Cuasi-isometría

Función entre dos espacios métricos que sólo respeta su geometría de gran escala

En matemáticas , una cuasi-isometría es una función entre dos espacios métricos que respeta la geometría a gran escala de estos espacios e ignora sus detalles a pequeña escala. Dos espacios métricos son cuasi-isométricos si existe una cuasi-isometría entre ellos. La propiedad de ser cuasi-isométrico se comporta como una relación de equivalencia en la clase de espacios métricos.

El concepto de cuasi-isometría es especialmente importante en la teoría de grupos geométricos , siguiendo el trabajo de Gromov . ^[1]

Esta red es cuasi isométrica al plano.

Definición

Supóngase que es una función (no necesariamente continua) de un espacio métrico a un segundo espacio métrico . Entonces se llama cuasi-isometría de a si existen constantes , , y tales que se cumplen las dos propiedades siguientes: ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ ${\displaystyle A\geq 1}$ ${\displaystyle B\geq 0}$ ${\displaystyle C\geq 0}$

1. Para cada dos puntos y en , la distancia entre sus imágenes es hasta la constante aditiva dentro de un factor de de su distancia original. Más formalmente: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

   ${\displaystyle \forall x,y\in M_{1}:{\frac {1}{A}}\;d_{1}(x,y)-B\leq d_{2}(f(x),f(y))\leq A\;d_{1}(x,y)+B.}$

2. Cada punto de está dentro de la distancia constante de un punto de la imagen. Más formalmente: ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle C}$

   ${\displaystyle \forall z\in M_{2}:\exists x\in M_{1}:d_{2}(z,f(x))\leq C.}$

Los dos espacios métricos y se denominan cuasi-isométricos si existe una cuasi-isometría de a . ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

Una función se denomina incrustación cuasi-isométrica si satisface la primera condición pero no necesariamente la segunda (es decir, es aproximadamente Lipschitz pero puede no ser aproximadamente sobreyectiva). En otras palabras, si a través de la función, es cuasi-isométrica a un subespacio de . ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

Se dice que dos espacios métricos M ₁ y M ₂ son cuasi-isométricos , denotado , si existe una cuasi-isometría . ${\displaystyle M_{1}{\underset {q.i.}{\sim }}M_{2}}$ ${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$

Ejemplos

La función entre el plano euclidiano y el plano con la distancia de Manhattan que envía cada punto hacia sí mismo es una cuasi-isometría: en ella, las distancias se multiplican por un factor de como máximo . Nótese que no puede haber isometría, ya que, por ejemplo, los puntos están a igual distancia entre sí en la distancia de Manhattan, pero en el plano euclidiano no hay 4 puntos que estén a igual distancia entre sí. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)}$

La función (ambas con la métrica euclidiana ) que envía cada -tupla de números enteros a sí misma es una cuasi-isometría: las distancias se conservan exactamente, y cada tupla real está dentro de la distancia de una tupla de números enteros. En la otra dirección, la función discontinua que redondea cada tupla de números reales a la tupla de números enteros más cercana también es una cuasi-isometría: cada punto es llevado por esta función a un punto dentro de la distancia de él, por lo que el redondeo cambia la distancia entre pares de puntos sumando o restando como máximo . ${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {n/4}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {n/4}}}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {n/4}}}$

Todo par de espacios métricos finitos o acotados es cuasi-isométrico. En este caso, toda función de un espacio al otro es una cuasi-isometría.

Relación de equivalencia

Si es una cuasi-isometría, entonces existe una cuasi-isometría . En efecto, puede definirse siendo cualquier punto en la imagen de que esté dentro de la distancia de , y siendo cualquier punto en . ${\displaystyle f:M_{1}\mapsto M_{2}}$ ${\displaystyle g:M_{2}\mapsto M_{1}}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$

Dado que el mapa identidad es una cuasi-isometría y la composición de dos cuasi-isometrías es una cuasi-isometría, se deduce que la propiedad de ser cuasi-isométrico se comporta como una relación de equivalencia en la clase de espacios métricos.

Uso en teoría de grupos geométricos

Dado un conjunto generador finito S de un grupo finitamente generado G , podemos formar el grafo de Cayley correspondiente de S y G . Este grafo se convierte en un espacio métrico si declaramos que la longitud de cada arista es 1. Tomar un conjunto generador finito T diferente da como resultado un grafo diferente y un espacio métrico diferente, sin embargo los dos espacios son cuasi-isométricos. ^[3] Esta clase cuasi-isométrica es, por lo tanto, un invariante del grupo G . Cualquier propiedad de los espacios métricos que solo dependa de la clase cuasi-isométrica de un espacio produce inmediatamente otro invariante de grupos, abriendo el campo de la teoría de grupos a los métodos geométricos.

En términos más generales, el lema de Švarc-Milnor establece que si un grupo G actúa de manera discontinua con cociente compacto en un espacio geodésico propio X, entonces G es cuasi-isométrico a X (lo que significa que cualquier grafo de Cayley para G lo es). Esto da nuevos ejemplos de grupos cuasi-isométricos entre sí:

• Si G' es un subgrupo de índice finito en G entonces G' es cuasi-isométrico a G ;
• Si G y H son los grupos fundamentales de dos variedades hiperbólicas compactas de la misma dimensión d, entonces ambos son cuasi-isométricos al espacio hiperbólico H ^d y, por lo tanto, entre sí; por otra parte, hay infinitas clases cuasi-isométricas de grupos fundamentales de volumen finito. ^[4]

Cuasigeodésicas y el lema de Morse

Una cuasi-geodésica en un espacio métrico es una incrustación cuasi-isométrica de en . Más precisamente, un mapa tal que existe de modo que ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} \to X}$ ${\displaystyle C,K>0}$

${\displaystyle \forall s,t\in \mathbb {R} :C^{-1}|s-t|-K\leq d(\phi (t),\phi (s))\leq C|s-t|+K}$

Se denomina cuasi-geodésica. Obviamente, las geodésicas (parametrizadas por la longitud del arco) son cuasi-geodésicas. El hecho de que en algunos espacios la inversa sea aproximadamente cierta, es decir, que toda cuasi-geodésica se mantenga dentro de una distancia acotada de una geodésica verdadera, se denomina Lema de Morse (que no debe confundirse con el lema de Morse en topología diferencial). Formalmente, el enunciado es: ${\displaystyle (C,K)}$

Sea y un espacio δ-hiperbólico propio . Existe tal que para cualquier -cuasi-geodésica existe una geodésica en tal que para todo . ${\displaystyle \delta ,C,K>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (C,K)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(\phi (t),L)\leq M}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

Es una herramienta importante en la teoría geométrica de grupos. Una aplicación inmediata es que cualquier cuasi-isometría entre espacios hiperbólicos propios induce un homeomorfismo entre sus límites. Este resultado es el primer paso en la demostración del teorema de rigidez de Mostow .

Además, este resultado ha resultado útil para analizar el diseño de la interacción del usuario en aplicaciones similares a Google Maps . ^[5]

Ejemplos de invariantes cuasi-isométricos de grupos

Los siguientes son algunos ejemplos de propiedades de los gráficos de Cayley grupales que son invariantes bajo cuasisometría: ^[2]

Hiperbolicidad

Un grupo se denomina hiperbólico si uno de sus gráficos de Cayley es un espacio δ-hiperbólico para algún δ. Al traducir entre distintas definiciones de hiperbolicidad, el valor particular de δ puede cambiar, pero las nociones resultantes de un grupo hiperbólico resultan ser equivalentes.

Los grupos hiperbólicos tienen un problema de palabras solucionable . Son biautomáticos y automáticos .: ^[6] de hecho, son fuertemente geodésicamente automáticos , es decir, existe una estructura automática en el grupo, donde el lenguaje aceptado por el aceptor de palabras es el conjunto de todas las palabras geodésicas.

Crecimiento

La tasa de crecimiento de un grupo con respecto a un conjunto generador simétrico describe el tamaño de las bolas del grupo. Cada elemento del grupo se puede escribir como un producto de generadores, y la tasa de crecimiento cuenta la cantidad de elementos que se pueden escribir como un producto de longitud n .

Según el teorema de Gromov , un grupo de crecimiento polinómico es virtualmente nilpotente , es decir, tiene un subgrupo nilpotente de índice finito . En particular, el orden de crecimiento polinómico tiene que ser un número natural y, de hecho , . ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \#(n)\sim n^{k_{0}}}$

Si crece más lentamente que cualquier función exponencial, G tiene una tasa de crecimiento subexponencial . Cualquier grupo de este tipo es susceptible . ${\displaystyle \#(n)}$

Finaliza

Los extremos de un espacio topológico son, en términos generales, los componentes conectados del “límite ideal” del espacio. Es decir, cada extremo representa una forma topológicamente distinta de moverse hacia el infinito dentro del espacio. Al agregar un punto en cada extremo se produce una compactificación del espacio original, conocida como compactificación de extremos .

Los extremos de un grupo finitamente generado se definen como los extremos del grafo de Cayley correspondiente ; esta definición es independiente de la elección de un conjunto generador finito. Todo grupo infinito finitamente generado tiene 0, 1, 2 o una cantidad infinita de extremos, y el teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos proporciona una descomposición para grupos con más de un extremo.

Si dos gráficos finitos localmente conectados son cuasi-isométricos, entonces tienen el mismo número de extremos. ^[7] En particular, dos grupos finitamente generados cuasi-isométricos tienen el mismo número de extremos.

Docilidad

Un grupo amable es un grupo topológico localmente compacto G que lleva a cabo una especie de operación de promediado sobre funciones acotadas que es invariante bajo la traslación de elementos del grupo. La definición original, en términos de una medida invariante finitamente aditiva (o media) sobre subconjuntos de G , fue introducida por John von Neumann en 1929 bajo el nombre alemán "messbar" ("medible" en inglés) en respuesta a la paradoja de Banach-Tarski . En 1949 Mahlon M. Day introdujo la traducción inglesa "amable", aparentemente como un juego de palabras. ^[8]

En la teoría de grupos discretos , donde G tiene la topología discreta , se utiliza una definición más simple. En este contexto, un grupo es aceptable si se puede decir qué proporción de G ocupa cualquier subconjunto dado.

Si un grupo tiene una secuencia de Følner entonces es automáticamente susceptible de ser aplicado.

Cono asintótico

Un ultralímite es una construcción geométrica que asigna a una secuencia de espacios métricos X _n un espacio métrico límite. Una clase importante de ultralímites son los llamados conos asintóticos de espacios métricos. Sea ( X , d ) un espacio métrico, sea ω un ultrafiltro no principal en y sea p _n  ∈  X una secuencia de puntos base. Entonces el ω –ultralímite de la secuencia se llama cono asintótico de X con respecto a ω y y se denota . A menudo se toma la secuencia de puntos base como constante, p _n = p para algún p ∈ X ; en este caso el cono asintótico no depende de la elección de p ∈ X y se denota por o simplemente . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (X,{\frac {d}{n}},p_{n})}$ ${\displaystyle (p_{n})_{n}\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d)\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$

La noción de cono asintótico juega un papel importante en la teoría de grupos geométricos ya que los conos asintóticos (o, más precisamente, sus tipos topológicos y tipos bi-Lipschitz ) proporcionan invariantes cuasi-isométricos de espacios métricos en general y de grupos finitamente generados en particular. ^[9] Los conos asintóticos también resultan ser una herramienta útil en el estudio de grupos relativamente hiperbólicos y sus generalizaciones. ^[10]

Véase también

• Isometría
• Estructura gruesa

Referencias

1. Bridson, Martin R. (2008), "Teoría de grupos combinatorios y geométricos", en Gowers, Timothy ; Barrow-Green, junio; Leader, Imre (eds.), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, págs. 431–448, ISBN 978-0-691-11880-2
2. P. de la Harpe, Temas de teoría geométrica de grupos . Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago, IL, 2000. ISBN 0-226-31719-6 
3. RB Sher y RJ Daverman (2002), Manual de topología geométrica , North-Holland. ISBN 0-444-82432-4 . 
4. Schwartz, Richard (1995). "La clasificación cuasi-isométrica de redes de rango uno". IHÉ.S. Publications Mathématiques . 82 : 133–168. doi :10.1007/BF02698639. S2CID  67824718.
5. Baryshnikov, Yuliy; Ghrist, Robert (8 de mayo de 2023). "Navegando por la curvatura negativa de Google Maps". The Mathematical Intelligencer . doi :10.1007/s00283-023-10270-w. ISSN  0343-6993.
6. Charney, Ruth (1992), "Los grupos de Artin de tipo finito son biautomáticos", Mathematische Annalen , 292 : 671–683, doi :10.1007/BF01444642, S2CID  120654588
7. Stephen G. Brick (1993). "Cuasi-isometrías y extremos de grupos". Revista de álgebra pura y aplicada . 86 (1): 23–33. doi :10.1016/0022-4049(93)90150-R.
8. El primer uso publicado de la palabra por parte de Day se encuentra en su resumen para una reunión de verano de la AMS en 1949, Means on semigroups and groups, Bull. AMS 55 (1949) 1054–1055. Muchos libros de texto sobre amabilidad, como el de Volker Runde, sugieren que Day eligió la palabra como un juego de palabras.
9. John Roe. Conferencias sobre geometría básica. American Mathematical Society , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 
10. Cornelia Druţu y Mark Sapir (con un apéndice de Denis Osin y Mark Sapir ), Espacios graduados en árboles y conos asintóticos de grupos. Topología , Volumen 44 (2005), núm. 5, págs. 959–1058.