Función lineal

Mapa lineal o función polinómica de grado uno

En matemáticas , el término función lineal se refiere a dos nociones distintas pero relacionadas: ^[1]

• En cálculo y áreas relacionadas, una función lineal es una función cuyo gráfico es una línea recta , es decir, una función polinómica de grado cero o uno. ^[2] Para distinguir dicha función lineal del otro concepto, a menudo se utiliza el término función afín . ^[3]
• En álgebra lineal , análisis matemático [ ^4] y análisis funcional , una función lineal es un mapa lineal . ^[5]

Como función polinómica

Gráficas de dos funciones lineales.

En cálculo, geometría analítica y áreas relacionadas, una función lineal es un polinomio de grado uno o menos, incluido el polinomio cero (este último no se considera de grado cero).

Cuando la función es de una sola variable , es de la forma

${\displaystyle f(x)=ax+b,}$

donde a y b son constantes , a menudo números reales . El gráfico de una función de una variable de este tipo es una línea no vertical. A menudo se hace referencia a la pendiente de la línea y a la intersección con el eje b .

Si a > 0 entonces el gradiente es positivo y el gráfico tiene pendiente ascendente.

Si a < 0 entonces el gradiente es negativo y el gráfico tiene pendiente descendente.

Para una función de cualquier número finito de variables, la fórmula general es ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})}$

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})=b+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{k}x_{k},}$

y el gráfico es un hiperplano de dimensión k .

Una función constante también se considera lineal en este contexto, ya que es un polinomio de grado cero o es el polinomio cero. Su gráfica, cuando solo hay una variable, es una línea horizontal.

En este contexto, una función que también es una función lineal (el otro significado) puede denominarse función lineal homogénea o forma lineal . En el contexto del álgebra lineal, las funciones polinómicas de grado 0 o 1 son las funciones afines de valor escalar .

Como un mapa lineal

La integral de una función es una aplicación lineal del espacio vectorial de funciones integrables a los números reales.

En álgebra lineal, una función lineal es una función f entre dos espacios vectoriales tales que

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )}$

${\displaystyle f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} ).}$

Aquí a denota una constante que pertenece a algún campo K de escalares (por ejemplo, los números reales ) y x e y son elementos de un espacio vectorial , que podría ser K mismo.

En otros términos, la función lineal preserva la suma vectorial y la multiplicación escalar .

Algunos autores utilizan "función lineal" sólo para mapas lineales que toman valores en el campo escalar; ^[6] éstas se denominan más comúnmente formas lineales .

Las "funciones lineales" del cálculo se califican como "aplicaciones lineales" cuando (y sólo cuando) f (0, ..., 0) = 0 o, equivalentemente, cuando la constante b es igual a cero en el polinomio de un grado anterior. Geométricamente, la gráfica de la función debe pasar por el origen.

Véase también

• Función homogénea
• Sistema no lineal
• Función lineal por partes
• Aproximación lineal
• Interpolación lineal
• Mapa lineal discontinuo
• Mínimos cuadrados lineales

Notas

1. "El término función lineal significa una forma lineal en algunos libros de texto y una función afín en otros". Vaserstein 2006, p. 50-1
2. Stewart 2012, pág. 23
3. A. Kurosh (1975). Álgebra superior . Editorial Mir. pag. 214.
4. TM Apostol (1981). Análisis matemático . Addison-Wesley. pág. 345.
5. Shores 2007, pág. 71
6. Gelfand 1961

Referencias

• Izrail Moiseevich Gelfand (1961), Lectures on Linear Algebra , Interscience Publishers, Inc., Nueva York. Reimpreso por Dover, 1989. ISBN 0-486-66082-6 
• Thomas S. Shores (2007), Álgebra lineal aplicada y análisis matricial , Textos de pregrado en matemáticas , Springer. ISBN 0-387-33195-6 
• James Stewart (2012), Cálculo: principios trascendentales , edición 7E, Brooks/Cole. ISBN 978-0-538-49790-9 
• Leonid N. Vaserstein (2006), "Programación lineal", en Leslie Hogben , ed., Handbook of Linear Algebra , Discrete Mathematics and Its Applications, Chapman and Hall/CRC, cap. 50. ISBN 1-584-88510-6