En geometría , el cubo del Príncipe Rupert es el cubo más grande que puede pasar a través de un agujero cortado en un cubo unitario sin dividirlo en pedazos separados. Su longitud de lado es aproximadamente 1,06, un 6% más grande que la longitud del lado 1 del cubo unitario por el que pasa. El problema de encontrar el cuadrado más grande que se encuentra completamente dentro de un cubo unitario está estrechamente relacionado y tiene la misma solución.
El cubo del príncipe Ruperto recibe su nombre del príncipe Ruperto del Rin , quien preguntó si un cubo podía pasar a través de un agujero hecho en otro cubo del mismo tamaño sin partirlo en dos. John Wallis dio una respuesta afirmativa . Aproximadamente 100 años después, Pieter Nieuwland descubrió el cubo más grande posible que puede pasar a través de un agujero en un cubo unitario.
Se ha demostrado que muchos otros poliedros convexos , incluidos los cinco sólidos platónicos , tienen la propiedad de Rupert : una copia del poliedro, de la misma forma o de mayor tamaño, puede pasarse a través de un agujero en el poliedro. Se desconoce si esto es cierto para todos los poliedros convexos.
Coloque dos puntos en dos aristas adyacentes de un cubo unitario, cada uno a una distancia de 3/4 del punto donde se encuentran las dos aristas, y dos puntos más simétricamente en la cara opuesta del cubo. Entonces estos cuatro puntos forman un cuadrado con una longitud de lado Una forma de ver esto es observar primero que estos cuatro puntos forman un rectángulo, por las simetrías de su construcción. Las longitudes de los cuatro lados de este rectángulo son iguales , por el teorema de Pitágoras o (equivalentemente) la fórmula para la distancia euclidiana en tres dimensiones. Por ejemplo, los dos primeros puntos, junto con el tercer punto donde se encuentran sus dos aristas, forman un triángulo rectángulo isósceles con catetos de longitud , y la distancia entre los dos primeros puntos es la hipotenusa del triángulo. Como un rectángulo con cuatro lados iguales, la forma formada por estos cuatro puntos es un cuadrado. Extrudir el cuadrado en ambas direcciones perpendicularmente a sí mismo forma el agujero a través del cual puede pasar un cubo más grande que el original, hasta una longitud de lado . [1]
Las partes del cubo unitario que quedan, después de vaciar este agujero, forman dos prismas triangulares y dos tetraedros irregulares , conectados por puentes delgados en los cuatro vértices del cuadrado. Cada prisma tiene como seis vértices dos vértices adyacentes del cubo, y cuatro puntos a lo largo de las aristas del cubo a una distancia de 1/4 de estos vértices del cubo. Cada tetraedro tiene como cuatro vértices un vértice del cubo, dos puntos a una distancia de 3/4 de él en dos de las aristas adyacentes, y un punto a una distancia de 3/16 del vértice del cubo a lo largo de la tercera arista adyacente. [2]
El cubo del príncipe Rupert recibe su nombre del príncipe Rupert del Rin . Según una historia contada en 1693 por el matemático inglés John Wallis , el príncipe Rupert apostó a que se podía hacer un agujero en un cubo lo suficientemente grande como para que otro cubo del mismo tamaño pasara por él. Wallis demostró que, de hecho, era posible hacer un agujero de ese tamaño (con algunos errores que no se corrigieron hasta mucho después), y el príncipe Rupert ganó su apuesta. [3] [4]
Wallis supuso que el agujero sería paralelo a una diagonal espacial del cubo. La proyección del cubo sobre un plano perpendicular a esta diagonal es un hexágono regular , y el mejor agujero paralelo a la diagonal se puede encontrar dibujando el cuadrado más grande posible que se pueda inscribir en este hexágono. Calculando el tamaño de este cuadrado se muestra que un cubo con una longitud de lado
Un poco más grande que uno, es capaz de pasar a través del agujero. [3]
Aproximadamente 100 años después, el matemático holandés Pieter Nieuwland descubrió que se podía lograr una mejor solución utilizando un agujero con un ángulo diferente al de la diagonal espacial. De hecho, la solución de Nieuwland es óptima. Nieuwland murió en 1794, un año después de aceptar un puesto como profesor en la Universidad de Leiden , y su solución fue publicada póstumamente en 1816 por el mentor de Nieuwland, Jean Henri van Swinden . [3] [4] [5]
Desde entonces, el problema se ha repetido en muchos libros sobre matemáticas recreativas , en algunos casos con la solución subóptima de Wallis en lugar de la solución óptima. [1] [2] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12]
La construcción de un modelo físico del cubo del Príncipe Rupert se vuelve un desafío debido a la precisión con la que se debe medir dicho modelo y a la delgadez de las conexiones entre las partes restantes del cubo unitario después de cortar el agujero a través de él. Para el cubo interior de tamaño máximo con una longitud de ≈1,06 en relación con el cubo exterior de longitud 1, construir un modelo es "matemáticamente posible pero prácticamente imposible". [13] Por otro lado, utilizando la orientación del cubo máximo pero haciendo un agujero más pequeño, lo suficientemente grande solo para un cubo unitario, queda un espesor adicional que permite la integridad estructural. [14]
En el ejemplo que se propone originalmente por el príncipe Rupert, en el que se utilizan dos cubos del mismo tamaño, es posible construir un modelo. En un estudio sobre el problema realizado en 1950, DJE Schrek publicó fotografías de un modelo de un cubo que pasa por un agujero en otro cubo. [15] Martin Raynsford ha diseñado una plantilla para construir modelos de papel de un cubo con otro cubo que pasa por él; sin embargo, para tener en cuenta las tolerancias de la construcción con papel y no romper el papel en las estrechas uniones entre las partes del cubo perforado, el agujero en el modelo de Raynsford solo deja pasar cubos que son ligeramente más pequeños que el cubo exterior. [16]
Desde la llegada de la impresión 3D , la construcción de un cubo Príncipe Rupert con una proporción 1:1 se ha vuelto fácil. [17]
Se dice que un poliedro tiene la propiedad de Rupert si un poliedro del mismo tamaño o mayor y la misma forma que puede pasar a través de un agujero en . [18] Los cinco sólidos platónicos (el cubo, el tetraedro regular , el octaedro regular , [19] el dodecaedro regular y el icosaedro regular ) tienen la propiedad de Rupert. De los 13 sólidos arquimedianos , se sabe que al menos estos diez tienen la propiedad de Rupert: el cuboctaedro , octaedro truncado , cubo truncado , rombicuboctaedro , icosidodecaedro , cuboctaedro truncado , icosaedro truncado , dodecaedro truncado , [20] y el tetraedro truncado [21] [22] , así como el icosidodecaedro truncado [23] [24] . Se ha conjeturado que todos los poliedros convexos tridimensionales tienen esta propiedad [18] , pero también, por el contrario, que el rombicosidodecaedro no tiene la propiedad de Rupert [23] [24] .
Los cubos y todos los sólidos rectangulares tienen pasajes de Rupert en todas las direcciones que no son paralelas a ninguna de sus caras. [25]
Otra forma de expresar el mismo problema es preguntar por el cuadrado más grande que se encuentra dentro de un cubo unitario. De manera más general, Jerrard y Wetzel (2004) muestran cómo encontrar el rectángulo más grande de una relación de aspecto dada que se encuentra dentro de un cubo unitario. Como observan, el rectángulo óptimo siempre debe estar centrado en el centro del cubo, con sus vértices en los bordes del cubo. Dependiendo de su relación de aspecto , la relación entre sus lados largo y corto, hay dos casos de cómo se puede colocar dentro del cubo. Para una relación de aspecto de o más, el rectángulo óptimo se encuentra dentro del rectángulo que conecta dos bordes opuestos del cubo, que tiene una relación de aspecto exactamente . Para relaciones de aspecto más cercanas a 1 (incluida la relación de aspecto 1 para el cuadrado del cubo del Príncipe Rupert), dos de los cuatro vértices de un rectángulo óptimo son equidistantes de un vértice del cubo, a lo largo de dos de los tres bordes que tocan ese vértice. Los otros dos vértices del rectángulo son las reflexiones de los dos primeros a través del centro del cubo. [4] Si la relación de aspecto no está restringida, el rectángulo con el área más grande que cabe dentro de un cubo es aquel cuya relación de aspecto tiene dos bordes opuestos del cubo como dos de sus lados y dos diagonales de las caras como los otros dos lados. [26]
Se sabe que once de los trece sólidos Catalan y 87 de los noventa y dos sólidos Johnson (todos excepto J72, J73, J74, J75, J77) tienen la propiedad de Rupert. (Los sólidos Catalan para los que no se conoce la propiedad de Rupert son el hexecontaedro deltoidal y el hexecontaedro pentagonal .) [27]
Para todos los , el hipercubo -dimensional también tiene la propiedad de Rupert. [28] Además, uno puede preguntar por el hipercubo -dimensional más grande que se puede dibujar dentro de un hipercubo unitario -dimensional . La respuesta es siempre un número algebraico . Por ejemplo, el problema para pide el cubo (tridimensional) más grande dentro de un hipercubo de cuatro dimensiones. Después de que Martin Gardner planteara esta pregunta en Scientific American , Kay R. Pechenick DeVicci y varios otros lectores demostraron que la respuesta para el caso (3,4) es la raíz cuadrada de la menor de dos raíces reales del polinomio , que resulta aproximadamente en 1.007435. [1] [29] Para , la longitud lateral óptima del cuadrado más grande en un hipercubo -dimensional es o , dependiendo de si es par o impar respectivamente. [30]
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