cuadrado mágico pandiagonal

Un cuadrado mágico pandiagonal o cuadrado panmágico (también cuadrado diabólico , cuadrado diabólico o cuadrado mágico diabólico ) es un cuadrado mágico con la propiedad adicional de que las diagonales rotas , es decir, las diagonales que se enrollan en los bordes del cuadrado, también suman la constante mágica .

Un cuadrado mágico pandiagonal sigue siendo pandiagonalmente mágico no sólo bajo rotación o reflexión , sino también si una fila o columna se mueve de un lado del cuadrado al lado opuesto. Como tal, se puede considerar que un cuadrado mágico pandiagonal tiene orientaciones. ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle 8n^{2}}$

3×3 cuadrados mágicos pandiagonales

Se puede demostrar que no existen cuadrados mágicos pandiagonales no triviales de orden 3. Supongamos que el cuadrado

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline \!\!\!\;a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!\!\;&\!\!a_{13}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!\!\;&\!\!a_{23}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!\!\;&\!\!a_{33}\!\!\\\hline \end{array}}}$

es pandiagonalmente mágico con constante mágica . Sumar sumas y resultados en . Restando y obtenemos . Sin embargo, si movemos la tercera columna al frente y realizamos el mismo argumento, obtenemos . De hecho, usando las simetrías de cuadrados mágicos de 3 × 3, todas las celdas deben ser iguales . Por lo tanto, todos los cuadrados mágicos pandiagonales de 3 × 3 deben ser triviales. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33},}$ ${\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32},}$ ${\displaystyle a_{13}+a_{22}+a_{31}}$ ${\displaystyle 3s}$ ${\displaystyle a_{11}+a_{12}+a_{13}}$ ${\displaystyle a_{31}+a_{32}+a_{33},}$ ${\displaystyle 3a_{22}=s}$ ${\displaystyle 3a_{22}=s}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}s}$

Sin embargo, si el concepto de cuadrado mágico se generaliza para incluir formas geométricas en lugar de números (los cuadrados mágicos geométricos descubiertos por Lee Sallows ), sí existe un cuadrado mágico pandiagonal de 3 × 3.

4×4 cuadrados mágicos pandiagonales

Diagrama de Euler de requisitos de algunos tipos de cuadrados mágicos 4×4. Las celdas del mismo color suman la constante mágica.

Los cuadrados mágicos pandiagonales más pequeños y no triviales son cuadrados de 4 × 4. Todos los cuadrados mágicos pandiagonales de 4 × 4 deben ser traslacionalmente simétricos a la forma ^[1]

Dado que cada subcuadrado de 2 × 2 suma la constante mágica, los cuadrados mágicos pandiagonales de 4 × 4 son los cuadrados mágicos más perfectos . Además, los dos números en las esquinas opuestas de cualquier cuadrado de 3 × 3 suman la mitad de la constante mágica. En consecuencia, todos los cuadrados mágicos pandiagonales de 4 × 4 que son asociativos deben tener celdas duplicadas.

Todos los cuadrados mágicos pandiagonales de 4 × 4 que usan los números del 1 al 16 sin duplicados se obtienen haciendo igual a 1; haciendo que b , c , d y e sean iguales a 1, 2, 4 y 8 en algún orden; y aplicando alguna traducción . Por ejemplo, con b = 1 , c = 2 , d = 4 y e = 8 , tenemos el cuadrado mágico

El número de cuadrados mágicos pandiagonales de 4 × 4 que usan los números del 1 al 16 sin duplicados es 384 (16 por 24, donde 16 representa la traducción y 24 representa las 4 formas de asignar 1, 2, 4 y 8 a b , c , d y e ).

5×5 cuadrados mágicos pandiagonales

Hay muchos cuadrados mágicos pandiagonales de 5 × 5. A diferencia de los cuadrados mágicos pandiagonales de 4×4, estos pueden ser asociativos . El siguiente es un cuadrado mágico pandiagonal asociativo de 5 × 5:

Además de las filas, columnas y diagonales, un cuadrado mágico pandiagonal de 5 × 5 también muestra su constante mágica en cuatro patrones " quincunx ", que en el ejemplo anterior son:

17+25+13+1+9 = 65 (centro más cuadrados de filas y columnas adyacentes)

21+7+13+19+5 = 65 (centro más los cuadrados restantes de fila y columna)

4+10+13+16+22 = 65 (centro más cuadrados diagonalmente adyacentes)

20+2+13+24+6 = 65 (centro más los cuadrados restantes en sus diagonales)

Cada uno de estos quincunces se puede trasladar a otras posiciones en el cuadrado mediante la permutación cíclica de las filas y columnas (envolvimiento), que en un cuadrado mágico pandiagonal no afecta la igualdad de las constantes mágicas. Esto lleva a 100 sumas quincunces, incluidos quincunces quebrados análogos a diagonales quebradas.

Las sumas quincunx se pueden demostrar tomando combinaciones lineales de las sumas de filas, columnas y diagonales. Considere el cuadrado mágico pandiagonal

${\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \!\!\!\;a_{11}\!\!\!&\!\!a_{12}\!\!\!&\!\!a_{13}\!\!\!&\!\!a_{14}\!\!\!&\!\!a_{15}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{21}\!\!\!&\!\!a_{22}\!\!\!&\!\!a_{23}\!\!\!&\!\!a_{24}\!\!\!&\!\!a_{25}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{31}\!\!\!&\!\!a_{32}\!\!\!&\!\!a_{33}\!\!\!&\!\!a_{34}\!\!\!&\!\!a_{35}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{41}\!\!\!&\!\!a_{42}\!\!\!&\!\!a_{43}\!\!\!&\!\!a_{44}\!\!\!&\!\!a_{45}\!\!\\\hline \!\!\!\;a_{51}\!\!\!&\!\!a_{52}\!\!\!&\!\!a_{53}\!\!\!&\!\!a_{54}\!\!\!&\!\!a_{55}\!\!\\\hline \end{array}}}$

con constante mágica s . Para probar la suma quincunx (correspondiente al ejemplo 20+2+13+24+6 = 65 dado anteriormente), podemos sumar lo siguiente: ${\displaystyle a_{11}+a_{15}+a_{33}+a_{51}+a_{55}=s}$

3 veces cada una de las sumas diagonales y , ${\displaystyle a_{11}+a_{22}+a_{33}+a_{44}+a_{55}}$ ${\displaystyle a_{15}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{51}}$

Las sumas diagonales , , y , ${\displaystyle a_{11}+a_{25}+a_{34}+a_{43}+a_{52}}$ ${\displaystyle a_{12}+a_{23}+a_{34}+a_{45}+a_{51}}$ ${\displaystyle a_{14}+a_{23}+a_{32}+a_{41}+a_{55}}$ ${\displaystyle a_{15}+a_{21}+a_{32}+a_{43}+a_{54}}$

La fila suma y . ${\displaystyle a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}+a_{15}}$ ${\displaystyle a_{51}+a_{52}+a_{53}+a_{54}+a_{55}}$

De esta suma resta lo siguiente:

La fila suma y , ${\displaystyle a_{21}+a_{22}+a_{23}+a_{24}+a_{25}}$ ${\displaystyle a_{41}+a_{42}+a_{43}+a_{44}+a_{45}}$

La suma de la columna , ${\displaystyle a_{13}+a_{23}+a_{33}+a_{43}+a_{53}}$

Dos veces cada una de las sumas de las columnas y . ${\displaystyle a_{12}+a_{22}+a_{32}+a_{42}+a_{52}}$ ${\displaystyle a_{14}+a_{24}+a_{34}+a_{44}+a_{54}}$

El resultado neto es , que dividido por 5 da la suma quincunx. Se pueden construir combinaciones lineales similares para los otros patrones quincunx , y . ${\displaystyle 5a_{11}+5a_{15}+5a_{33}+5a_{51}+5a_{55}=5s}$ ${\displaystyle a_{23}+a_{32}+a_{33}+a_{34}+a_{43}}$ ${\displaystyle a_{13}+a_{31}+a_{33}+a_{35}+a_{53}}$ ${\displaystyle a_{22}+a_{24}+a_{33}+a_{42}+a_{44}}$

(4 n +2)×(4 n +2) cuadrados mágicos pandiagonales con elementos no consecutivos

No existe ningún cuadrado mágico pandiagonal de orden si se utilizan números enteros consecutivos. Pero ciertas secuencias de números enteros no consecutivos admiten cuadrados mágicos pandiagonales de orden ( ). ${\displaystyle 4n+2}$ ${\displaystyle 4n+2}$

Considere la suma 1+2+3+5+6+7 = 24. Esta suma se puede dividir por la mitad tomando los grupos apropiados de tres sumandos, o en tercios usando grupos de dos sumandos:

1+5+6 = 2+3+7 = 12

1+7 = 2+6 = 3+5 = 8

Una partición igual adicional de la suma de cuadrados garantiza la propiedad semi-bimágica que se indica a continuación:

1 ² + 5 ² + 6 ² = 2 ² + 3 ² + 7 ² = 62

Tenga en cuenta que la suma entera consecutiva 1+2+3+4+5+6 = 21, una suma impar , carece de la mitad de partición.

Con ambas particiones iguales disponibles, los números 1, 2, 3, 5, 6, 7 se pueden organizar en patrones pandigonales A y B de 6 × 6 , dados respectivamente por:

Luego (donde C es el cuadrado mágico con 1 para todas las celdas) se obtiene el cuadrado pandiagonal no consecutivo de 6 × 6: ${\displaystyle 7A+B-7C}$

con un elemento máximo de 49 y una constante mágica pandiagonal de 150. Este cuadrado es pandiagonal y semi-bimágico, eso significa que filas, columnas, diagonales principales y diagonales quebradas suman 150 y, si elevamos al cuadrado todos los números de la cuadrado, solo las filas y las columnas son mágicas y suman 5150.

Para el décimo orden es posible una construcción similar utilizando particiones iguales de la suma 1+2+3+4+5+9+10+11+12+13 = 70:

1+3+9+10+12 = 2+4+5+11+13 = 35

1+13 = 2+12 = 3+11 = 4+10 = 5+9 = 14

1 ² + 3 ² + 9 ² + 10 ² + 12 ² = 2 ² + 4 ² + 5 ² + 11 ² + 13 ² = 335 (partición igual de cuadrados; propiedad semi-bimágica)

Esto lleva a cuadrados que tienen un elemento máximo de 169 y una constante mágica pandiagonal de 850, que también son semi-bimágicos con la suma de cuadrados de cada fila o columna igual a 102,850.

(6 n ±1)×(6 n ±1) cuadrados mágicos pandiagonales

Se puede construir un cuadrado mágico pandiagonal mediante el siguiente algoritmo. ${\displaystyle (6n\pm 1)\times (6n\pm 1)}$

1. Arma la primera columna del cuadrado con los primeros números naturales . ${\displaystyle 6n\pm 1}$
2. Copie la primera columna en la segunda columna, pero muévala 2 filas en forma de anillo.
3. Continúe copiando la columna actual en la siguiente columna con un desplazamiento de 2 filas en sentido anular hasta que el cuadrado se llene por completo.
4. Construye un segundo cuadrado y copia la transposición del primer cuadrado en él.
5. Construye el cuadrado final multiplicando el segundo cuadrado por , sumando el primer cuadrado y restando en cada celda del cuadrado. ${\displaystyle 6n\pm 1}$ ${\displaystyle 6n\pm 1}$

   Ejemplo: , donde B es el cuadrado mágico con todas las celdas como 1. ${\displaystyle A+(6n\pm 1)A^{T}-(6n\pm 1)B}$

4 n × 4 n cuadrados mágicos pandiagonales

Se puede construir un cuadrado mágico pandiagonal mediante el siguiente algoritmo. ${\displaystyle 4n\times 4n}$

1. Coloca los primeros números naturales en la primera fila y en las primeras columnas del cuadrado. ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$
2. Coloca los siguientes números naturales debajo de los primeros números naturales al revés. Cada par vertical debe tener la misma suma. ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 2n}$
3. Copie ese rectángulo veces debajo del primer rectángulo. ${\displaystyle 2\times 2n}$ ${\displaystyle 2n-1}$
4. Copie el rectángulo izquierdo en el rectángulo derecho, pero muévalo en forma de anillo una fila. ${\displaystyle 4n\times 2n}$ ${\displaystyle 4n\times 2n}$
5. Construye un segundo cuadrado y copia el primero en él, pero gíralo 90°. ${\displaystyle 4n\times 4n}$
6. Construye el cuadrado final multiplicando el segundo cuadrado por , sumando el primer cuadrado y restando en cada celda del cuadrado. ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle 4n}$

   Ejemplo: , donde C es el cuadrado mágico con todas las celdas como 1. ${\displaystyle A+4nB-4nC}$

Si construimos un cuadrado mágico pandiagonal con este algoritmo, entonces todos los cuadrados del cuadrado tendrán la misma suma. Por lo tanto, muchos patrones simétricos de celdas tienen la misma suma que cualquier fila y columna del cuadrado. Especialmente todos y cada uno de los rectángulos tendrán la misma suma que cualquier fila y columna del cuadrado. El cuadrado es también un cuadrado mágico sumamente perfecto . ${\displaystyle 4n\times 4n}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle 4n\times 4n}$ ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle 4n\times 4n}$ ${\displaystyle 2n\times 2}$ ${\displaystyle 2\times 2n}$ ${\displaystyle 4n\times 4n}$ ${\displaystyle 4n\times 4n}$

(6 n +3)×(6 n +3) cuadrados mágicos pandiagonales

Se puede construir un cuadrado mágico pandiagonal mediante el siguiente algoritmo. ${\displaystyle (6n+3)\times (6n+3)}$

1. Crea un rectángulo con los primeros números naturales para que cada columna tenga la misma suma. Puedes hacer esto comenzando con un cuadrado mágico de 3 × 3 y configurando las celdas restantes del rectángulo en estilo meandro . También puede utilizar el patrón que se muestra en los siguientes ejemplos. ${\displaystyle (2n+1)\times 3}$ ${\displaystyle 6n+3}$
2. Coloque este rectángulo en la esquina superior izquierda del cuadrado y dos copias del rectángulo debajo para que las primeras 3 columnas del cuadrado se llenen por completo. ${\displaystyle (6n+3)\times (6n+3)}$
3. Copie las 3 columnas de la izquierda en las 3 columnas siguientes, pero muévalas 1 fila en el sentido del anillo.
4. Continúe copiando las 3 columnas actuales en las 3 columnas siguientes, desplazadas 1 fila en el sentido del anillo, hasta que el cuadrado se llene por completo.
5. Construye un segundo cuadrado y copia la transposición del primer cuadrado en él.
6. Construye el cuadrado final multiplicando el segundo cuadrado por , sumando el primer cuadrado y restando en cada celda del cuadrado. ${\displaystyle 6n+3}$ ${\displaystyle 6n+3}$

   Ejemplo: , donde B es el cuadrado mágico con todas las celdas como 1. ${\displaystyle A+(6n+3)A^{T}-(6n+3)B}$

Referencias

1. Ng, Louis (13 de mayo de 2018). "Conteo mágico con politopos de adentro hacia afuera" (PDF) .

• WS Andrews, Cuadrados y cubos mágicos . Nueva York: Dover, 1960. Impreso originalmente en 1917. Véase especialmente el Capítulo X.

• Ollerenshaw, K., Brée, D.: Cuadrados mágicos pandiagonales más perfectos. IMA, Southend-on-Sea (1998)

enlaces externos

• Plaza Panmagic en MathWorld
• http://www.azspcs.net/Contest/PandiagonalMagicSquares