Cuadrado mágico pandiagonal

Cuadrado mágico con restricciones adicionales

Un cuadrado mágico pandiagonal o cuadrado panmágico (también cuadrado diabólico , cuadrado diabólico o cuadrado mágico diabólico ) es un cuadrado mágico con la propiedad adicional de que las diagonales rotas , es decir, las diagonales que se envuelven en los bordes del cuadrado, también se suman a la constante mágica .

Un cuadrado mágico pandiagonal sigue siendo pandiagonalmente mágico no solo bajo rotación o reflexión , sino también si una fila o columna se mueve de un lado del cuadrado al lado opuesto. Por lo tanto, se puede considerar que un cuadrado mágico pandiagonal tiene orientaciones. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle 8n^{2}}$

3×3 cuadrados mágicos pandiagonales

Se puede demostrar que no existen cuadrados mágicos pandiagonales no triviales de orden 3. Supongamos que el cuadrado

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline \!\!\!\;a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!\!\;&\!\!a_{13}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!\!\;&\!\!a_{23}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!\!\;&\!\!a_{33}\!\!\\\hline \end{array}}}$

es pandiagonalmente mágico con constante mágica ⁠ ⁠ ${\displaystyle s}$ . Sumando sumas ⁠ ⁠ ${\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33},}$ ⁠ ⁠ ${\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32},}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle a_{13}+a_{22}+a_{31}}$ resulta ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3s}$ . Restando ⁠ ⁠ ${\displaystyle a_{11}+a_{12}+a_{13}}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle a_{31}+a_{32}+a_{33},}$ obtenemos ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3a_{22}=s}$ . Sin embargo, si movemos la tercera columna al frente y realizamos el mismo argumento, obtenemos ⁠ ⁠ ${\displaystyle 3a_{22}=s}$ . De hecho, usando las simetrías de los cuadrados mágicos 3 × 3, todas las celdas deben ser iguales a ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}s}$ . Por lo tanto, todos los cuadrados mágicos pandiagonales 3 × 3 deben ser triviales.

Sin embargo, si el concepto de cuadrado mágico se generaliza para incluir formas geométricas en lugar de números (los cuadrados mágicos geométricos descubiertos por Lee Sallows ), existe un cuadrado mágico pandiagonal de 3 × 3.

4×4 cuadrados mágicos pandiagonales

Diagrama de Euler de los requisitos de algunos tipos de cuadrados mágicos de 4 × 4. Las celdas del mismo color suman la constante mágica.

Los cuadrados mágicos pandiagonales no triviales más pequeños son cuadrados de 4 × 4. Todos los cuadrados mágicos pandiagonales de 4 × 4 deben ser traslacionalmente simétricos a la forma ^[1]

Como cada subcuadrado de 2 × 2 suma la constante mágica, los cuadrados mágicos pandiagonales de 4 × 4 son los cuadrados mágicos más perfectos . Además, los dos números en las esquinas opuestas de cualquier cuadrado de 3 × 3 suman la mitad de la constante mágica. En consecuencia, todos los cuadrados mágicos pandiagonales de 4 × 4 que sean asociativos deben tener celdas duplicadas.

Todos los cuadrados mágicos pandiagonales de 4 × 4 que utilizan los números 1 a 16 sin duplicados se obtienen haciendo que a sea igual a 1; haciendo que b , c , d y e sean iguales a 1, 2, 4 y 8 en algún orden; y aplicando alguna traslación . Por ejemplo, con b = 1 , c = 2 , d = 4 y e = 8 , tenemos el cuadrado mágico

La cantidad de cuadrados mágicos pandiagonales de 4 × 4 que usan los números 1 al 16 sin duplicados es 384 (16 por 24, donde 16 representa la traducción y 24 representa las 4 ! formas de asignar 1, 2, 4 y 8 a b , c , d y e ).

5×5 cuadrados mágicos pandiagonales

Hay muchos cuadrados mágicos pandiagonales de 5 × 5. A diferencia de los cuadrados mágicos pandiagonales de 4 × 4, estos pueden ser asociativos . El siguiente es un cuadrado mágico pandiagonal asociativo de 5 × 5:

Además de las filas, columnas y diagonales, un cuadrado mágico pandiagonal de 5 × 5 también muestra su constante mágica en cuatro patrones de " quincuncio ", que en el ejemplo anterior son:

17+25+13+1+9 = 65 (centro más los cuadrados de las filas y columnas adyacentes)

21+7+13+19+5 = 65 (centro más los cuadrados de fila y columna restantes)

4+10+13+16+22 = 65 (centro más cuadrados diagonalmente adyacentes)

20+2+13+24+6 = 65 (centro más los cuadrados restantes en sus diagonales)

Cada uno de estos quincuncios se puede trasladar a otras posiciones en el cuadrado mediante la permutación cíclica de las filas y columnas (envolvimiento), lo que en un cuadrado mágico pandiagonal no afecta la igualdad de las constantes mágicas. Esto conduce a 100 sumas de quincuncios, incluidos quincuncios rotos análogos a diagonales rotas.

Las sumas quincunciales se pueden demostrar tomando combinaciones lineales de las sumas de filas, columnas y diagonales. Consideremos el cuadrado mágico pandiagonal

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \!\!\!\;a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!&\!\!a_{13}\!\!\!&\!\!a_{14}\!\!\!&\!\!a_{15}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!&\!\!a_{23}\!\!\!&\!\!a_{24}\!\!\!&\!\!a_{25}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!&\!\!a_{33}\!\!\!&\!\!a_{34}\!\!\!&\!\!a_{35}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{41}\!\!\!&\!\!a_{42}\!\!\!&\!\!a_{43}\!\!\!&\!\!a_{44}\!\!\!&\!\!a_{45}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{51}\!\!\!&\!\!a_{52}\!\!\!&\!\!a_{53}\!\!\!&\!\!a_{54}\!\!\!&\!\!a_{55}\!\!\\\hline \end{array}}}$

con la constante mágica s . Para demostrar la suma quincuncial (que corresponde al ejemplo 20+2+13+24+6 = 65 dado anteriormente), podemos sumar lo siguiente: ${\displaystyle a_{11}+a_{15}+a_{33}+a_{51}+a_{55}=s}$

3 veces cada una de las sumas diagonales y , ${\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}+a_{55}}$ ${\displaystyle a_{15}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{51}}$

Las sumas diagonales , , , y , ${\displaystyle a_{11}+a_{25}+a_{34}+a_{43}+a_{52}}$ ${\displaystyle a_{12}+a_{23}+a_{34}+a_{45}+a_{51}}$ ${\displaystyle a_{14}+a_{23}+a_{32}+a_{41}+a_{55}}$ ${\displaystyle a_{15}+a_{21}+a_{32}+a_{43}+a_{54}}$

Las filas suman y . ${\displaystyle a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}+a_{15}}$ ${\displaystyle a_{51}+a_{52}+a_{53}+a_{54}+a_{55}}$

De esta suma resta lo siguiente:

Las filas suman y , ${\displaystyle a_{21}+a_{22}+a_{23}+a_{24}+a_{25}}$ ${\displaystyle a_{41}+a_{42}+a_{43}+a_{44}+a_{45}}$

La suma de la columna , ${\displaystyle a_{13}+a_{23}+a_{33}+a_{43}+a_{53}}$

El doble de cada una de las sumas de las columnas y . ${\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32}+a_{42}+a_{52}}$ ${\displaystyle a_{14}+a_{24}+a_{34}+a_{44}+a_{54}}$

El resultado neto es , que dividido por 5 da la suma quincuncial. Se pueden construir combinaciones lineales similares para los otros patrones quincuncial , y . ${\displaystyle 5a_{11}+5a_{15}+5a_{33}+5a_{51}+5a_{55}=5s}$ ${\displaystyle a_{23}+a_{32}+a_{33}+a_{34}+a_{43}}$ ${\displaystyle a_{13}+a_{31}+a_{33}+a_{35}+a_{53}}$ ${\displaystyle a_{22}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{44}}$

(4norte+2)×(4norte+2) cuadrados mágicos pandiagonales con elementos no consecutivos

No existe ningún cuadrado mágico pandiagonal de orden si se utilizan números enteros consecutivos. Pero ciertas secuencias de números enteros no consecutivos sí admiten cuadrados mágicos pandiagonales de orden-( ). ${\displaystyle 4n+2}$ ${\displaystyle 4n+2}$

Considere la suma 1+2+3+5+6+7 = 24. Esta suma se puede dividir en dos, tomando los grupos apropiados de tres sumandos, o en tercios, utilizando grupos de dos sumandos:

1+5+6 = 2+3+7 = 12

1+7 = 2+6 = 3+5 = 8

Una partición igual adicional de la suma de cuadrados garantiza la propiedad semibimágica que se indica a continuación:

1 ² + 5 ² + 6 ² = 2 ² + 3 ² + 7 ² = 62

Nótese que la suma de números enteros consecutivos 1+2+3+4+5+6 = 21, una suma impar , carece de partición a la mitad.

Con ambas particiones iguales disponibles, los números 1, 2, 3, 5, 6, 7 se pueden organizar en patrones pandigonales de 6 × 6 A y B , respectivamente, dados por:

Entonces (donde C es el cuadrado mágico con 1 para todas las celdas) da el cuadrado pandiagonal no consecutivo de 6 × 6: ${\displaystyle 7A+B-7C}$

con un elemento máximo de 49 y una constante mágica pandiagonal de 150. Este cuadrado es pandiagonal y semibimágico, lo que significa que filas, columnas, diagonales principales y diagonales quebradas tienen una suma de 150 y, si elevamos al cuadrado todos los números del cuadrado, solo las filas y las columnas son mágicas y tienen una suma de 5150.

Para el décimo orden es posible una construcción similar utilizando las particiones iguales de la suma 1+2+3+4+5+9+10+11+12+13 = 70:

1+3+9+10+12 = 2+4+5+11+13 = 35

1+13 = 2+12 = 3+11 = 4+10 = 5+9 = 14

1 ² + 3 ² + 9 ² + 10 ² + 12 ² = 2 ² + 4 ² + 5 ² + 11 ² + 13 ² = 335 (partición igual de cuadrados; propiedad semibimágica)

Esto da como resultado cuadrados que tienen un elemento máximo de 169 y una constante mágica pandiagonal de 850, que también son semibimágicos y la suma de cuadrados de cada fila o columna es igual a 102.850.

(6norte±1)×(6norte±1) cuadrados mágicos pandiagonales

Se puede construir un cuadrado mágico pandiagonal mediante el siguiente algoritmo. ${\displaystyle (6n\pm 1)\times (6n\pm 1)}$

1. Construye la primera columna del cuadrado con los primeros números naturales . ${\displaystyle 6n\pm 1}$
2. Copia la primera columna en la segunda columna pero desplázala en el sentido del anillo 2 filas.
3. Continúe copiando la columna actual en la siguiente columna con un desplazamiento en el sentido del anillo de 2 filas hasta que el cuadrado se llene por completo.
4. Construye un segundo cuadrado y copia la transposición del primer cuadrado en él.
5. Construye el cuadrado final multiplicando el segundo cuadrado por , sumando el primer cuadrado y restando en cada celda del cuadrado. ${\displaystyle 6n\pm 1}$ ${\displaystyle 6n\pm 1}$

   Ejemplo: , donde B es el cuadrado mágico con todas las celdas como 1. ${\displaystyle A+(6n\pm 1)A^{T}-(6n\pm 1)B}$

4norte×4nortecuadrados mágicos pandiagonales

Se puede construir un cuadrado mágico pandiagonal mediante el siguiente algoritmo. ${\displaystyle 4n\times 4n}$

1. Coloque los primeros números naturales en la primera fila y las primeras columnas del cuadrado. ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$
2. Coloque los números naturales siguientes debajo de los primeros números naturales en orden inverso. Cada par vertical debe tener la misma suma. ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$
3. Copia ese rectángulo veces debajo del primer rectángulo. ${\displaystyle 2\times 2n}$ ${\displaystyle 2n-1}$
4. Copia el rectángulo izquierdo en el rectángulo derecho pero desplázalo en el sentido del anillo una fila. ${\displaystyle 4n\times 2n}$ ${\displaystyle 4n\times 2n}$
5. Construye un segundo cuadrado y copia el primer cuadrado en él, pero gíralo 90°. ${\displaystyle 4n\times 4n}$
6. Construye el cuadrado final multiplicando el segundo cuadrado por , sumando el primer cuadrado y restando en cada celda del cuadrado. ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle 4n}$

   Ejemplo: , donde C es el cuadrado mágico con todas las celdas como 1. ${\displaystyle A+4nB-4nC}$

Si construimos un cuadrado mágico pandiagonal con este algoritmo, entonces todos los cuadrados del cuadrado tendrán la misma suma. Por lo tanto, muchos patrones simétricos de celdas tienen la misma suma que cualquier fila y cualquier columna del cuadrado. En particular, todos y cada uno de los rectángulos tendrán la misma suma que cualquier fila y cualquier columna del cuadrado. El cuadrado también es un cuadrado mágico perfecto . ${\displaystyle 4n\times 4n}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle 4n\times 4n}$ ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle 4n\times 4n}$ ${\displaystyle 2n\times 2}$ ${\displaystyle 2\times 2n}$ ${\displaystyle 4n\times 4n}$ ${\displaystyle 4n\times 4n}$

(6norte+3)×(6norte+3) cuadrados mágicos pandiagonales

Se puede construir un cuadrado mágico pandiagonal mediante el siguiente algoritmo. ${\displaystyle (6n+3)\times (6n+3)}$

1. Crea un rectángulo con los primeros números naturales de forma que cada columna tenga la misma suma. Puedes hacerlo comenzando con un cuadrado mágico de 3 × 3 y colocando el resto de las celdas del rectángulo en forma de meandro . También puedes usar el patrón que se muestra en los siguientes ejemplos. ${\displaystyle (2n+1)\times 3}$ ${\displaystyle 6n+3}$
2. Coloque este rectángulo en la esquina superior izquierda del cuadrado y dos copias del rectángulo debajo de él para que las primeras 3 columnas del cuadrado queden completamente rellenas. ${\displaystyle (6n+3)\times (6n+3)}$
3. Copia las 3 columnas de la izquierda en las 3 columnas siguientes, pero desplázalas en el sentido del anillo 1 fila.
4. Continúe copiando las 3 columnas actuales en las 3 columnas siguientes, desplazando el anillo 1 fila hasta que el cuadrado esté completamente lleno.
5. Construye un segundo cuadrado y copia la transposición del primer cuadrado en él.
6. Construye el cuadrado final multiplicando el segundo cuadrado por , sumando el primer cuadrado y restando en cada celda del cuadrado. ${\displaystyle 6n+3}$ ${\displaystyle 6n+3}$

   Ejemplo: , donde B es el cuadrado mágico con todas las celdas como 1. ${\displaystyle A+(6n+3)A^{T}-(6n+3)B}$

Referencias

1. Ng, Louis (13 de mayo de 2018). "Conteo mágico con politopos de adentro hacia afuera" (PDF) .

• WS Andrews, Magic Squares and Cubes . Nueva York: Dover, 1960. Originalmente impreso en 1917. Véase especialmente el Capítulo X.

• Ollerenshaw, K., Brée, D.: Cuadrados mágicos pandiagonales de máxima perfección. IMA, Southend-on-Sea (1998)

Enlaces externos

• Cuadrado Panmágico en MathWorld
• http://www.azspcs.net/Contest/PandiagonalMagicSquares