Inestabilidad magnetorrotacional

Inestabilidad del fluido que provoca turbulencia en los discos de acreción

La inestabilidad magnetorrotacional (MRI) es una inestabilidad de fluidos que hace que un disco de acreción que orbita alrededor de un objeto central masivo se vuelva turbulento . Surge cuando la velocidad angular de un fluido conductor en un campo magnético disminuye a medida que aumenta la distancia desde el centro de rotación. También se conoce como inestabilidad de Velikhov-Chandrasekhar o inestabilidad de Balbus-Hawley en la literatura, que no debe confundirse con la inestabilidad electrotérmica de Velikhov . La MRI es de particular relevancia en astrofísica , donde es una parte importante de la dinámica en los discos de acreción .

Los gases o líquidos que contienen cargas eléctricas móviles están sujetos a la influencia de un campo magnético. Además de las fuerzas hidrodinámicas como la presión y la gravedad, un elemento de fluido magnetizado también siente la fuerza de Lorentz donde es la densidad de corriente y es el vector del campo magnético. Si el fluido está en un estado de rotación diferencial alrededor de un origen fijo, esta fuerza de Lorentz puede ser sorprendentemente disruptiva, incluso si el campo magnético es muy débil. En particular, si la velocidad angular de rotación disminuye con la distancia radial, el movimiento es inestable: un elemento de fluido que experimenta un pequeño desplazamiento a partir del movimiento circular experimenta una fuerza desestabilizadora que aumenta a una velocidad que es proporcional al desplazamiento. Este proceso se conoce como inestabilidad magnetorrotacional o "MRI". ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}\times {\boldsymbol {B}}\ ,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle R\ ,}$

En el ámbito astrofísico, los sistemas con rotación diferencial son muy comunes y los campos magnéticos son omnipresentes. En particular, los discos delgados de gas se encuentran a menudo alrededor de estrellas en formación o en sistemas estelares binarios , donde se los conoce como discos de acreción. Los discos de acreción también están presentes comúnmente en el centro de las galaxias y, en algunos casos, pueden ser extremadamente luminosos: se cree que los cuásares , por ejemplo, se originan a partir de un disco gaseoso que rodea un agujero negro muy masivo . Nuestra comprensión moderna de la MRI surgió de los intentos de comprender el comportamiento de los discos de acreción en presencia de campos magnéticos; ahora se entiende que es probable que la MRI se produzca en una amplia variedad de sistemas diferentes.

Descubrimiento

La resonancia magnética fue descubierta por primera vez en un contexto no astrofísico por Evgeny Velikhov en 1959 al considerar la estabilidad del flujo de Couette de un fluido hidromagnético ideal. ^[1] Su resultado fue generalizado posteriormente por Subrahmanyan Chandrasekhar en 1960. ^{[2] [3]} Este mecanismo fue propuesto por DJ Acheson y Raymond Hide (1973) para que tal vez desempeñara un papel en el contexto del problema del geodinamo de la Tierra. ^[4] Aunque hubo algún trabajo de seguimiento en décadas posteriores (Fricke, 1969; Acheson y Hide 1972; Acheson y Gibbons 1978), la generalidad y el poder de la inestabilidad no se apreciaron plenamente hasta 1991, cuando Steven A. Balbus y John F. Hawley dieron una elucidación relativamente simple y una explicación física de este importante proceso. ^[5]

Proceso físico

Un modelo sencillo de resonancia magnética

En un fluido magnetizado y perfectamente conductor, las fuerzas magnéticas se comportan en algunos aspectos muy importantes como si los elementos del fluido estuvieran unidos por bandas elásticas: intentar desplazar un elemento de este tipo perpendicularmente a una línea de fuerza magnética provoca una fuerza de atracción proporcional al desplazamiento, como un resorte bajo tensión. Normalmente, esta fuerza es restauradora, una influencia fuertemente estabilizadora que permitiría la propagación de un tipo de onda magnética. Sin embargo, si el medio fluido no está estacionario sino que gira, las fuerzas de atracción pueden ser en realidad desestabilizadoras. La resonancia magnética es una consecuencia de este comportamiento sorprendente.

Consideremos, por ejemplo, dos masas, m _i ("interior") y m _o ("exterior") conectadas por un resorte bajo tensión, ambas masas en órbita alrededor de un cuerpo central, M _c . En un sistema de este tipo, la velocidad angular de las órbitas circulares cercanas al centro es mayor que la velocidad angular de las órbitas más alejadas del centro, pero el momento angular de las órbitas interiores es menor que el de las órbitas exteriores. Si se permite que m _i orbite un poco más cerca del centro que m _o , tendrá una velocidad angular ligeramente mayor. El resorte de conexión tirará de m _i hacia atrás y arrastrará a m _o hacia delante. Esto significa que m _i experimenta un par de torsión retardador, pierde momento angular y debe caer hacia adentro a una órbita de radio menor, correspondiente a un momento angular menor. m _o , por otro lado, experimenta un par de torsión positivo, adquiere más momento angular y se mueve hacia afuera a una órbita más alta. El resorte se estira aún más, los pares de torsión se vuelven aún mayores y el movimiento es inestable. Como las fuerzas magnéticas actúan como un resorte bajo tensión que conecta los elementos del fluido, el comportamiento de un fluido magnetizado es casi exactamente análogo a este sistema mecánico simple. Esta es la esencia de la resonancia magnética.

Una explicación más detallada

Para ver este comportamiento inestable de forma más cuantitativa, considere las ecuaciones de movimiento para una masa de elemento fluido en movimiento circular con una velocidad angular En general será una función de la distancia desde el eje de rotación y suponemos que el radio orbital es La aceleración centrípeta requerida para mantener la masa en órbita es ; el signo menos indica una dirección hacia el centro. Si esta fuerza es la gravedad desde una masa puntual en el centro, entonces la aceleración centrípeta es simplemente donde es la constante gravitacional y es la masa central. Consideremos ahora pequeñas desviaciones del movimiento circular del elemento de masa en órbita causadas por alguna fuerza perturbadora. Transformamos las variables en un marco giratorio que se mueve con el elemento de masa en órbita a velocidad angular con origen ubicado en la ubicación orbital no perturbada del elemento de masa. Como es habitual cuando se trabaja en un marco giratorio, debemos agregar a las ecuaciones de movimiento una fuerza de Coriolis más una fuerza centrífuga La velocidad es la velocidad medida en el marco giratorio. Además, restringimos nuestra atención a un pequeño vecindario cerca, digamos, con mucho menor que Entonces la suma de las fuerzas centrífuga y centrípeta es ${\displaystyle \Omega \ .}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle R\ ,}$ ${\displaystyle r=R_{0}\ .}$ ${\displaystyle -R\Omega ^{2}(R)}$ ${\displaystyle -GM/R^{2},}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega (R_{0})=\Omega _{0}\ ,}$ ${\displaystyle -2{\boldsymbol {\Omega }}_{0}\times {\boldsymbol {v}}}$ ${\displaystyle R\Omega _{0}^{2}\ .}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle R_{0}\ ,}$ ${\displaystyle R_{0}+x\ ,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle R_{0}\ .}$

al orden lineal en Con nuestro eje apuntando radialmente hacia afuera desde la ubicación no perturbada del elemento de fluido y nuestro eje apuntando en la dirección del ángulo azimutal creciente (la dirección de la órbita no perturbada), las ecuaciones de movimiento para una pequeña desviación de una órbita circular son: ${\displaystyle x\ .}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle R=R_{0}}$

donde y son las fuerzas por unidad de masa en las direcciones y , y un punto indica una derivada respecto del tiempo (es decir, es la velocidad, es la aceleración, etc.). Siempre que y sean 0 o lineales en x e y, este es un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden acopladas que se pueden resolver analíticamente. En ausencia de fuerzas externas, y , las ecuaciones de movimiento tienen soluciones con la dependencia del tiempo donde la frecuencia angular satisface la ecuación ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\dot {x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\ddot {x}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle f_{x}=0}$ ${\displaystyle f_{y}=0}$ ${\displaystyle e^{i\omega t}\ ,}$ ${\displaystyle \omega }$

donde se conoce como frecuencia epicíclica . En nuestro sistema solar, por ejemplo, las desviaciones de una órbita circular centrada en el Sol que son elipses familiares cuando las ve un observador externo en reposo, aparecen en cambio como pequeñas oscilaciones radiales y azimutales del elemento en órbita cuando las ve un observador que se mueve con el movimiento circular no perturbado. Estas oscilaciones trazan una pequeña elipse retrógrada (es decir, que gira en el sentido opuesto de la gran órbita circular), centrada en la ubicación orbital no perturbada del elemento de masa. ${\displaystyle \kappa ^{2}}$

La frecuencia epicíclica puede escribirse de manera equivalente, lo que demuestra que es proporcional a la derivada radial del momento angular por unidad de masa, o momento angular específico. El momento angular específico debe aumentar hacia afuera para que existan oscilaciones epicíclicas estables, de lo contrario, los desplazamientos crecerían exponencialmente, lo que corresponde a la inestabilidad. Este es un resultado muy general conocido como el criterio de Rayleigh (Chandrasekhar 1961) para la estabilidad. Para órbitas alrededor de una masa puntual, el momento angular específico es proporcional a , por lo que el criterio de Rayleigh se cumple bien. ${\displaystyle (1/R^{3})(dR^{4}\Omega ^{2}/dR)\ ,}$ ${\displaystyle R^{1/2}\ ,}$

Consideremos ahora las soluciones de las ecuaciones de movimiento si el elemento de masa se somete a una fuerza restauradora externa, donde es una constante arbitraria (la "constante de resorte"). Si ahora buscamos soluciones para los desplazamientos modales en y con dependencia del tiempo encontramos una ecuación mucho más compleja para ${\displaystyle f_{x}=-Kx\ ,}$ ${\displaystyle f_{y}=-Ky}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle e^{i\omega t}\ ,}$ ${\displaystyle \omega \ :}$

Aunque el resorte ejerce una fuerza de atracción, puede desestabilizarse. Por ejemplo, si la constante del resorte es suficientemente débil, el equilibrio dominante estará entre los dos términos finales del lado izquierdo de la ecuación. Entonces, un perfil de velocidad angular decreciente hacia afuera producirá valores negativos para y valores imaginarios positivos y negativos para La raíz imaginaria negativa no produce oscilaciones, sino un crecimiento exponencial de desplazamientos muy pequeños. Por lo tanto, un resorte débil causa el tipo de inestabilidad descrita cualitativamente al final de la sección anterior. Un resorte fuerte , por otro lado, producirá oscilaciones, como uno espera intuitivamente. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \omega ^{2}\ ,}$ ${\displaystyle \omega \ .}$

La naturaleza primaveral de los campos magnéticos

Las condiciones dentro de un fluido perfectamente conductor en movimiento son a menudo una buena aproximación a los gases astrofísicos. En presencia de un campo magnético, un conductor en movimiento responde tratando de eliminar la fuerza de Lorentz sobre las cargas libres. La fuerza magnética actúa de tal manera que reorganiza localmente estas cargas para producir un campo eléctrico interno de De esta manera, la fuerza de Lorentz directa sobre las cargas se desvanece. (Alternativamente, el campo eléctrico en el marco de reposo local de las cargas en movimiento se desvanece.) Este campo eléctrico inducido ahora puede inducir cambios adicionales en el campo magnético de acuerdo con la ley de Faraday , ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}\ ,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {E=-{v\times B}}}\ .}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {E+v\times B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$

Otra forma de escribir esta ecuación es que si con el tiempo el fluido realiza un desplazamiento entonces el campo magnético cambia en ${\displaystyle \delta t}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}={\boldsymbol {v}}\delta t\ ,}$

La ecuación de un campo magnético en un conductor perfecto en movimiento tiene una propiedad especial: la combinación de la inducción de Faraday y la fuerza de Lorentz cero hace que las líneas de campo se comporten como si estuvieran pintadas o "congeladas" en el fluido. En particular, si inicialmente es casi constante y es un desplazamiento sin divergencia , entonces nuestra ecuación se reduce a ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle \xi }$

Debido a la identidad del cálculo vectorial De estos 4 términos, es una de las ecuaciones de Maxwell . Por el supuesto de que no hay divergencia, . porque se supone que B es casi constante. La ecuación 8 muestra que cambia solo cuando hay un desplazamiento cortante a lo largo de la línea de campo. Para entender la MRI, es suficiente considerar el caso en el que es uniforme en dirección vertical y varía como Entonces ${\displaystyle \nabla \times (\mathbf {\xi } \times \mathbf {B} )=\mathbf {\xi } (\nabla \cdot \mathbf {B} )-\mathbf {B} (\nabla \cdot \mathbf {\xi } )+(\mathbf {B} \cdot \nabla )\mathbf {\xi } -(\mathbf {\xi } \cdot \nabla )\mathbf {B} \ .}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {\xi } =0}$ ${\displaystyle (\mathbf {\xi } \cdot \nabla )\mathbf {B} =0}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle e^{ikz}\ .}$

donde se entiende que la parte real de esta ecuación expresa su contenido físico. (Si es proporcional a por ejemplo, entonces es proporcional a ) ${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$ ${\displaystyle \cos(kz)\ ,}$ ${\displaystyle \delta {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle -\sin(kz)\ .}$

Un campo magnético ejerce una fuerza por unidad de volumen sobre un fluido conductor eléctricamente neutro igual a la ley circuital de Ampere , ya que la corrección de Maxwell se ignora en la aproximación MHD. La fuerza por unidad de volumen se convierte en ${\displaystyle {\boldsymbol {J}}\times {\boldsymbol {B}}\ .}$ ${\displaystyle \mu _{0}{\boldsymbol {J=\nabla \times B}}\ ,}$

donde hemos utilizado la misma identidad de cálculo vectorial. Esta ecuación es totalmente general y no hace suposiciones sobre la fuerza o la dirección del campo magnético. El primer término de la derecha es análogo a un gradiente de presión. En nuestro problema puede ignorarse porque no ejerce ninguna fuerza en el plano del disco, perpendicular a El segundo término actúa como una fuerza de tensión magnética, análoga a una cuerda tensa. Para una pequeña perturbación ejerce una aceleración dada por la fuerza dividida por la masa, o equivalentemente, la fuerza por unidad de volumen dividida por la masa por unidad de volumen: ${\displaystyle z\ .}$ ${\displaystyle \delta {\boldsymbol {B}}\ ,}$

De esta manera, una fuerza de tracción magnética genera una fuerza de retorno que es directamente proporcional al desplazamiento. Esto significa que la frecuencia de oscilación para pequeños desplazamientos en el plano de rotación de un disco con un campo magnético uniforme en dirección vertical satisface una ecuación ("relación de dispersión") exactamente análoga a la ecuación 5 , con la "constante elástica" ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle K={k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho }\ :}$

Como antes, si hay una raíz exponencialmente creciente de esta ecuación para números de onda que satisfacen Esto corresponde a la MRI. Nótese que el campo magnético aparece en la ecuación 12 solo como el producto Por lo tanto, incluso si es muy pequeño, para números de onda muy grandes esta tensión magnética puede ser importante. Es por esto que la MRI es tan sensible incluso a campos magnéticos muy débiles: su efecto se amplifica por multiplicación por Además, se puede demostrar que la MRI está presente independientemente de la geometría del campo magnético, siempre que el campo no sea demasiado fuerte. ${\displaystyle d\Omega ^{2}/dR<0\ ,}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho )<-Rd\Omega ^{2}/dR\ .}$ ${\displaystyle kB\ .}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k\ .}$

En astrofísica, en general, nos interesa el caso en el que el disco se sostiene por rotación contra la atracción gravitatoria de una masa central. Un equilibrio entre la fuerza gravitatoria newtoniana y la fuerza centrípeta radial da inmediatamente

donde es la constante gravitacional newtoniana, es la masa central y es la posición radial en el disco. Dado que este llamado disco kepleriano es inestable para la resonancia magnética, sin un campo magnético débil, el flujo sería estable. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle Rd\Omega ^{2}/dR=-3\Omega ^{2}<0\ ,}$

En el caso de un disco kepleriano, la tasa máxima de crecimiento es la que se produce en un número de onda que satisface la condición de muy rápido, lo que corresponde a un factor de amplificación de más de 100 por período de rotación. El desarrollo no lineal de la resonancia magnética hasta una turbulencia completamente desarrollada se puede seguir mediante cálculos numéricos a gran escala. ${\displaystyle \gamma =3\Omega /4\ ,}$ ${\displaystyle (k^{2}B^{2}/\mu _{0}\rho )=15\Omega ^{2}/16\ .}$ ${\displaystyle \gamma }$

Aplicaciones y experimentos de laboratorio

El interés por la resonancia magnética se basa en el hecho de que parece dar una explicación del origen del flujo turbulento en los discos de acreción astrofísicos (Balbus y Hawley, 1991). Un modelo prometedor para las fuentes de rayos X compactas e intensas descubiertas en la década de 1960 fue el de una estrella de neutrones o un agujero negro que absorbe ("acreción") gas de sus alrededores (Prendergast y Burbidge, 1968). Este gas siempre se acrecienta con una cantidad finita de momento angular en relación con el objeto central, por lo que primero debe formar un disco giratorio; no puede acrecentarse directamente sobre el objeto sin perder primero su momento angular. Pero no era del todo obvio cómo un elemento de fluido gaseoso lograba perder su momento angular y caer en espiral sobre el objeto central.

Una explicación posible es la turbulencia generada por cizallamiento (Shakura y Sunyaev, 1973). En un disco de acreción se produciría un cizallamiento significativo (el gas más cercano al centro gira más rápidamente que las regiones externas del disco) y las capas de cizallamiento a menudo se descomponen en un flujo turbulento. La presencia de turbulencia generada por cizallamiento, a su vez, produce los potentes pares de torsión necesarios para transportar el momento angular de un elemento de fluido (interior) a otro (más alejado).

La descomposición de las capas de cizallamiento en turbulencia se observa rutinariamente en flujos con gradientes de velocidad, pero sin rotación sistemática. Este es un punto importante, porque la rotación produce fuerzas de Coriolis fuertemente estabilizadoras, y esto es precisamente lo que ocurre en los discos de acreción. Como se puede ver en la ecuación 5 , el límite K = 0 produce oscilaciones estabilizadas por Coriolis, no crecimiento exponencial. Estas oscilaciones también están presentes en condiciones mucho más generales: un experimento de laboratorio reciente (Ji et al., 2006) ha demostrado la estabilidad del perfil de flujo esperado en los discos de acreción en condiciones en las que los efectos de disipación, de otro modo problemáticos, están (según una medida estándar conocida como el número de Reynolds) muy por debajo de una parte en un millón. Sin embargo, todo esto cambia cuando está presente incluso un campo magnético muy débil. La MRI produce pares que no están estabilizados por las fuerzas de Coriolis. Las simulaciones numéricas a gran escala de la resonancia magnética indican que el flujo del disco rotacional se descompone en turbulencia (Hawley et al., 1995), con propiedades de transporte de momento angular muy mejoradas. Esto es justo lo que se requiere para que funcione el modelo del disco de acreción. Se cree que la formación de estrellas (Stone et al., 2000), la producción de rayos X en sistemas de estrellas de neutrones y agujeros negros (Blaes, 2004) y la creación de núcleos galácticos activos (Krolik, 1999) y estallidos de rayos gamma (Wheeler, 2004) involucran el desarrollo de la resonancia magnética en algún nivel.

Hasta ahora, nos hemos centrado de forma bastante exclusiva en la descomposición dinámica del flujo laminar en turbulencia desencadenada por un campo magnético débil, pero también es cierto que el flujo altamente agitado resultante puede actuar de vuelta sobre este mismo campo magnético. Las líneas de campo magnético incorporadas se estiran por el flujo turbulento, y es posible que se produzca una amplificación sistemática del campo. El proceso por el cual los movimientos de los fluidos se convierten en energía del campo magnético se conoce como dinamo (Moffatt, 1978); los dos ejemplos mejor estudiados son el núcleo externo líquido de la Tierra y las capas cercanas a la superficie del Sol. Se cree que la actividad dinamo en estas regiones es responsable de mantener los campos magnéticos terrestres y solares. En ambos casos, es probable que la convección térmica sea la fuente de energía primaria, aunque en el caso del Sol la rotación diferencial también puede desempeñar un papel importante. Si la MRI es un proceso dinamo eficiente en los discos de acreción es actualmente un área de investigación activa (Fromang y Papaloizou, 2007).

También puede haber aplicaciones de la resonancia magnética fuera del ámbito clásico de los discos de acreción. La rotación interna de las estrellas (Ogilvie, 2007) e incluso las dinamos planetarias (Petitdemange et al., 2008) pueden, en algunas circunstancias, ser vulnerables a la resonancia magnética en combinación con inestabilidades convectivas. Estos estudios también están en curso.

Por último, la resonancia magnética puede, en principio, estudiarse en el laboratorio (Ji et al., 2001), aunque estos experimentos son muy difíciles de implementar. Una configuración típica implica carcasas esféricas concéntricas o carcasas cilíndricas coaxiales. Entre (y confinado por) las carcasas, hay un metal líquido conductor como sodio o galio. Las carcasas interna y externa se ponen en rotación a diferentes velocidades, y los pares viscosos obligan al metal líquido atrapado a girar de forma diferencial. A continuación, el experimento investiga si el perfil de rotación diferencial es estable o no en presencia de un campo magnético aplicado.

En el momento de escribir este artículo (2009), se espera la confirmación de una supuesta detección de la resonancia magnética en un experimento de capa esférica (Sisan et al., 2004), en el que el estado subyacente era en sí mismo turbulento. Se puede provocar una inestabilidad magnética que guarda cierta similitud con la resonancia magnética si están presentes tanto campos magnéticos verticales como azimutales en el estado no perturbado (Hollerbach y Rüdiger, 2005). A esto a veces se lo denomina resonancia magnética helicoidal (Liu et al., 2006), aunque su relación precisa con la resonancia magnética descrita anteriormente aún no se ha dilucidado por completo. Debido a que es menos sensible a la resistencia óhmica estabilizadora que la resonancia magnética clásica, esta inestabilidad magnética helicoidal es más fácil de provocar en el laboratorio, y hay indicios de que puede haberse encontrado (Stefani et al., 2006). Sin embargo, la detección de la resonancia magnética clásica en un estado de fondo hidrodinámicamente inactivo aún no se ha logrado en el laboratorio.

El análogo de masa de resorte de la resonancia magnética estándar se ha demostrado en un flujo rotatorio tipo Taylor-Couette/Kepleriano (Hung et al. 2019).

Referencias

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• Wheeler, JC 2004, Avances en la investigación espacial, 34, 12, 2744

Lectura adicional

• Balbus, Steven A. (junio de 2003). "Transporte mejorado del momento angular en discos de acreción". Revista anual de astronomía y astrofísica . 41 : 555–597. arXiv : astro-ph/0306208 . Código Bibliográfico :2003ARA&A..41..555B. doi :10.1146/annurev.astro.41.081401.155207. S2CID  : 45836806.
• Blaes, Omer (octubre de 2004). "Un universo de discos" (PDF) . Scientific American . 289 (4): 48–57. Bibcode :2004SciAm.291d..48B. doi :10.1038/scientificamerican1004-48. PMID  15487670.
• Frank, Juhan; King, Andrew; Raine, Derek (11 de febrero de 2002). El poder de acreción en la astrofísica (3.ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-62957-8.