Espacio cotangente

Espacio dual al espacio tangente en geometría diferencial

En geometría diferencial , el espacio cotangente es un espacio vectorial asociado a un punto de una variedad suave (o diferenciable) ; se puede definir un espacio cotangente para cada punto de una variedad suave. Normalmente, el espacio cotangente se define como el espacio dual del espacio tangente en , , aunque existen definiciones más directas (véase más abajo). Los elementos del espacio cotangente se denominan vectores cotangentes o covectores tangentes . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$

Propiedades

Todos los espacios cotangentes en puntos de una variedad conexa tienen la misma dimensión , igual a la dimensión de la variedad. Todos los espacios cotangentes de una variedad pueden "pegarse" (es decir, unirse y dotarse de una topología) para formar una nueva variedad diferenciable de dos veces la dimensión, el fibrado cotangente de la variedad.

El espacio tangente y el espacio cotangente en un punto son ambos espacios vectoriales reales de la misma dimensión y por tanto isomorfos entre sí a través de numerosos isomorfismos posibles. La introducción de una métrica riemanniana o de una forma simpléctica da lugar a un isomorfismo natural entre el espacio tangente y el espacio cotangente en un punto, asociando a cualquier covector tangente un vector tangente canónico.

Definiciones formales

Definición como funcionales lineales

Sea una variedad suave y sea un punto en . Sea el espacio tangente en . Entonces el espacio cotangente en x se define como el espacio dual de : ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$

${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=(T_{x}{\mathcal {M}})^{*}}$

Concretamente, los elementos del espacio cotangente son funcionales lineales en . Es decir, cada elemento es una función lineal ${\displaystyle T_{x}{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle \alpha \in T_{x}^{*}{\mathcal {M}}}$

${\displaystyle \alpha :T_{x}{\mathcal {M}}\to F}$

donde es el cuerpo subyacente del espacio vectorial que se está considerando, por ejemplo, el cuerpo de los números reales . Los elementos de se denominan vectores cotangentes. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}}$

Definición alternativa

En algunos casos, se podría desear tener una definición directa del espacio cotangente sin referencia al espacio tangente. Tal definición se puede formular en términos de clases de equivalencia de funciones suaves en . De manera informal, diremos que dos funciones suaves f y g son equivalentes en un punto si tienen el mismo comportamiento de primer orden cerca de , análogo a sus polinomios de Taylor lineales; dos funciones f y g tienen el mismo comportamiento de primer orden cerca de si y solo si la derivada de la función f − g se anula en . El espacio cotangente entonces consistirá en todos los posibles comportamientos de primer orden de una función cerca de . ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

Sea una variedad suave y sea x un punto en . Sea el ideal de todas las funciones que se anulan en , y sea el conjunto de funciones de la forma , donde . Entonces y son espacios vectoriales reales y el espacio cotangente se puede definir como el espacio cociente mostrando que los dos espacios son isomorfos entre sí. ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle C^{\infty }\!({\mathcal {M}})}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle I_{x}^{2}}$ ${\textstyle \sum _{i}f_{i}g_{i}}$ ${\displaystyle f_{i},g_{i}\in I_{x}}$ ${\displaystyle I_{x}}$ ${\displaystyle I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}=I_{x}/I_{x}^{2}}$

Esta formulación es análoga a la construcción del espacio cotangente para definir el espacio tangente de Zariski en geometría algebraica. La construcción también se generaliza a espacios con anillos locales .

La diferencial de una función

Sea una variedad suave y sea una función suave . La diferencial de en un punto es la función ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f\in C^{\infty }(M)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}(X_{x})=X_{x}(f)}$

donde es un vector tangente en , considerado como una derivación. Es decir , es la derivada de Lie de en la dirección , y se tiene . De manera equivalente, podemos pensar en los vectores tangentes como tangentes a curvas y escribir ${\displaystyle X_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X(f)={\mathcal {L}}_{X}f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f(X)=X(f)}$

${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}(\gamma '(0))=(f\circ \gamma )'(0)}$

En cualquier caso, es un mapa lineal en y por lo tanto es un covector tangente en . ${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle x}$

Podemos entonces definir el mapa diferencial en un punto como el mapa que envía a . Las propiedades del mapa diferencial incluyen: ${\displaystyle \mathrm {d} :C^{\infty }(M)\to T_{x}^{*}(M)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f_{x}}$

1. ${\displaystyle \mathrm {d} }$es un mapa lineal: para constantes y , ${\displaystyle \mathrm {d} (af+bg)=a\mathrm {d} f+b\mathrm {d} g}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$
2. ${\displaystyle \mathrm {d} (fg)_{x}=f(x)\mathrm {d} g_{x}+g(x)\mathrm {d} f_{x}}$

La función diferencial proporciona el vínculo entre las dos definiciones alternativas del espacio cotangente dadas anteriormente. Puesto que para todas las funciones que existen son tales que , tenemos, es decir, todas las funciones en tienen diferencial cero, se deduce que para cada dos funciones , , tenemos . Ahora podemos construir un isomorfismo entre y enviando funciones lineales a las clases laterales correspondientes . Puesto que existe una función lineal única para un núcleo y pendiente dados, esto es un isomorfismo, que establece la equivalencia de las dos definiciones. ${\displaystyle f\in I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle g_{i},h_{i}\in I_{x}}$ ${\textstyle f=\sum _{i}g_{i}h_{i}}$ ${\textstyle \mathrm {d} f_{x}}$ ${\textstyle =\sum _{i}\mathrm {d} (g_{i}h_{i})_{x}=}$ ${\textstyle \sum _{i}(g_{i}(x)\mathrm {d} (h_{i})_{x}+\mathrm {d} (g_{i})_{x}h_{i}(x))=}$ ${\textstyle \sum _{i}(0\mathrm {d} (h_{i})_{x}+\mathrm {d} (g_{i})_{x}0)=0}$ ${\displaystyle I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle f\in I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle g\in I_{x}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} (f+g)=\mathrm {d} (g)}$ ${\displaystyle T_{x}^{*}\!{\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle I_{x}/I_{x}^{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha +I_{x}^{2}}$

El retroceso de un mapa suave

Así como cada mapa diferenciable entre variedades induce un mapa lineal (llamado empuje hacia adelante o derivada ) entre los espacios tangentes ${\displaystyle f:M\to N}$

${\displaystyle f_{*}^{}\colon T_{x}M\to T_{f(x)}N}$

Cada uno de estos mapas induce un mapa lineal (llamado pullback ) entre los espacios cotangentes, solo que esta vez en la dirección inversa:

${\displaystyle f^{*}\colon T_{f(x)}^{*}N\to T_{x}^{*}M.}$

El pullback se define naturalmente como el dual (o transposición) del pushforward . Si desentrañamos la definición, esto significa lo siguiente:

${\displaystyle (f^{*}\theta )(X_{x})=\theta (f_{*}^{}X_{x}),}$

Dónde y . Observa con atención dónde se ubica cada cosa. ${\displaystyle \theta \in T_{f(x)}^{*}N}$ ${\displaystyle X_{x}\in T_{x}M}$

Si definimos los covectores tangentes en términos de clases de equivalencia de funciones suaves que se desvanecen en un punto, entonces la definición del pullback es aún más sencilla. Sea una función suave que se desvanece en . Entonces el pullback del covector determinado por (denotado ) está dado por ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \mathrm {d} g}$

${\displaystyle f^{*}\mathrm {d} g=\mathrm {d} (g\circ f).}$

Es decir, es la clase de equivalencia de funciones al anularse en determinada por . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g\circ f}$

Poderes exteriores

La -ésima potencia exterior del espacio cotangente, denotada , es otro objeto importante en geometría diferencial y algebraica. Los vectores en la -ésima potencia exterior, o más precisamente, las secciones de la -ésima potencia exterior del fibrado cotangente , se denominan -formas diferenciales . Se pueden considerar como aplicaciones alternadas y multilineales en vectores tangentes. Por esta razón, los covectores tangentes se denominan frecuentemente uniformas . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}(T_{x}^{*}{\mathcal {M}})}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

Referencias

• Abraham, Ralph H. ; Marsden, Jerrold E. (1978), Fundamentos de mecánica , Londres: Benjamin-Cummings, ISBN 978-0-8053-0102-1
• Jost, Jürgen (2005), Geometría riemanniana y análisis geométrico (4.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7
• Lee, John M. (2003), Introducción a las variedades suaves , Springer Graduate Texts in Mathematics, vol. 218, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95448-6
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip ; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitación , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0