Criptografía de curva elíptica

Aproximación a la criptografía de clave pública

La criptografía de curva elíptica ( ECC ) es un enfoque de la criptografía de clave pública basada en la estructura algebraica de curvas elípticas sobre campos finitos . La ECC permite que claves más pequeñas proporcionen una seguridad equivalente, en comparación con los criptosistemas basados ​​en la exponenciación modular en campos de Galois , como el criptosistema RSA y el criptosistema ElGamal . ^[1]

Las curvas elípticas se utilizan para la concordancia de claves , firmas digitales , generadores pseudoaleatorios y otras tareas. De manera indirecta, se pueden utilizar para el cifrado combinando la concordancia de claves con un esquema de cifrado simétrico . También se utilizan en varios algoritmos de factorización de números enteros que tienen aplicaciones en criptografía, como la factorización de curva elíptica de Lenstra .

Historia

El uso de curvas elípticas en criptografía fue sugerido independientemente por Neal Koblitz ^[2] y Victor S. Miller ^[3] en 1985. Los algoritmos de criptografía de curva elíptica comenzaron a usarse ampliamente entre 2004 y 2005.

En 1999, el NIST recomendó quince curvas elípticas. En concreto, la norma FIPS 186-4 ^[4] recomienda diez campos finitos:

• Cinco campos primos para ciertos números primos p de tamaños 192, 224, 256, 384 y 521 bits. Para cada uno de los campos primos, se recomienda una curva elíptica. ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$
• Cinco campos binarios para m son 163, 233, 283, 409 y 571. Para cada uno de los campos binarios, se seleccionó una curva elíptica y una curva de Koblitz . ${\displaystyle \mathbb {F} _{2^{m}}}$

La recomendación del NIST contiene un total de cinco curvas principales y diez curvas binarias. Las curvas se eligieron por su seguridad óptima y eficiencia de implementación. ^[5]

En la Conferencia RSA de 2005, la Agencia de Seguridad Nacional (NSA) anunció la Suite B , que utiliza exclusivamente ECC para la generación de firmas digitales y el intercambio de claves. La suite está destinada a proteger los sistemas y la información de seguridad nacional clasificados y no clasificados. ^[1] El Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST) ha respaldado la criptografía de curva elíptica en su conjunto de algoritmos recomendados Suite B , específicamente el algoritmo Diffie-Hellman de curva elíptica (ECDH) para el intercambio de claves y el algoritmo de firma digital de curva elíptica (ECDSA) para la firma digital. La NSA permite su uso para proteger información clasificada hasta el máximo secreto con claves de 384 bits. ^[6]

Recientemente, ^{[ ¿ cuándo? ]} se han introducido una gran cantidad de primitivas criptográficas basadas en mapeos bilineales en varios grupos de curvas elípticas, como los emparejamientos de Weil y Tate . Los esquemas basados ​​en estas primitivas proporcionan un cifrado basado en identidad eficiente , así como firmas basadas en emparejamientos, signcryption , acuerdo de claves y recifrado proxy . ^{[ cita requerida ]}

La criptografía de curva elíptica se utiliza con éxito en numerosos protocolos populares, como Transport Layer Security y Bitcoin .

Preocupaciones de seguridad

En 2013, The New York Times afirmó que Dual Elliptic Curve Deterministic Random Bit Generation (o Dual_EC_DRBG) se había incluido como un estándar nacional del NIST debido a la influencia de la NSA , que había incluido una debilidad deliberada en el algoritmo y la curva elíptica recomendada. ^[7] RSA Security en septiembre de 2013 emitió un aviso recomendando que sus clientes dejen de usar cualquier software basado en Dual_EC_DRBG. ^{[8] [9]} A raíz de la exposición de Dual_EC_DRBG como "una operación encubierta de la NSA", los expertos en criptografía también han expresado su preocupación por la seguridad de las curvas elípticas recomendadas por el NIST, ^[10] sugiriendo un regreso al cifrado basado en grupos de curvas no elípticas.

Además, en agosto de 2015, la NSA anunció que planea reemplazar la Suite B con una nueva suite de cifrado debido a las preocupaciones sobre ataques de computación cuántica en ECC. ^{[11] [12]}

Patentes

Si bien la patente RSA expiró en 2000, puede haber patentes vigentes que cubran ciertos aspectos de la tecnología ECC, incluido al menos un esquema ECC ( ECMQV ). Sin embargo, RSA Laboratories ^[13] y Daniel J. Bernstein ^[14] han argumentado que el estándar de firma digital de curva elíptica del gobierno de los EE. UU. (ECDSA; NIST FIPS 186-3) y ciertos esquemas prácticos de intercambio de claves basados ​​en ECC (incluido ECDH) se pueden implementar sin infringir esas patentes.

Teoría de la curva elíptica

Para los fines de este artículo, una curva elíptica es una curva plana sobre un campo finito (en lugar de números reales) que consta de los puntos que satisfacen la ecuación:

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b,\,}$

junto con un punto distinguido en el infinito , denotado ∞. Las coordenadas aquí deben elegirse de un campo finito fijo de característica no igual a 2 o 3, o la ecuación de la curva sería algo más complicada.

Este conjunto de puntos, junto con la operación de grupo de curvas elípticas , es un grupo abeliano , con el punto en el infinito como elemento identidad. La estructura del grupo se hereda del grupo divisor de la variedad algebraica subyacente :

${\displaystyle \mathrm {Div} ^{0}(E)\to \mathrm {Pic} ^{0}(E)\simeq E,\,}$

Aplicación a la criptografía

La criptografía de clave pública se basa en la insoluble dificultad de ciertos problemas matemáticos . Los primeros sistemas de clave pública, como la patente de RSA de 1983, basaban su seguridad en el supuesto de que es difícil factorizar un entero grande compuesto por dos o más factores primos grandes que están muy separados. Para los protocolos posteriores basados ​​en curvas elípticas, el supuesto básico es que encontrar el logaritmo discreto de un elemento aleatorio de una curva elíptica con respecto a un punto base conocido públicamente es inviable (el supuesto computacional de Diffie-Hellman ): este es el "problema del logaritmo discreto de la curva elíptica" (ECDLP). La seguridad de la criptografía de curva elíptica depende de la capacidad de calcular una multiplicación de puntos y de la incapacidad de calcular el multiplicando dado el punto original y el punto del producto. El tamaño de la curva elíptica, medido por el número total de pares de enteros discretos que satisfacen la ecuación de la curva, determina la dificultad del problema.

El principal beneficio que promete la criptografía de curva elíptica sobre alternativas como RSA es un tamaño de clave más pequeño , lo que reduce los requisitos de almacenamiento y transmisión. ^[1] Por ejemplo, una clave pública de curva elíptica de 256 bits debería proporcionar una seguridad comparable a una clave pública RSA de 3072 bits.

Esquemas criptográficos

Se han adaptado varios protocolos basados ​​en logaritmos discretos a curvas elípticas, reemplazando el grupo con una curva elíptica: ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p})^{\times }}$

• El esquema de acuerdo de claves de curva elíptica Diffie-Hellman (ECDH) se basa en el esquema Diffie-Hellman ,
• El esquema de cifrado integrado de curva elíptica (ECIES), también conocido como esquema de cifrado aumentado de curva elíptica o simplemente esquema de cifrado de curva elíptica,
• El algoritmo de firma digital de curva elíptica (ECDSA) se basa en el algoritmo de firma digital ,
• El esquema de deformación utilizando la métrica de Manhattan p-ádica de Harrison,
• El algoritmo de firma digital de curva de Edwards (EdDSA) se basa en la firma de Schnorr y utiliza curvas de Edwards retorcidas .
• El esquema de acuerdo de claves ECMQV se basa en el esquema de acuerdo de claves MQV ,
• El esquema de certificado implícito ECQV .

Implementación

Algunas consideraciones de implementación comunes incluyen:

Parámetros del dominio

Para utilizar ECC, todas las partes deben estar de acuerdo en todos los elementos que definen la curva elíptica, es decir, los parámetros de dominio del esquema. El tamaño del campo utilizado es normalmente primo (y denotado como p) o es una potencia de dos ( ); el último caso se llama caso binario , y este caso requiere la elección de una curva auxiliar denotada por f . Por lo tanto, el campo está definido por p en el caso primo y el par de m y f en el caso binario. La curva elíptica está definida por las constantes a y b utilizadas en su ecuación definitoria. Finalmente, el subgrupo cíclico está definido por su generador (también conocido como punto base ) G . Para la aplicación criptográfica, el orden de G , que es el número positivo más pequeño n tal que (el punto en el infinito de la curva y el elemento identidad ), normalmente es primo. Dado que n es el tamaño de un subgrupo de , se deduce del teorema de Lagrange que el número es un entero. En aplicaciones criptográficas, este número h , llamado cofactor , debe ser pequeño ( ) y, preferiblemente, . Para resumir: en el caso primo, los parámetros del dominio son ; en el caso binario, son . ${\displaystyle 2^{m}}$ ${\displaystyle nG={\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle E(\mathbb {F} _{p})}$ ${\displaystyle h={\frac {1}{n}}|E(\mathbb {F} _{p})|}$ ${\displaystyle h\leq 4}$ ${\displaystyle h=1}$ ${\displaystyle (p,a,b,G,n,h)}$ ${\displaystyle (m,f,a,b,G,n,h)}$

A menos que exista garantía de que los parámetros de dominio fueron generados por una parte confiable con respecto a su uso, los parámetros de dominio deben validarse antes de su uso.

La generación de parámetros de dominio no suele ser realizada por cada participante, ya que esto implica calcular el número de puntos de una curva , lo que requiere mucho tiempo y es complicado de implementar. Como resultado, varios organismos de normalización publicaron parámetros de dominio de curvas elípticas para varios tamaños de campo comunes. Dichos parámetros de dominio se conocen comúnmente como "curvas estándar" o "curvas con nombre"; se puede hacer referencia a una curva con nombre ya sea por su nombre o por el identificador de objeto único definido en los documentos estándar:

• NIST , curvas elípticas recomendadas para uso gubernamental
• SECG , SEC 2: Parámetros recomendados para el dominio de curva elíptica
• ECC Brainpool ( RFC  5639), curvas estándar y generación de curvas de ECC Brainpool ^{[15] [16]}

También se encuentran disponibles vectores de prueba SECG. ^[17] El NIST ha aprobado muchas curvas SECG, por lo que existe una superposición significativa entre las especificaciones publicadas por el NIST y SECG. Los parámetros del dominio EC se pueden especificar por valor o por nombre.

Si, a pesar de la advertencia anterior, uno decide construir sus propios parámetros de dominio, debe seleccionar el campo subyacente y luego usar una de las siguientes estrategias para encontrar una curva con un número apropiado (es decir, cercano al primo) de puntos usando uno de los siguientes métodos:

• Seleccione una curva aleatoria y utilice un algoritmo general de conteo de puntos, por ejemplo, el algoritmo de Schoof o el algoritmo de Schoof-Elkies-Atkin .
• Seleccione una curva aleatoria de una familia que permita un cálculo fácil del número de puntos (por ejemplo, curvas de Koblitz), o
• Seleccione el número de puntos y genere una curva con este número de puntos utilizando la técnica de multiplicación compleja . ^[18]

Varias clases de curvas son débiles y deben evitarse:

• Las curvas con m no primo son vulnerables a los ataques de descenso de Weil . ^{[19] [20]} ${\displaystyle \mathbb {F} _{2^{m}}}$
• Las curvas tales que n divide (donde p es la característica del campo: q para un campo primo, o para un campo binario) para un B suficientemente pequeño son vulnerables al ataque de Menezes–Okamoto–Vanstone (MOV) ^{[21] [22]} que aplica el problema del logaritmo discreto usual (DLP) en un campo de extensión de grado pequeño de para resolver ECDLP. El límite B debe elegirse de modo que los logaritmos discretos en el campo sean al menos tan difíciles de calcular como los logaritmos discretos en la curva elíptica . ^[23] ${\displaystyle p^{B}-1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{B}}}$ ${\displaystyle E(\mathbb {F} _{q})}$
• Curvas que son vulnerables al ataque que asigna los puntos de la curva al grupo aditivo de . ^{[24] [25] [26]} ${\displaystyle |E(\mathbb {F} _{q})|=q}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

Tamaños de claves

Debido a que todos los algoritmos más rápidos conocidos que permiten resolver el ECDLP ( baby-step giant-step , rho de Pollard , etc.) necesitan pasos, se deduce que el tamaño del campo subyacente debe ser aproximadamente el doble del parámetro de seguridad. Por ejemplo, para una seguridad de 128 bits se necesita una curva sobre , donde . Esto se puede contrastar con la criptografía de campo finito (por ejemplo, DSA ) que requiere ^[27] claves públicas de 3072 bits y claves privadas de 256 bits, y la criptografía de factorización de enteros (por ejemplo, RSA ) que requiere un valor de 3072 bits de n , donde la clave privada debe ser igual de grande. Sin embargo, la clave pública puede ser más pequeña para permitir un cifrado eficiente, especialmente cuando la potencia de procesamiento es limitada (por ejemplo, en África). ${\displaystyle O({\sqrt {n}})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle q\approx 2^{256}}$

El esquema ECC más difícil de descifrar (públicamente) hasta la fecha ^{[¿ cuándo? ]} tenía una clave de 112 bits para el caso del campo principal y una clave de 109 bits para el caso del campo binario. Para el caso del campo principal, esto se descifró en julio de 2009 utilizando un clúster de más de 200 consolas de juegos PlayStation 3 y podría haberse terminado en 3,5 meses utilizando este clúster en funcionamiento continuo. ^[28] El caso del campo binario se descifró en abril de 2004 utilizando 2600 computadoras durante 17 meses. ^[29]

Un proyecto actual tiene como objetivo superar el desafío ECC2K-130 de Certicom, mediante el uso de una amplia gama de hardware diferente: CPU, GPU, FPGA. ^[30]

Coordenadas proyectivas

Un examen minucioso de las reglas de adición muestra que para sumar dos puntos, no solo se necesitan varias adiciones y multiplicaciones en sino también una operación de inversión . La inversión (para un hallazgo dado tal que ) es uno a dos órdenes de magnitud más lenta ^[31] que la multiplicación. Sin embargo, los puntos en una curva se pueden representar en diferentes sistemas de coordenadas que no requieren una operación de inversión para sumar dos puntos. Se propusieron varios de estos sistemas: en el sistema proyectivo cada punto se representa con tres coordenadas utilizando la siguiente relación: , ; en el sistema jacobiano un punto también se representa con tres coordenadas , pero se utiliza una relación diferente: , ; en el sistema López-Dahab la relación es , ; en el sistema jacobiano modificado se utilizan las mismas relaciones pero se almacenan y utilizan cuatro coordenadas para los cálculos ; y en el sistema jacobiano de Chudnovsky se utilizan cinco coordenadas . Tenga en cuenta que puede haber diferentes convenciones de nomenclatura; por ejemplo, el estándar IEEE P1363-2000 utiliza "coordenadas proyectivas" para referirse a lo que comúnmente se denomina coordenadas jacobianas. Es posible obtener una aceleración adicional si se utilizan coordenadas mixtas. ^[32] ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle y\in \mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle xy=1}$ ${\displaystyle (X,Y,Z)}$ ${\displaystyle x={\frac {X}{Z}}}$ ${\displaystyle y={\frac {Y}{Z}}}$ ${\displaystyle (X,Y,Z)}$ ${\displaystyle x={\frac {X}{Z^{2}}}}$ ${\displaystyle y={\frac {Y}{Z^{3}}}}$ ${\displaystyle x={\frac {X}{Z}}}$ ${\displaystyle y={\frac {Y}{Z^{2}}}}$ ${\displaystyle (X,Y,Z,aZ^{4})}$ ${\displaystyle (X,Y,Z,Z^{2},Z^{3})}$

Reducción rápida (curvas NIST)

La reducción módulo p (que se necesita para la suma y la multiplicación) se puede ejecutar mucho más rápido si el primo p es un pseudoprimo de Mersenne , es decir , por ejemplo, o En comparación con la reducción de Barrett , puede haber una aceleración de un orden de magnitud. ^[33] La aceleración aquí es práctica más que teórica, y se deriva del hecho de que los módulos de números contra números cercanos a potencias de dos se pueden realizar de manera eficiente por computadoras que operan en números binarios con operaciones bit a bit . ${\displaystyle p\approx 2^{d}}$ ${\displaystyle p=2^{521}-1}$ ${\displaystyle p=2^{256}-2^{32}-2^{9}-2^{8}-2^{7}-2^{6}-2^{4}-1.}$

El NIST recomienda las curvas con pseudo-Mersenne p . Otra ventaja de las curvas del NIST es que utilizan a  = −3, lo que mejora la suma en coordenadas jacobianas. ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Según Bernstein y Lange, muchas de las decisiones relacionadas con la eficiencia en la norma NIST FIPS 186-2 no son óptimas. Otras curvas son más seguras y funcionan con la misma velocidad. ^[34]

Seguridad

Ataques de canal lateral

A diferencia de la mayoría de los otros sistemas DLP (donde es posible utilizar el mismo procedimiento para elevar al cuadrado y multiplicar), la adición EC es significativamente diferente para la duplicación ( P = Q ) y la adición general ( P ≠ Q ) dependiendo del sistema de coordenadas utilizado. En consecuencia, es importante contrarrestar los ataques de canal lateral (por ejemplo, ataques de análisis de potencia diferencial/simple o de sincronización ) utilizando, por ejemplo, métodos de ventana de patrón fijo (también conocidos como peine) ^{[ aclaración necesaria ] [35]} (tenga en cuenta que esto no aumenta el tiempo de cálculo). Alternativamente, se puede utilizar una curva de Edwards ; esta es una familia especial de curvas elípticas para las que la duplicación y la adición se pueden realizar con la misma operación. ^[36] Otra preocupación para los sistemas ECC es el peligro de ataques de fallas , especialmente cuando se ejecutan en tarjetas inteligentes . ^[37]

Puertas traseras

Los expertos en criptografía han expresado su preocupación por el hecho de que la Agencia de Seguridad Nacional haya insertado una puerta trasera cleptográfica en al menos un generador pseudoaleatorio basado en curvas elípticas. ^[38] Memos internos filtrados por el ex contratista de la NSA Edward Snowden sugieren que la NSA puso una puerta trasera en el estándar Dual EC DRBG . ^[39] Un análisis de la posible puerta trasera concluyó que un adversario en posesión de la clave secreta del algoritmo podría obtener claves de cifrado si solo tuviera 32 bytes de salida PRNG. ^[40]

El proyecto SafeCurves se lanzó con el objetivo de catalogar curvas que sean fáciles de implementar de forma segura y que estén diseñadas de una manera totalmente verificable públicamente para minimizar la posibilidad de una puerta trasera. ^[41]

Ataque a la computación cuántica

El algoritmo de Shor puede utilizarse para romper la criptografía de curva elíptica calculando logaritmos discretos en una computadora cuántica hipotética . Las últimas estimaciones de recursos cuánticos para romper una curva con un módulo de 256 bits (nivel de seguridad de 128 bits) son 2330 qubits y 126 mil millones de puertas Toffoli . ^[42] Para el caso de la curva elíptica binaria, son necesarios 906 qubits (para romper 128 bits de seguridad). ^[43] En comparación, usar el algoritmo de Shor para romper el algoritmo RSA requiere 4098 qubits y 5,2 billones de puertas Toffoli para una clave RSA de 2048 bits, lo que sugiere que ECC es un objetivo más fácil para las computadoras cuánticas que RSA. Todas estas cifras superan ampliamente cualquier computadora cuántica que se haya construido jamás, y las estimaciones sitúan la creación de tales computadoras a una década o más de distancia. ^{[ cita requerida ] [44]}

El intercambio de claves Diffie-Hellman de isogenia supersingular pretendía proporcionar una forma segura poscuántica de criptografía de curva elíptica mediante el uso de isogenias para implementar intercambios de claves Diffie-Hellman . Este intercambio de claves utiliza gran parte de la misma aritmética de campo que la criptografía de curva elíptica existente y requiere una sobrecarga computacional y de transmisión similar a la de muchos sistemas de clave pública utilizados actualmente. ^[45] Sin embargo, nuevos ataques clásicos socavaron la seguridad de este protocolo. ^[46]

En agosto de 2015, la NSA anunció que planeaba realizar la transición "en un futuro no muy lejano" a un nuevo conjunto de cifrados resistente a los ataques cuánticos . "Desafortunadamente, el crecimiento del uso de curvas elípticas se ha topado con el hecho de que continúa el progreso en la investigación sobre computación cuántica, lo que hace necesaria una reevaluación de nuestra estrategia criptográfica". ^[11]

Ataque de curva no válido

Cuando se utiliza ECC en máquinas virtuales , un atacante puede usar una curva no válida para obtener una clave privada PDH completa. ^[47]

Representaciones alternativas

Las representaciones alternativas de curvas elípticas incluyen:

• Curvas de Hesse
• Curvas de Edwards
• Curvas retorcidas
• Curvas de Hesse retorcidas
• Curva de Edwards torcida
• Curva de Doche-Icart-Kohel orientada a la duplicación
• Curva de Doche-Icart-Kohel orientada al triplicado
• Curva jacobiana
• Curvas de Montgomery

Véase también

• Criptomoneda
• Curva25519
• CuatroQ
• Curva DNS
• RSA (criptosistema)
• Patentes ECC
• Curva elíptica Diffie-Hellman (ECDH)
• Algoritmo de firma digital de curva elíptica (ECDSA)
• Educación DSA
• ECMQV
• Multiplicación de puntos de curva elíptica
• Firmas homomórficas para codificación de redes
• Criptografía de curva hiperelíptica
• Criptografía basada en emparejamiento
• Criptografía de clave pública
• Criptografía cuántica
• Intercambio de claves de isogenia supersingular
• Firma digital del BLS

Notas

1. "El caso de la criptografía de curva elíptica". NSA . Archivado desde el original el 17 de enero de 2009.
2. Koblitz, N. (1987). "Criptosistemas de curva elíptica". Matemáticas de la computación . 48 (177): 203–209. doi : 10.2307/2007884 . JSTOR  2007884.
3. Miller, V. (1986). "Uso de curvas elípticas en criptografía". Avances en criptología — Actas de CRYPTO '85 . Apuntes de clase en informática. Vol. 85. págs. 417–426. doi :10.1007/3-540-39799-X_31. ISBN 978-3-540-16463-0. Número de identificación del sujeto  206617984.
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5. FIPS PUB 186-3, Estándar de firma digital (DSS).
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7. Perlroth, Nicole; Larson, Jeff; Shane, Scott (5 de septiembre de 2013). «NSA capaz de frustrar las salvaguardas básicas de la privacidad en la Web». New York Times . Archivado desde el original el 1 de enero de 2022. Consultado el 28 de octubre de 2018 .
8. Kim Zetter, RSA les dice a sus clientes desarrolladores: dejen de usar el algoritmo vinculado a la NSA Wired , 19 de septiembre de 2013. "Recomendación contra el uso de la generación aleatoria de bits determinista de curva elíptica dual SP 800-90A: NIST recomienda enfáticamente que, a la espera de la resolución de los problemas de seguridad y la reemisión de SP 800-90A, ya no se utilice el Dual_EC_DRBG, tal como se especifica en la versión de enero de 2012 de SP 800-90A".
9. "Búsqueda – CSRC". csrc.nist.gov .
10. Bruce Schneier (5 de septiembre) "Ya no confío en las constantes. Creo que la NSA las ha manipulado a través de sus relaciones con la industria". Véase ¿Las curvas elípticas estándar del NIST están ocultas?, Slashdot , 11 de septiembre de 2013.
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Referencias

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• Jacques Vélu, Courbes elliptiques (...), Société Mathématique de France, 57, 1-152, París, 1978.

Enlaces externos

• Curvas elípticas en la Universidad de Stanford
• Introducción interactiva a las curvas elípticas y a la criptografía de curvas elípticas con Sage por Maike Massierer y el equipo de CrypTool
• Medios relacionados con Curva elíptica en Wikimedia Commons