El teorema de restricción cristalográfica en su forma básica se basó en la observación de que las simetrías rotacionales de un cristal suelen estar limitadas a 2, 3, 4 y 6 veces. Sin embargo, los cuasicristales pueden presentarse con otras simetrías de patrón de difracción, como 5 veces; estas no fueron descubiertas hasta 1982 por Dan Shechtman . [1]
Los cristales se modelan como redes discretas , generadas por una lista de traslaciones finitas independientes (Coxeter 1989). Debido a que la discreción requiere que los espaciamientos entre los puntos de la red tengan un límite inferior, el grupo de simetrías rotacionales de la red en cualquier punto debe ser un grupo finito (alternativamente, el punto es el único sistema que permite una simetría rotacional infinita). La fortaleza del teorema es que no todos los grupos finitos son compatibles con una red discreta; en cualquier dimensión, tendremos solo un número finito de grupos compatibles.
Los casos especiales de 2D ( grupos de fondos de pantalla ) y 3D ( grupos espaciales ) son los más utilizados en las aplicaciones y pueden tratarse juntos.
Una simetría de rotación en dimensión 2 o 3 debe mover un punto de la red a una sucesión de otros puntos de la red en el mismo plano, generando un polígono regular de puntos de la red coplanares. Ahora nos centraremos en el plano en el que actúa la simetría (Scherrer 1946), ilustrado con vectores de red en la figura.
Ahora considere una rotación de 8 pliegues y los vectores de desplazamiento entre puntos adyacentes del polígono. Si existe un desplazamiento entre dos puntos cualesquiera de la red, entonces ese mismo desplazamiento se repite en todas partes de la red. Por lo tanto, agrupe todos los desplazamientos de los bordes para comenzar en un solo punto de la red. Los vectores de los bordes se convierten en vectores radiales y su simetría de 8 pliegues implica un octógono regular de puntos de la red alrededor del punto de agrupación. Pero esto es imposible , porque el nuevo octógono es aproximadamente un 80% tan grande como el original. La importancia de la contracción es que es ilimitada. La misma construcción se puede repetir con el nuevo octógono, y una y otra vez hasta que la distancia entre los puntos de la red sea tan pequeña como queramos; por lo tanto, ninguna red discreta puede tener simetría de 8 pliegues. El mismo argumento se aplica a cualquier rotación de k pliegues, para k mayor que 6.
Un argumento de contracción también elimina la simetría quíntuple. Consideremos un pentágono regular de puntos reticulares. Si existe, entonces podemos tomar cualquier desplazamiento de arista y (de cabeza a cola) armar una estrella de 5 puntas, con la última arista regresando al punto de partida. Los vértices de dicha estrella son nuevamente vértices de un pentágono regular con simetría quíntuple, pero aproximadamente un 60% más pequeños que el original.
De esta forma queda demostrado el teorema.
La existencia de cuasicristales y teselas de Penrose muestra que es necesario el supuesto de una traslación lineal. Las teselas de Penrose pueden tener simetría rotacional quíntuple y una red discreta, y cualquier vecindad local de la tesela se repite infinitas veces, pero no hay una traslación lineal para la tesela en su totalidad. Y sin el supuesto de red discreta, la construcción anterior no solo no llega a una contradicción, sino que produce un contraejemplo (no discreto). Por lo tanto, la simetría rotacional quíntuple no puede eliminarse mediante un argumento que no tenga ninguno de esos supuestos. Sin embargo, una tesela de Penrose de todo el plano (infinito) solo puede tener simetría rotacional quíntuple exacta (de toda la tesela) alrededor de un único punto, mientras que las redes cuadriplicadas y séxtuplicadas tienen infinitos centros de simetría rotacional.
Consideremos dos puntos de la red A y B separados por un vector de traslación r . Consideremos un ángulo α tal que una rotación de ángulo α alrededor de cualquier punto de la red es una simetría de la red. Al girar alrededor del punto B por α se asigna el punto A a un nuevo punto A'. De manera similar, al girar alrededor del punto A por α se asigna B a un punto B'. Dado que ambas rotaciones mencionadas son operaciones de simetría, A' y B' deben ser puntos de la red. Debido a la periodicidad del cristal, el nuevo vector r' que los conecta debe ser igual a un múltiplo entero de r :
con entero. Los cuatro vectores de traslación, tres de longitud y uno, que une A' y B', de longitud , forman un trapecio. Por lo tanto, la longitud de r' también viene dada por:
Combinando las dos ecuaciones obtenemos:
donde también es un entero. Teniendo en cuenta que hemos permitido números enteros . Resolver para los posibles valores de revela que los únicos valores en el rango de 0° a 180° son 0°, 60°, 90°, 120° y 180°. En radianes, las únicas rotaciones permitidas consistentes con la periodicidad reticular están dadas por 2π/ n , donde n = 1, 2, 3, 4, 6. Esto corresponde a una simetría de 1, 2, 3, 4 y 6 pliegues, respectivamente, y por lo tanto excluye la posibilidad de una simetría de 5 pliegues o mayor que 6 pliegues.
Consideremos una línea de átomos AOB , separados por una distancia a . Gire toda la fila por θ = +2π/ n y θ = −2π/ n , con el punto O mantenido fijo. Después de la rotación por +2π/ n , A se mueve al punto de red C y después de la rotación por -2π/ n , B se mueve al punto de red D . Debido a la periodicidad asumida de la red, los dos puntos de red C y D también estarán en una línea directamente debajo de la fila inicial; además, C y D estarán separados por r = ma , con m un entero. Pero por trigonometría, la separación entre estos puntos es:
Igualando las dos relaciones obtenemos:
Esto se satisface sólo con n = 1, 2, 3, 4, 6.
Para una prueba alternativa, considere las propiedades de la matriz . La suma de los elementos diagonales de una matriz se denomina traza de la matriz. En 2D y 3D, cada rotación es una rotación plana y la traza es una función únicamente del ángulo. Para una rotación en 2D, la traza es 2 cos θ; para una rotación en 3D, 1 + 2 cos θ.
Ejemplos
Al seleccionar una base formada a partir de vectores que abarcan la red, no se garantiza ni la ortogonalidad ni la longitud unitaria, solo la independencia lineal. Sin embargo, la traza de la matriz de rotación es la misma con respecto a cualquier base. La traza es invariante de similitud bajo transformaciones lineales. En la base de la red, la operación de rotación debe mapear cada punto de la red en un número entero de vectores de la red, por lo que las entradas de la matriz de rotación en la base de la red (y, por lo tanto, la traza) son necesariamente números enteros. De manera similar a otras demostraciones, esto implica que las únicas simetrías rotacionales permitidas corresponden a invariancias de 1, 2, 3, 4 o 6 veces. Por ejemplo, los papeles pintados y los cristales no se pueden rotar 45° y permanecer invariantes, los únicos ángulos posibles son: 360°, 180°, 120°, 90° o 60°.
Ejemplo
La restricción cristalográfica general sobre las rotaciones no garantiza que una rotación sea compatible con una red específica. Por ejemplo, una rotación de 60° no funcionará con una red cuadrada; ni tampoco una rotación de 90° funcionará con una red rectangular.
Cuando la dimensión de la red aumenta a cuatro o más, las rotaciones ya no necesitan ser planas; la prueba 2D es inadecuada. Sin embargo, aún se aplican restricciones, aunque se permiten más simetrías. Por ejemplo, la red hipercúbica tiene una simetría rotacional óctuple, que corresponde a una simetría rotacional óctuple del hipercubo . Esto es de interés, no solo para las matemáticas, sino para la física de los cuasicristales bajo la teoría de corte y proyección . En esta perspectiva, un cuasicristal 3D con simetría de rotación óctuple podría describirse como la proyección de una losa cortada de una red 4D.
La siguiente matriz de rotación 4D es la simetría óctuple antes mencionada del hipercubo (y del politopo cruzado ):
Transformando esta matriz a las nuevas coordenadas dadas por
Esta tercera matriz corresponde entonces a una rotación de 45° (en las dos primeras dimensiones) y de 135° (en las dos últimas). Proyectando una placa de hipercubos a lo largo de las dos primeras dimensiones de las nuevas coordenadas se produce un mosaico de Ammann-Beenker (se produce otro mosaico de este tipo al proyectar a lo largo de las dos últimas dimensiones), que por lo tanto también tiene una simetría rotacional óctuple en promedio.
La red A4 y la red F4 tienen simetrías rotacionales de orden 10 y orden 12, respectivamente.
Para enunciar la restricción para todas las dimensiones, es conveniente desviar la atención de las rotaciones únicamente y concentrarse en las matrices enteras (Bamberg, Cairns y Kilminster 2003). Decimos que una matriz A tiene orden k cuando su potencia k -ésima (pero no menor), A k , es igual a la identidad. Por lo tanto, una matriz de rotación séxtuple en la base del triángulo equilátero es una matriz entera con orden 6. Sea Ord N el conjunto de números enteros que pueden ser del orden de una matriz entera N × N . Por ejemplo, Ord 2 = {1, 2, 3, 4, 6}. Deseamos enunciar una fórmula explícita para Ord N .
Defina una función ψ basada en la función totiente de Euler φ; asignará enteros positivos a enteros no negativos. Para un primo impar , p , y un entero positivo, k , iguale ψ( p k ) al valor de la función totiente, φ( p k ), que en este caso es p k − p k−1 . Haga lo mismo para ψ(2 k ) cuando k > 1. Fije ψ(2) y ψ(1) a 0. Usando el teorema fundamental de la aritmética , podemos escribir cualquier otro entero positivo únicamente como un producto de potencias primos, m = Π α p α k α ; fije ψ( m ) = Σ α ψ( p α k α ). Esto difiere del totiente en sí, porque es una suma en lugar de un producto.
La restricción cristalográfica en forma general establece que Ord N consiste en aquellos números enteros positivos m tales que ψ( m ) ≤ N .
Para m > 2, los valores de ψ( m ) son iguales al doble del grado algebraico de cos(2π/ m ); por lo tanto, ψ( m ) es estrictamente menor que m y alcanza este valor máximo si y solo si m es un primo .
Estas simetrías adicionales no permiten que un corte plano tenga, por ejemplo, una simetría de rotación de 8 veces. En el plano, las restricciones 2D aún se aplican. Por lo tanto, los cortes utilizados para modelar cuasicristales necesariamente tienen espesor.
Las matrices enteras no se limitan a rotaciones; por ejemplo, una reflexión también es una simetría de orden 2. Pero al insistir en el determinante +1, podemos restringir las matrices a rotaciones propias .
El teorema de restricción cristalográfico puede formularse en términos de isometrías del espacio euclidiano . Un conjunto de isometrías puede formar un grupo . Por grupo de isometría discreto nos referiremos a un grupo de isometría que mapea cada punto a un subconjunto discreto de R N , es decir, la órbita de cualquier punto es un conjunto de puntos aislados . Con esta terminología, el teorema de restricción cristalográfico en dos y tres dimensiones puede formularse de la siguiente manera.
Las isometrías de orden n incluyen, pero no se limitan a, rotaciones de n pliegues. El teorema también excluye S 8 , S 12 , D 4d y D 6d (ver grupos de puntos en tres dimensiones ), aunque solo tienen simetría rotacional de 4 y 6 pliegues. La simetría rotacional de cualquier orden sobre un eje es compatible con la simetría traslacional a lo largo de ese eje.
El resultado de la tabla anterior implica que para cada grupo de isometría discreta en el espacio de cuatro y cinco dimensiones que incluye traslaciones que abarcan todo el espacio, todas las isometrías de orden finito son de orden 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 o 12.
Todas las isometrías de orden finito en el espacio de seis y siete dimensiones son de orden 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 18, 20, 24 o 30.
