 π (o 1/4 ≤ | k | < 1/2 ), tres bucles cuando 8 π < T ≤ 12 π (o 1/6 ≤ | k | < 1/4 ), etc. Se observan rosas con un solo pétalo con múltiples bucles para k = 1/3 , 1/5 , 1/7 , etc. (Véase la figura en la sección de introducción).
Los pétalos de una rosa no se intersecan entre sí cuando la frecuencia angular k es un entero distinto de cero; de lo contrario, los pétalos se intersecan entre sí.
Simetría
Todas las rosas muestran una o más formas de simetría debido a las propiedades simétricas y periódicas subyacentes de las sinusoides.
Una rosa especificada como r = a cos( kθ ) es simétrica respecto del eje polar (la línea θ = 0 ) debido a la identidad a cos( kθ ) = a cos(− kθ ) que hace que las rosas especificadas por las dos ecuaciones polares coincidan.
Una rosa especificada como r = a sen( kθ ) es simétrica respecto de la línea vertical θ = π/2 debido a la identidad a sen( kθ ) = a sen( π − kθ ) que hace que las rosas especificadas por las dos ecuaciones polares coincidan.
Sólo ciertas rosas son simétricas respecto al poste.
Los pétalos individuales son simétricos respecto de la línea que pasa por el polo y la punta del pétalo, lo que refleja la simetría del semiciclo de la sinusoide subyacente. Las rosas compuestas por un número finito de pétalos son, por definición, rotacionalmente simétricas , ya que cada pétalo tiene la misma forma y los pétalos sucesivos giran aproximadamente el mismo ángulo respecto del polo.
Rosas con valores enteros distintos de ceroa
La rosa r = cos(4 θ ) . Como k = 4 es un número par, la rosa tiene 2 k = 8 pétalos. Los segmentos de línea que conectan picos sucesivos se encuentran en el círculo r = 1 y formarán un octógono . Como un pico está en (1,0), el octógono hace que dibujar el gráfico sea relativamente fácil después de que se dibujan los límites de los semiciclos (que corresponden a las apotemas).La rosa especificada por r = cos(7 θ ) . Como k = 7 es un número impar, la rosa tiene k = 7 pétalos. Los segmentos de línea que conectan los picos sucesivos se encuentran en el círculo r = 1 y formarán un heptágono . La rosa está inscrita en el círculo r = 1 .
Cuando k es un entero distinto de cero, la curva tendrá forma de rosa con 2 k pétalos si k es par, y k pétalos cuando k es impar. [6] Las propiedades de estas rosas son un caso especial de rosas con frecuencias angulares k que son números racionales que se analizan en la siguiente sección de este artículo.
La rosa está inscrita en el círculo r = a , correspondiente a la coordenada radial de todos sus vértices.
Debido a que un gráfico de coordenadas polares está limitado a ángulos polares entre 0 y 2 π , hay 2π/yo = k ciclos mostrados en el gráfico. No es necesario trazar puntos adicionales porque la coordenada radial en θ = 0 es el mismo valor en θ = 2 π (que son crestas para dos semiciclos positivos diferentes para rosas especificadas por la función coseno).
Cuando k es par (y distinto de cero), la rosa está compuesta por 2 k pétalos, uno por cada pico en el intervalo de 2 π de ángulos polares mostrados. Cada pico corresponde a un punto que se encuentra en el círculo r = a . Los segmentos de línea que conectan picos sucesivos formarán un polígono regular con un número par de vértices que tiene su centro en el polo y un radio a través de cada pico, y de la misma manera:
Las rosas son simétricas respecto al poste.
Las rosas son simétricas respecto de cada línea que pasa por el polo y un pico (a través del "medio" un pétalo) con el ángulo polar entre los picos de los pétalos sucesivos siendo 2π/2k = π/a radianes. Por lo tanto, estas rosas tienen simetría rotacional de orden 2 k .
Las rosas son simétricas respecto de cada línea que biseca el ángulo entre picos sucesivos, lo que corresponde a los límites del semiciclo y la apotema del polígono correspondiente.
Cuando k es impar, la rosa está compuesta por k pétalos, uno por cada cresta (o valle) en el intervalo de 2 π de ángulos polares mostrados. Cada pico corresponde a un punto que se encuentra en el círculo r = a . Los semiciclos positivos y negativos de estas rosas son coincidentes, lo que significa que al graficarlas, solo es necesario trazar los semiciclos positivos o solo los semiciclos negativos para formar la curva completa. (De manera equivalente, se graficará una curva completa trazando cualquier intervalo continuo de ángulos polares que tenga una longitud de π radianes, como θ = 0 a θ = π . [7] ) Los segmentos de línea que conectan picos sucesivos formarán un polígono regular con un número impar de vértices, y de la misma manera:
Las rosas son simétricas respecto de cada línea que pasa por el mástil y un pico (a través del medio de un pétalo) con el ángulo polar entre los picos de los pétalos sucesivos siendo 2π/a radianes. Por lo tanto, estas rosas tienen simetría rotacional de orden k .
Los pétalos de la rosa no se superponen.
Las rosas se pueden especificar mediante curvas algebraicas de orden k + 1 cuando k es impar, y 2( k + 1) cuando k es par. [8]
El circulo
Una rosa con k = 1 es un círculo que se encuentra en el polo con un diámetro que se encuentra en el eje polar cuando r = a cos( θ ) . El círculo es el único pétalo de la curva. (Vea el círculo que se está formando al final de la siguiente sección). En coordenadas cartesianas, las especificaciones equivalentes de coseno y seno son
y
respectivamente.
El cuadrifolio
Una rosa con k = 2 se llama cuadrifolio porque tiene 2k = 4 pétalos y formará un cuadrado . En coordenadas cartesianas, las especificaciones del coseno y el seno son
y
respectivamente.
El trifolio
Una rosa con k = 3 se llama trifolio [9] porque tiene k = 3 pétalos y formará un triángulo equilátero . La curva también se llama Paquerette de Mélibée. En coordenadas cartesianas, las especificaciones del coseno y el seno son
y
respectivamente. [10] (Vea el trifolio que se está formando al final de la siguiente sección).
El octafolio
Una rosa con k = 4 se llama octafolio porque tiene 2k = 8 pétalos y formará un octógono . En coordenadas cartesianas, las especificaciones del coseno y el seno son
y
respectivamente.
El pentafolio
Una rosa con k = 5 se llama pentafolio porque tiene k = 5 pétalos y formará un pentágono regular . En coordenadas cartesianas, las especificaciones del coseno y el seno son
y
respectivamente.
El dodecafolio
Una rosa con k = 6 se llama dodecafolio porque tiene 2k = 12 pétalos y formará un dodecágono . En coordenadas cartesianas, las especificaciones del coseno y el seno son
y
respectivamente.
Áreas totales y de pétalos
El área total de una rosa con ecuación polar de la forma r = a cos( kθ ) o r = a sin( kθ ) , donde k es un entero distinto de cero, es [11]
Cuando k es par, hay 2 k pétalos; y cuando k es impar, hay k pétalos, por lo que el área de cada pétalo esπa2/4k .
Rosas con valores de números racionales paraa
En general, cuando k es un número racional en forma de fracción irreducible k = norte/d , donde n y d son números enteros distintos de cero, el número de pétalos es el denominador de la expresión 1/2 − 1/2k = n - d/2 n . [12] Esto significa que el número de pétalos es n si tanto n como d son impares, y 2 n en caso contrario. [13]
En el caso en que tanto n como d sean impares, los semiciclos positivo y negativo de la sinusoide son coincidentes. La gráfica de estas rosas se completa en cualquier intervalo continuo de ángulos polares que tenga una longitud dπ . [14]
Cuando n es par y d es impar, o viceversa, la rosa se graficará completamente en un intervalo de ángulo polar continuo de 2 dπ de longitud. [15] Además, las rosas son simétricas respecto del polo tanto para las especificaciones de coseno como de seno. [16]
Además, cuando n es impar y d es par, las rosas especificadas por las ecuaciones polares de coseno y seno con los mismos valores de a y k son coincidentes. Para un par de rosas de este tipo, la rosa con la especificación de la función seno es coincidente con la cresta de la rosa con la especificación del coseno en el eje polar, ya sea en θ = drπ/2 o en θ = 3dπ/2 . (Esto significa que las rosas r = a cos( kθ ) y r = a sen( kθ ) con valores enteros distintos de cero de k nunca son coincidentes.)
La rosa está inscrita en el círculo r = a , correspondiente a la coordenada radial de todos sus vértices.
El folio de Durero
Una rosa con k = 1/2 se llama folium de Durero, en honor al pintor y grabador alemán Alberto Durero . Las rosas especificadas por r = a cos( θ/2 ) y r = un sen( θ/2 ) son coincidentes aunque un cos( θ/2 ) ≠ un pecado( θ/2 ) . En coordenadas cartesianas la rosa se especifica como [17]
El folio de Durero es también una trisectriz , una curva que puede utilizarse para trisecar ángulos.
La trisectriz de limaçon
Una rosa con k = 1/3 es una trisectriz de limaçon que tiene la propiedad de curvas trisectriz que se pueden usar para trisecar ángulos. La rosa tiene un solo pétalo con dos bucles. (Vea la animación a continuación).
Ejemplos de rosas r = cos( kθ ) creadas utilizando engranajes con diferentes relaciones. Los rayos que se muestran son el eje polar y θ = π/2 . La representación gráfica comienza en θ = 2 π cuando k es un entero, θ = 2 dπ en caso contrario, y continúa en el sentido de las agujas del reloj hasta θ = 0 .
Rosas con valores de números irracionales paraa
Una curva de rosa especificada con un número irracional para k tiene un número infinito de pétalos [18] y nunca se completará. Por ejemplo, la sinusoide r = a cos( πθ ) tiene un período T = 2 , por lo que tiene un pétalo en el intervalo del ángulo polar − 1/2 ≤ θ ≤ 1/2 con una cresta en el eje polar; sin embargo, no hay otro ángulo polar en el dominio de la ecuación polar que se trace en las coordenadas ( a ,0) . En general, las rosas especificadas por sinusoides con frecuencias angulares que son constantes irracionales forman un conjunto denso (es decir, se acercan arbitrariamente a especificar cada punto en el disco r ≤ a ).
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta &={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}&&\quad {\text{para }}k\\[8px]{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta &={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}&&\quad {\text{para impar }}k\end{alineado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58ed28979bb8ca9b9a7b7f44593149ea14500e9d)
