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Cuadrado mágico asociativo

En el cuadrado Lo Shu , los pares de números opuestos suman 10
Detalle de Melencolia I que muestra un cuadrado asociativo de 4 × 4

Un cuadrado mágico asociativo es un cuadrado mágico en el que cada par de números simétricamente opuestos al centro suman el mismo valor. Para un cuadrado n  ×  n , lleno con los números del 1 al n 2 , esta suma común debe ser igual a n 2  + 1. Estos cuadrados también se denominan cuadrados mágicos asociados , cuadrados mágicos regulares , cuadrados regmágicos o cuadrados mágicos simétricos . [1] [2] [3]

Ejemplos

Por ejemplo, el cuadrado Lo Shu , el único cuadrado mágico de 3 × 3, es asociativo, porque cada par de puntos opuestos forman una línea del cuadrado junto con el punto central, por lo que la suma de los dos puntos opuestos es igual a la suma de un recta menos el valor del punto central independientemente de qué dos puntos opuestos se elijan. [4] El cuadrado mágico de 4 × 4 del grabado Melencolia I de Alberto Durero de 1514 , que también se encuentra en una carta de Benjamin Franklin de 1765 , también es asociativo, y cada par de números opuestos suma 17. [5]

Existencia y enumeración

Los números de posibles cuadrados mágicos asociativos n  ×  n para n = 3,4,5,..., contando dos cuadrados como iguales siempre que se diferencien sólo por una rotación o reflexión, son:

1, 48, 48544, 0, 1125154039419854784, ... (secuencia A081262 en el OEIS )

El número cero para n = 6 es un ejemplo de un fenómeno más general: los cuadrados mágicos asociativos no existen para valores de n que son pares (iguales a 2 módulo 4). [3] Todo cuadrado mágico asociativo de orden par forma una matriz singular , pero los cuadrados mágicos asociativos de orden impar pueden ser singulares o no singulares. [4]

Referencias

  1. ^ Frierson, LS (1917), "Notas sobre cuadrados mágicos pandiagonales y asociados", en Andrews, WS (ed.), Magic Squares and Cubes (2ª ed.), Open Court, págs.
  2. ^ Bell, Jordania; Stevens, Brett (2007), "Construcción de cuadrados latinos pandiagonales ortogonales y cuadrados panmágicos a partir de soluciones modulares de reinas", Journal of Combinatorial Designs , 15 (3): 221–234, doi :10.1002/jcd.20143, MR  2311190, S2CID  121149492
  3. ^ ab Nordgren, Ronald P. (2012), "Sobre las propiedades de matrices cuadradas mágicas especiales", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 437 (8): 2009-2025, doi : 10.1016/j.laa.2012.05.031 , MR  2950468
  4. ^ ab Lee, Michael Z.; Con cariño, Isabel; Narayan, Sivaram K.; Wascher, Elizabeth; Webster, Jordan D. (2012), "Sobre cuadrados mágicos regulares no singulares de orden impar", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 437 (6): 1346–1355, doi : 10.1016/j.laa.2012.04.004 , MR  2942355
  5. ^ Pasles, Paul C. (2001), "Los cuadrados perdidos del Dr. Franklin: los cuadrados perdidos de Ben Franklin y el secreto del círculo mágico", American Mathematical Monthly , 108 (6): 489–511, doi :10.1080/00029890.2001 .11919777, JSTOR  2695704, SEÑOR  1840656, S2CID  341378

enlaces externos