Conjugado armónico proyectivo

Punto encontrado separado de otro, dado un par de puntos

D es el conjugado armónico de C con respecto a A y B.
A, D, B, C forman un rango armónico.
KLMN es un cuadrilátero completo que lo genera.

En geometría proyectiva , el punto conjugado armónico de un punto de la recta proyectiva real respecto de otros dos puntos se define mediante la siguiente construcción:

Dados tres puntos colineales A, B, C , sea L un punto que no se encuentre en su unión y sea cualquier línea que pase por C corte LA, LB en M, N respectivamente. Si AN y BM se encuentran en K , y LK se encuentra con AB en D , entonces D se llama conjugado armónico de C con respecto a A y B. ^[1]

El punto D no depende de qué punto L se toma inicialmente, ni de qué línea que pasa por C se usa para encontrar M y N. Este hecho se deriva del teorema de Desargues .

En geometría proyectiva real, la conjugación armónica también se puede definir en términos de la relación cruzada como  ( A , B ; C , D ) = −1 .

Criterio de relación cruzada

Los cuatro puntos a veces se denominan rango armónico (en la línea proyectiva real), ya que se encuentra que D siempre divide internamente el segmento AB en la misma proporción que C divide AB externamente . Eso es:

$${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AD}}:{\overline {DB}}\,.}$$

Si ahora se dota a estos segmentos de la interpretación métrica ordinaria de los números reales, tendrán signo y formarán una proporción doble conocida como razón cruzada (a veces razón doble ).

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\left/{\frac {\overline {BC}}{-{\overline {DB}}}}\right.,}$

para lo cual un rango armónico se caracteriza por un valor de −1. Por tanto escribimos:

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {BC}}}=-1.}$

El valor de una relación cruzada en general no es único , ya que depende del orden de selección de los segmentos (y hay seis selecciones posibles). Pero para un rango armónico en particular solo hay tres valores de relación cruzada: {−1, 1/2, 2}, ya que −1 es autoinverso, por lo que intercambiar los dos últimos puntos simplemente corresponde a cada uno de estos valores, pero no produce ningún efecto. nuevo valor, y se conoce clásicamente como relación cruzada armónica .

En términos de una razón doble, dados los puntos a, b en una recta afín, la razón de división ^[2] de un punto x es

$${\displaystyle t(x)={\frac {x-a}{x-b}}.}$$

a < x < bt ( x )t ( c ) + t ( d ) = 0cydabinversas aditivas ${\displaystyle (c,d;a,b)={\tfrac {t(c)}{t(d)}}}$

La división armónica de un segmento de recta es un caso especial de la definición del círculo de Apolonio .

En algunos estudios escolares a la configuración de un rango armónico se le llama división armónica .

de punto medio

El punto medio y el infinito son conjugados armónicos.

Cuando x es el punto medio del segmento de a a b , entonces

$${\displaystyle t(x)={\frac {x-a}{x-b}}=-1.}$$

xyt ( y ) = 1yab

$${\displaystyle \lim _{y\to \infty }t(y)=1,}$$

punto en el infinitox

Desde el cuadrilátero completo

Otra aproximación al conjugado armónico es a través del concepto de un cuadrilátero completo como KLMN en el diagrama anterior. Basado en cuatro puntos, el cuadrilátero completo tiene pares de lados y diagonales opuestos. En la expresión de conjugados armónicos por HSM Coxeter , las diagonales se consideran un par de lados opuestos:

D es el conjugado armónico de C con respecto a A y B , lo que significa que existe un cuadrilátero IJKL tal que un par de lados opuestos se cruzan en A , y un segundo par en B , mientras que el tercer par se encuentra con AB en C y D. . ^[3]

Fue Karl von Staudt quien utilizó por primera vez el conjugado armónico como base para la geometría proyectiva independientemente de consideraciones métricas:

... Staudt logró liberar la geometría proyectiva de la geometría elemental. En su Geometrie der Lage , Staudt introdujo una cuádruple armónica de elementos independientemente del concepto de razón cruzada siguiendo un recorrido puramente proyectivo, utilizando un cuadrilátero o cuadrilátero completo. ^[4]

P ₁ = A , P ₂ = S , P ₃ = B , P ₄ = Q , D = M
(ignore la M verde).

Para ver el cuadrilátero completo aplicado a la obtención del punto medio, considere el siguiente pasaje de JW Young:

Si se trazan dos rectas arbitrarias AQ, AS por A y las rectas BS, BQ por B paralelas a AQ, AS respectivamente, las rectas AQ, SB se cortan, por definición, en un punto R en el infinito, mientras que AS, QB se cortan por definición en un punto P en el infinito. El cuadrilátero completo PQRS tiene entonces dos puntos diagonales en A y B , mientras que el par restante de lados opuestos pasa por M y el punto en el infinito en AB . El punto M es entonces , por construcción, el conjugado armónico del punto en el infinito de AB con respecto a A y B. Por otro lado, que M es el punto medio del segmento AB se deriva de la conocida proposición de que las diagonales de un paralelogramo ( PQRS ) se bisecan entre sí. ^[5]

Relaciones cuaternarias

Cuatro puntos ordenados en un rango proyectivo se denominan puntos armónicos cuando hay un tetrastigma en el plano de modo que el primero y el tercero son codotes y los otros dos puntos están en los conectores del tercer codote. ^[6]

Si p es un punto que no está en una recta con puntos armónicos, las uniones de p con los puntos son rectas armónicas . De manera similar, si el eje de un lápiz de planos está sesgado hacia una recta con puntos armónicos, los planos sobre los puntos son planos armónicos . ^[6]

Un conjunto de cuatro en tal relación se ha llamado cuádruple armónico . ^[7]

Cónicas proyectivas

Una cónica en el plano proyectivo es una curva C que tiene la siguiente propiedad: si P es un punto que no está en C , y si una recta variable que pasa por P corta a C en los puntos A y B , entonces el conjugado armónico variable de P con respecto a A y B trazan una línea. El punto P se llama polo de esa recta de conjugados armónicos, y a esta recta se le llama recta polar de P con respecto a la cónica. Consulte el artículo Polo y polar para obtener más detalles.

Geometría inversa

En el caso de que la cónica sea un círculo, en los diámetros extendidos del círculo, los conjugados armónicos respecto del círculo son inversos en un círculo . Este hecho se deriva de uno de los teoremas de Smogorzhevsky: ^[8]

Si los círculos k y q son mutuamente ortogonales, entonces una línea recta que pasa por el centro de k y corta a q lo hace en puntos simétricos con respecto a  k .

Es decir, si la línea tiene un diámetro extendido de k , entonces las intersecciones con q son conjugados armónicos.

Cónicas y ecuación de Joachimthal

Considere como curva una elipse dada por la ecuación ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Sea un punto fuera de la elipse y una línea recta que corta la elipse en los puntos y . Tengamos coordenadas . Luego tome un punto dentro y dentro de la elipse que sea tal que divida el segmento de línea en la proporción de , es decir ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\xi ,\eta )}$ ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle PQ}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle PA={\sqrt {(x_{0}-\xi )^{2}+(y_{0}-\eta )^{2}}}=1,\;\;\;AQ={\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}}}=\lambda }$.

En lugar de resolver estas ecuaciones, es más fácil verificar por sustitución que las siguientes expresiones son las soluciones, es decir ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle (\xi ,\eta )={\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}},{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}.}$

Como el punto se encuentra en la elipse , se tiene ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}=1,}$

o

${\displaystyle \lambda ^{2}{\bigg (}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+2\lambda {\bigg (}{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+{\bigg (}{\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}=0.}$

Esta ecuación, que es cuadrática , se llama ecuación de Joachimthal. Sus dos raíces , determinan las posiciones de y en relación con y . Asociémonos con y con . Entonces los distintos segmentos de recta están dados por ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \lambda _{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{2}}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle QA={\frac {1}{\lambda _{1}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PA={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y)}$

y

${\displaystyle QB={\frac {1}{\lambda _{2}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PB={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y).}$

Resulta que

${\displaystyle {\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}.}$

Cuando esta expresión es , tenemos ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle {\frac {QA}{PA}}=-{\frac {QB}{PB}}.}$

Por tanto, divide “internamente” en la misma proporción que divide “externamente”. La expresion ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle PQ}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle PQ}$

${\displaystyle {\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}}$

con valor (lo que lo hace autoinverso) se conoce como relación cruzada armónica. Con lo anterior, se tiene y por lo tanto el coeficiente de en la ecuación de Joachimthal desaparece, es decir ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle \lambda _{2}/\lambda _{1}=-1}$ ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}=0}$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle {\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1=0.}$

Esta es la ecuación de una línea recta llamada polar (línea) de un punto (polo) . Se puede demostrar que esta polar de es la cuerda de contacto de las tangentes a la elipse de . Si ponemos la elipse ( ) la ecuación es la de la tangente en . También se puede demostrar que la directriz de la elipse es la polar del foco. ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \lambda _{1}=0,\lambda _{2}=0}$ ${\displaystyle P}$

tétradas de Galois

En geometría de Galois sobre un campo de Galois GF( q ) una línea tiene q + 1 puntos, donde ∞ = (1,0) . En esta línea cuatro puntos forman una tétrada armónica cuando dos separan armónicamente a los demás. La condición

${\displaystyle (c,d;a,b)=-1,\ {\text{ equivalently }}\ \ 2(cd+ab)=(c+d)(a+b),}$

caracteriza las tétradas armónicas. La atención a estas tétradas llevó a Jean Dieudonné a delinear algunos isomorfismos accidentales de los grupos lineales proyectivos PGL(2, q ) para q = 5, 7, 9 . ^[9]

Si q = 2 ⁿ , y dados A y B , entonces el conjugado armónico de C es él mismo. ^[10]

Conjugados armónicos proyectivos iterados y la proporción áurea

Sean P ₀ , P ₁ , P ₂ tres puntos diferentes en la recta proyectiva real. Considere la secuencia infinita de puntos P _n , donde P _n es el conjugado armónico de P _{n -3} con respecto a P _{n -1} , P _{n -2} para n > 2 . Esta secuencia es convergente. ^[11]

Para un límite finito P tenemos

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+1}P}{P_{n}P}}=\Phi -2=-\Phi ^{-2}=-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},}$

¿Dónde está la proporción áurea , es decir, para n grande ? Para un límite infinito tenemos ${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})}$ ${\displaystyle P_{n+1}P\approx -\Phi ^{-2}P_{n}P}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+2}P_{n+1}}{P_{n+1}P_{n}}}=-1-\Phi =-\Phi ^{2}.}$

Para una prueba considere el isomorfismo proyectivo

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

con

${\displaystyle f\left((-1)^{n}\Phi ^{2n}\right)=P_{n}.}$

Referencias

1. RL Goodstein y EJF Primrose (1953) Geometría proyectiva axiomática , University College Leicester (editor). Este texto sigue la geometría sintética . Construcción armónica en la página 11
2. Dirk Struik (1953) Conferencias sobre geometría analítica y proyectiva , página 7
3. HSM Coxeter (1942) Geometría no euclidiana , página 29, University of Toronto Press
4. BL Laptev y BA Rozenfel'd (1996) Matemáticas del siglo XIX: geometría , página 41, Birkhäuser Verlag ISBN  3-7643-5048-2
5. John Wesley Young (1930) Geometría proyectiva , página 85, Asociación Matemática de América , Chicago: Open Court Publishing
6. GB Halsted (1906) Geometría proyectiva sintética , páginas 15 y 16
7. Luis Santaló (1966) Geometría proyectiva , página 166, Editorial Universitaria de Buenos Aires
8. AS Smogorzhevsky (1982) Geometría lobachevskiana , Editores Mir , Moscú
9. Jean Dieudonné (1954) "Les Isomorfismos excepcionales entre les grupos clásicos finis", Revista Canadiense de Matemáticas 6: 305 a 15 doi :10.4153/CJM-1954-029-0
10. Emil Artin (1957) Álgebra geométrica, página 82 vía Internet Archive
11. F. Leitenberger (2016) Divisiones armónicas iteradas y proporción áurea, Forum Geométricorum 16: 429–430

• Juan Carlos Alverez (2000) Geometría Proyectiva, ver Capítulo 2: El Plano Proyectivo Real, sección 3: Cuádruples armónicos y teorema de von Staudt.
• Robert Lachlan (1893) Tratado elemental sobre geometría pura moderna, enlace de Monografías de matemáticas históricas de la Universidad de Cornell .
• Bertrand Russell (1903) Principios de Matemáticas , página 384.
• Russell, John Wellesley (1905). Geometría pura. Prensa de Clarendon.