Cuasicírculo

Imagen compleja cuasiconformal de un círculo

En matemáticas , un cuasicírculo es una curva de Jordan en el plano complejo que es la imagen de un círculo bajo una aplicación cuasiconforme del plano sobre sí mismo. Originalmente introducidos de forma independiente por Pfluger (1961) y Tienari (1962), en la literatura más antigua (en alemán) se los denominaba curvas cuasiconformales , una terminología que también se aplicaba a los arcos . ^{[1] [2]} En el análisis complejo y la teoría de funciones geométricas , los cuasicírculos juegan un papel fundamental en la descripción del espacio universal de Teichmüller , a través de homeomorfismos cuasisimétricos del círculo. Los cuasicírculos también juegan un papel importante en los sistemas dinámicos complejos .

Definiciones

Un cuasicírculo se define como la imagen de un círculo bajo una aplicación cuasiconforme del plano complejo extendido . Se denomina K -cuasicrículo si la aplicación cuasiconforme tiene dilatación K . La definición de cuasicírculo generaliza la caracterización de una curva de Jordan como la imagen de un círculo bajo un homeomorfismo del plano. En particular, un cuasicírculo es una curva de Jordan. El interior de un cuasicírculo se denomina cuasidisco . ^[3]

Como se muestra en Lehto y Virtanen (1973), donde se utiliza el término más antiguo "curva cuasiconforme", si una curva de Jordan es la imagen de un círculo bajo una función cuasiconforme en un entorno de la curva, entonces también es la imagen de un círculo bajo una función cuasiconforme del plano extendido y, por lo tanto, un cuasicircúrculo. Lo mismo es cierto para los "arcos cuasiconformales", que pueden definirse como imágenes cuasiconformales de un arco circular, ya sea en un conjunto abierto o, equivalentemente, en el plano extendido. ^[4]

Caracterizaciones geométricas

Ahlfors (1963) dio una caracterización geométrica de los cuasicírculos como aquellas curvas de Jordan para las cuales el valor absoluto de la relación cruzada de cuatro puntos cualesquiera, tomados en orden cíclico, está limitado por debajo por una constante positiva.

Ahlfors también demostró que los cuasicírculos pueden caracterizarse en términos de una desigualdad triangular inversa para tres puntos: debe haber una constante C tal que si se eligen dos puntos z ₁ y z _{2 en la curva y} z ₃ se encuentra en el más corto de los arcos resultantes, entonces ^[5]

${\displaystyle |z_{1}-z_{3}|+|z_{2}-z_{3}|\leq C|z_{1}-z_{2}|.}$

Esta propiedad también se denomina giro acotado ^[6] o condición de arco . ^[7]

Para las curvas de Jordan en el plano extendido que pasa por ∞, Ahlfors (1966) dio una condición necesaria y suficiente más simple para ser un cuasicírculo. ^{[8] [9]} Hay una constante C > 0 tal que si z ₁ , z ₂ son puntos cualesquiera en la curva y z ₃ se encuentra en el segmento entre ellos, entonces

${\displaystyle \displaystyle {\left|z_{3}-{z_{1}+z_{2} \over 2}\right|\leq C|z_{1}-z_{2}|.}}$

Estas caracterizaciones métricas implican que un arco o una curva cerrada es cuasiconforme siempre que surja como la imagen de un intervalo o del círculo bajo una función bi-Lipschitz f , es decir, que satisfaga

${\displaystyle C_{1}|s-t|\leq |f(s)-f(t)|\leq C_{2}|s-t|}$

para constantes positivas C _i . ^[10]

Cuasicírculos y homeomorfismos cuasisimétricos

Si φ es un homeomorfismo cuasisimétrico del círculo, entonces existen aplicaciones conformes f de [ z | < 1 y g de | z |>1 en regiones disjuntas tales que el complemento de las imágenes de f y g es una curva de Jordan. Las aplicaciones f y g se extienden continuamente al círculo | z | = 1 y la ecuación de costura

${\displaystyle \varphi =g^{-1}\circ f}$

Se sostiene. La imagen del círculo es un cuasicírculo.

Por el contrario, utilizando el teorema de aplicación de Riemann , las aplicaciones conformes f y g que uniformizan el exterior de un cuasicírculo dan lugar a un homeomorfismo cuasisimétrico a través de la ecuación anterior.

El espacio cociente del grupo de homeomorfismos cuasisimétricos por el subgrupo de transformaciones de Möbius proporciona un modelo de espacio universal de Teichmüller . La correspondencia anterior muestra que el espacio de los cuasicirírculos también puede tomarse como modelo. ^[11]

Reflexión cuasiconformal

Una reflexión cuasiconforme en una curva de Jordan es una función cuasiconforme de periodo 2 que invierte la orientación y que cambia los puntos de fijación internos y externos de la curva. Dado que la función

${\displaystyle \displaystyle {R_{0}(z)={1 \over {\overline {z}}}}}$

proporciona una reflexión de este tipo para el círculo unitario, cualquier cuasicírculo admite una reflexión cuasiconforme. Ahlfors (1963) demostró que esta propiedad caracteriza a los cuasicírculos.

Ahlfors observó que este resultado se puede aplicar a funciones univalentes holomorfas uniformemente acotadas f ( z ) en el disco unitario D . Sea Ω = f ( D ). Como Carathéodory había demostrado utilizando su teoría de extremos primos , f se extiende continuamente al círculo unitario si y solo si ∂Ω es localmente conexo, es decir, admite un recubrimiento por un número finito de conjuntos compactos conexos de diámetro arbitrariamente pequeño. La extensión al círculo es 1-1 si y solo si ∂Ω no tiene puntos de corte, es decir, puntos que cuando se eliminan de ∂Ω producen un conjunto desconectado. El teorema de Carathéodory muestra que un conjunto localmente sin puntos de corte es simplemente una curva de Jordan y que precisamente en este caso la extensión de f al disco unitario cerrado es un homeomorfismo. ^[12] Si f se extiende a una aplicación cuasiconforme del plano complejo extendido, entonces ∂Ω es por definición un cuasicircículo. Por el contrario, Ahlfors (1963) observó que si ∂Ω es un cuasicírculo y R ₁ denota la reflexión cuasiconforme en ∂Ω entonces la asignación

${\displaystyle \displaystyle {f(z)=R_{1}fR_{0}(z)}}$

para | z | > 1 define una extensión cuasiconforme de f al plano complejo extendido.

Sistemas dinámicos complejos

Copo de nieve de Koch

Se sabe que los cuasicírculos surgen como los conjuntos de Julia de las funciones racionales R ( z ). Sullivan (1985) demostró que si el conjunto de Fatou de R tiene dos componentes y la acción de R sobre el conjunto de Julia es "hiperbólica", es decir, hay constantes c > 0 y A > 1 tales que

${\displaystyle |\partial _{z}R^{n}(z)|\geq cA^{n}}$

en el conjunto de Julia, entonces el conjunto de Julia es un cuasicírculo. ^[5]

Hay muchos ejemplos: ^{[13] [14]}

• polinomios cuadráticos R ( z ) = z ² + c con un punto fijo atractivo
• El conejo de Douady ( c = –0,122561 + 0,744862i, donde c ³ + 2 c ² + c + 1 = 0)
• polinomios cuadráticos z ² + λ z con |λ| < 1
• El copo de nieve de Koch

Grupos cuasi-fucsianos

Los grupos cuasi-fucsianos se obtienen como deformaciones cuasiconformales de los grupos fucsianos . Por definición, sus conjuntos límite son cuasicírculos. ^{[15] [16] [17] [18] [19]}

Sea Γ un grupo fuchsiano de primer tipo: un subgrupo discreto del grupo de Möbius que preserva el círculo unitario, actuando de forma propiamente discontinua sobre el disco unitario D y con límite establecido en el círculo unitario.

Sea μ( z ) una función medible en D con

${\displaystyle \|\mu \|_{\infty }<1}$

tal que μ es Γ-invariante, es decir

${\displaystyle \mu (g(z)){{\overline {\partial _{z}g(z)}} \over \partial _{z}g(z)}=\mu (z)}$

para cada g en Γ. (μ es entonces un "diferencial de Beltrami" en la superficie de Riemann D / Γ.)

Extienda μ a una función en C estableciendo μ( z ) = 0 en D .

La ecuación de Beltrami

${\displaystyle \partial _{\overline {z}}f(z)=\mu (z)\partial _{z}f(z)}$

admite una solución única hasta la composición con transformación de Möbius.

Es un homeomorfismo cuasiconformal del plano complejo extendido.

Si g es un elemento de Γ, entonces f ( g ( z )) da otra solución de la ecuación de Beltrami, de modo que

${\displaystyle \alpha (g)=f\circ g\circ f^{-1}}$

es una transformación de Möbius.

El grupo α(Γ) es un grupo cuasi-fucsiano con límite fijado en el cuasicírculo dado por la imagen del círculo unitario bajo f .

Dimensión de Hausdorff

El conejo de Douady está compuesto de cuasicírculos con una dimensión de Hausdorff de aproximadamente 1,3934 ^[20]

Se sabe que hay cuasicírculos para los cuales ningún segmento tiene longitud finita. ^[21] La dimensión de Hausdorff de los cuasicírculos fue investigada por primera vez por Gehring y Väisälä (1973), quienes demostraron que puede tomar todos los valores en el intervalo [1,2). ^[22] Astala (1993), utilizando la nueva técnica de "movimientos holomorfos" fue capaz de estimar el cambio en la dimensión de Hausdorff de cualquier conjunto plano bajo una función cuasiconforme con dilatación K . Para los cuasicírculos C , hubo una estimación cruda para la dimensión de Hausdorff ^[23]

${\displaystyle d_{H}(C)\leq 1+k}$

dónde

${\displaystyle k={K-1 \over K+1}.}$

Por otra parte, la dimensión de Hausdorff para los conjuntos de Julia J _c de los iterados de los mapas racionales

${\displaystyle R(z)=z^{2}+c}$

Se había estimado como resultado del trabajo de Rufus Bowen y David Ruelle , quienes demostraron que

${\displaystyle 1<d_{H}(J_{c})<1+{|c|^{2} \over 4\log 2}+o(|c|^{2}).}$

Dado que se trata de cuasicírculos correspondientes a una dilatación

${\displaystyle K={\sqrt {1+t \over 1-t}}}$

dónde

${\displaystyle t=|1-{\sqrt {1-4c}}|,}$

Esto llevó a Becker y Pommerenke (1987) a demostrar que para k pequeños

${\displaystyle 1+0.36k^{2}\leq d_{H}(C)\leq 1+37k^{2}.}$

Habiendo mejorado el límite inferior siguiendo los cálculos para el copo de nieve de Koch con Steffen Rohde y Oded Schramm , Astala (1994) conjeturó que

${\displaystyle d_{H}(C)\leq 1+k^{2}.}$

Esta conjetura fue demostrada por Smirnov (2010); una descripción completa de su prueba, antes de su publicación, ya fue dada en Astala, Iwaniec y Martin (2009).

Para un grupo cuasi-fucsiano, Bowen (1979) y Sullivan (1982) demostraron que la dimensión de Hausdorff d del conjunto límite es siempre mayor que 1. Cuando d < 2, la cantidad

${\displaystyle \lambda =d(2-d)\,\in (0,1)}$

es el valor propio más bajo del Laplaciano de la 3-variedad hiperbólica correspondiente . ^{[24] [25]}

Notas

1. Lehto y Virtanen 1973
2. Lehto 1983, p. 49. [ ^{Se necesita cita completa ]}Error de harvnb: no hay destino: CITEREFLehto1983 ( ayuda )
3. Lehto 1987, pág. 38
4. Lehto y Virtanen 1973, págs. 97–98
5. Carleson y Gamelin 1993, pág. 102
6. Lehto y Virtanen 1973, págs. 100-102
7. Lehto 1983, p. 45. [ ^{Se necesita cita completa ]}Error de harvnb: no hay destino: CITEREFLehto1983 ( ayuda )
8. Ahlfors 1966, pág. 81
9. Lehto 1983, págs. 48-49 . ^{[ cita completa necesaria ]}Error de harvnb: no hay destino: CITEREFLehto1983 ( ayuda )
10. Lehto y Virtanen 1973, págs. 104-105
11. Lehto 1983, p.  ^{[ página necesaria ]} . ^{[ cita completa necesaria ]}Error de harvnb: no hay destino: CITEREFLehto1983 ( ayuda )
12. Pommerenke 1975, págs. 271–281
13. Carleson y Gamelin 1993, págs. 123-126
14. Rohde 1991
15. Berser 1961
16. Bowen 1979
17. Mumford, Series y Wright 2002
18. Imayoshi y Taniguchi 1992, pág. 147
19. Marden 2007, págs. 79-80, 134
20. Carleson y Gamelin 1993, pág. 122
21. Lehto y Virtanen 1973, pág. 104
22. Lehto 1982, p. 38. [ ^{Se necesita cita completa ]}Error de harvnb: no hay destino: CITEREFLehto1982 ( ayuda )
23. Astala, Iwaniec y Martin 2009
24. Astala y Zinsmeister 1994
25. Marden 2007, pág. 284

Referencias

• Ahlfors, Lars V. (1966), Conferencias sobre aplicaciones cuasiconformales , Van Nostrand
• Ahlfors, L. (1963), "Reflexiones cuasiconformales", Acta Mathematica , 109 : 291–301, doi : 10.1007/bf02391816 , Zbl  0121.06403
• Astala, K. (1993), "Distorsión de área y dimensión bajo aplicaciones cuasiconformales en el plano", Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 90 (24): 11958–11959, Bibcode :1993PNAS...9011958A, doi : 10.1073/pnas.90.24.11958 , PMC  48104 , PMID  11607447
• Astala, K.; Zinsmeister, M. (1994), "Familias holomorfas de grupos cuasi-fucsianos", Ergodic Theory Dynam. Systems , 14 (2): 207–212, doi :10.1017/s0143385700007847, S2CID  121209816
• Astala, K. (1994), "Distorsión de área de aplicaciones cuasiconformales", Acta Math. , 173 : 37–60, doi : 10.1007/bf02392568
• Astala, Kari; Iwaniec, Tadeusz ; Martin, Gaven (2009), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas y aplicaciones cuasiconformales en el plano , Princeton mathematics series, vol. 48, Princeton University Press, págs. 332–342, ISBN 978-0-691-13777-3, Sección 13.2, Dimensión de cuasicírculos.
• Becker, J.; Pommerenke, C. (1987), "Sobre la dimensión de Hausdorff de los cuasicírculos", Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI Math. , 12 : 329–333, doi : 10.5186/aasfm.1987.1206
• Bers, Lipman (agosto de 1961). "Uniformización mediante ecuaciones de Beltrami". Communications on Pure and Applied Mathematics . 14 (3): 215–228. doi :10.1002/cpa.3160140304.
• Bowen, R. (1979), "Dimensión de Hausdorff de los cuasicírculos", Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math. , 50 : 11–25, doi :10.1007/BF02684767, S2CID  55631433
• Carleson, L.; Gamelin, TDW (1993), Dinámica compleja , Universitext: Tratados de matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97942-7
• Gehring, FW; Väisälä, J. (1973), "Dimensiones de Hausdorff y aplicaciones cuasiconformales", Journal of the London Mathematical Society , 6 (3): 504–512, CiteSeerX  10.1.1.125.2374 , doi :10.1112/jlms/s2-6.3.504
• Gehring, FW (1982), Propiedades características de los cuasidiscos , Séminaire de Mathématiques Supérieures, vol. 84, Prensas de la Universidad de Montreal, ISBN 978-2-7606-0601-2
• Imayoshi, Y.; Taniguchi, M. (1992), Introducción a los espacios de Teichmüller , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-70088-5+
• Lehto, O. (1987), Funciones univalentes y espacios de Teichmüller , Springer-Verlag, págs. 50–59, 111–118, 196–205, ISBN 978-0-387-96310-5
• Lehto, O.; Virtanen, KI (1973), Mapeos cuasiconformes en el plano , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 126 (segunda ed.), Springer-Verlag
• Marden, A. (2007), Círculos exteriores. Una introducción a las 3-variedades hiperbólicas , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83974-7
• Mumford, D.; Series, C.; Wright, David (2002), Las perlas de Indra. La visión de Felix Klein , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35253-6
• Pfluger, A. (1961), "Ueber die Konstruktion Riemannscher Flächen durch Verheftung", J. Indian Math. Soc. , 24 : 401–412
• Pommerenke, C. (1975), Funciones univalentes, con un capítulo sobre diferenciales cuadráticas de Gerd Jensen , Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, vol. 15, Vandenhoeck y Ruprecht
• Rohde, S. (1991), "Sobre la soldadura conforme y los cuasicírculos", Michigan Math. J. , 38 : 111–116, doi : 10.1307/mmj/1029004266
• Sullivan, D. (1982), "Grupos conformes discretos y dinámica medible", Bull. Amer. Math. Soc. , 6 : 57–73, doi : 10.1090/s0273-0979-1982-14966-7
• Sullivan, D. (1985), "Homeomorfismos cuasiconformales y dinámica, I, Solución del problema de Fatou-Julia en dominios errantes", Annals of Mathematics , 122 (2): 401–418, doi :10.2307/1971308, JSTOR  1971308
• Tienari, M. (1962), "Fortsetzung einer quasikonformen Abbildung über einen Jordanbogen", Ann. Acad. Ciencia. Fenn. Ser. , 321​
• Smirnov, S. (2010), "Dimensión de los cuasicírculos", Acta Mathematica , 205 : 189–197, arXiv : 0904.1237 , doi :10.1007/s11511-010-0053-8, MR  2736155, S2CID  17945998