Aceleración adecuada

Aceleración física que experimenta un objeto

Mapa y vistas de viajero de una aceleración propia de 1 g desde el reposo durante un año.

Viajero espacio-tiempo para un viaje de ida y vuelta con aceleración constante.

En la teoría de la relatividad , la aceleración propia ^[1] es la aceleración física (es decir, la aceleración medible por medio de un acelerómetro ) que experimenta un objeto. Por lo tanto, es la aceleración relativa a un observador en caída libre o inercial que está momentáneamente en reposo con respecto al objeto que se está midiendo. Por lo tanto, la gravitación no causa una aceleración propia, porque la misma gravedad actúa por igual sobre el observador inercial. En consecuencia, todos los observadores inerciales siempre tienen una aceleración propia de cero.

La aceleración propia contrasta con la aceleración de coordenadas , que depende de la elección de los sistemas de coordenadas y, por lo tanto, de la elección de los observadores (véase tres aceleraciones en relatividad especial ).

En las coordenadas inerciales estándar de la relatividad especial, para el movimiento unidireccional, la aceleración propia es la tasa de cambio de la velocidad propia con respecto a la coordenada tiempo .

En un marco inercial en el que el objeto está momentáneamente en reposo, el vector de aceleración propia 3, combinado con un componente de tiempo cero, produce la aceleración propia 4 del objeto , lo que hace que la magnitud de la aceleración propia sea invariante respecto de Lorentz . Por lo tanto, el concepto es útil: (i) con sistemas de coordenadas acelerados , (ii) a velocidades relativistas y (iii) en el espacio-tiempo curvo .

En un cohete que acelera después del lanzamiento, o incluso en un cohete que se encuentra en la plataforma de lanzamiento, la aceleración adecuada es la aceleración que sienten los ocupantes, y que se describe como fuerza g (que no es una fuerza sino una aceleración; consulte ese artículo para obtener más información) entregada solo por el vehículo. ^[2] La "aceleración de la gravedad" (involucrada en la "fuerza de la gravedad") nunca contribuye a la aceleración adecuada en ninguna circunstancia y, por lo tanto, la aceleración adecuada que sienten los observadores que se encuentran en el suelo se debe a la fuerza mecánica del suelo , no a la "fuerza" o "aceleración" de la gravedad. Si se retira el suelo y se permite que el observador caiga libremente, el observador experimentará una aceleración de coordenadas, pero no una aceleración adecuada y, por lo tanto, no habrá fuerza g. Generalmente, los objetos en un estado de movimiento inercial, también llamado caída libre o trayectoria balística (incluidos los objetos en órbita) no experimentan una aceleración adecuada (despreciando las pequeñas aceleraciones de marea para las trayectorias inerciales en los campos gravitacionales). Este estado también se conoce como “ gravedad cero ” (“zero-g”) o “caída libre”, y produce una sensación de ingravidez .

La aceleración propia se reduce a aceleración de coordenadas en un sistema de coordenadas inercial en un espacio-tiempo plano (es decir, en ausencia de gravedad), siempre que la magnitud de la velocidad propia del objeto ^[3] (momento por unidad de masa) sea mucho menor que la velocidad de la luz c . Solo en tales situaciones la aceleración de coordenadas se siente completamente como una fuerza g (es decir, una aceleración propia, también definida como una que produce un peso medible).

En situaciones en las que no hay gravitación pero el sistema de coordenadas elegido no es inercial, sino que se acelera con el observador (como el marco de referencia acelerado de un cohete en aceleración o un marco fijo sobre objetos en una centrífuga), las fuerzas g y las aceleraciones propias correspondientes que sienten los observadores en estos sistemas de coordenadas son causadas por las fuerzas mecánicas que resisten su peso en tales sistemas. Este peso, a su vez, es producido por fuerzas ficticias o "fuerzas inerciales" que aparecen en todos esos sistemas de coordenadas aceleradas, de una manera similar al peso producido por la "fuerza de gravedad" en sistemas donde los objetos están fijos en el espacio con respecto al cuerpo gravitante (como en la superficie de la Tierra).

La fuerza (mecánica) total que se calcula para inducir la aceleración adecuada sobre una masa en reposo en un sistema de coordenadas que tiene una aceleración adecuada, a través de la ley de Newton F = m a , se denomina fuerza propia . Como se vio anteriormente, la fuerza propia es igual a la fuerza de reacción opuesta que se mide como el "peso operacional" de un objeto (es decir, su peso medido por un dispositivo como una báscula de resorte, en el vacío, en el sistema de coordenadas del objeto). Por lo tanto, la fuerza propia sobre un objeto es siempre igual y opuesta a su peso medido.

Ejemplos

Cuando un observador se sostiene sobre un carrusel que gira a una velocidad angular constante, experimenta una aceleración propia radialmente hacia adentro ( centrípeta ) debido a la interacción entre el asidero y la mano del observador. Esto cancela la aceleración geométrica radialmente hacia afuera asociada con su sistema de coordenadas giratorio . Esta aceleración hacia afuera (desde la perspectiva del sistema giratorio) se convertirá en la aceleración de coordenadas cuando se suelte, lo que hará que salga volando por una trayectoria de aceleración propia cero ( geodésica ). Los observadores no acelerados, por supuesto, en su sistema simplemente ven que sus aceleraciones propias y de coordenadas iguales desaparecen cuando se sueltan.

De manera similar, si se encuentran en un planeta que no gira (y en la Tierra para efectos prácticos), los observadores experimentan una aceleración propia hacia arriba debido a la fuerza normal ejercida por la Tierra sobre la suela de sus zapatos. Esto cancela la aceleración geométrica hacia abajo debido a la elección del sistema de coordenadas (un llamado marco de conchas ^[4] ). Esa aceleración hacia abajo se convierte en coordenada si inadvertidamente saltan de un acantilado hacia una trayectoria de aceleración propia cero (geodésica o marco de lluvia).

Las aceleraciones geométricas (debidas al término de conexión en la derivada covariante del sistema de coordenadas que se muestra a continuación) actúan sobre cada gramo de nuestro ser , mientras que las aceleraciones propias suelen estar causadas por una fuerza externa. Los cursos introductorios de física suelen tratar la aceleración descendente (geométrica) de la gravedad como si se debiera a una fuerza proporcional a la masa . Esto, junto con la diligente evitación de los marcos no acelerados, les permite tratar la aceleración propia y la coordinada como la misma cosa.

Incluso si un objeto mantiene una aceleración propia constante desde el reposo durante un período prolongado en el espacio-tiempo plano, los observadores en el marco de reposo verán que la aceleración de coordenadas del objeto disminuye a medida que su velocidad de coordenadas se acerca a la velocidad de la luz. Sin embargo, la tasa a la que aumenta la velocidad propia del objeto permanece constante.

Así, la distinción entre aceleración propia y aceleración coordinada ^[5] permite seguir la experiencia de los viajeros acelerados desde diversas perspectivas no newtonianas, entre ellas las de los sistemas de coordenadas acelerados (como un carrusel), las de las altas velocidades (donde los tiempos propios y coordinados difieren) y las del espacio-tiempo curvo (como el asociado con la gravedad en la Tierra).

Aplicaciones clásicas

A bajas velocidades en los sistemas de coordenadas inerciales de la física newtoniana , la aceleración propia simplemente es igual a la aceleración de coordenadas a  = d ² x /d t ² . Sin embargo, como se revisó anteriormente, difiere de la aceleración de coordenadas si uno elige (en contra del consejo de Newton) describir el mundo desde la perspectiva de un sistema de coordenadas acelerado como un vehículo de motor que acelera desde el reposo o una piedra que gira en una honda. Si uno elige reconocer que la gravedad es causada por la curvatura del espacio-tiempo (ver más abajo), la aceleración propia difiere de la aceleración de coordenadas en un campo gravitacional .

Por ejemplo, un objeto sometido a una aceleración física o propia a _o será visto por los observadores en un sistema de coordenadas sometido a una aceleración constante en el _marco a como si tuviera aceleración en las coordenadas: Por lo tanto, si el objeto se acelera con el marco, los observadores fijos en el marco no verán ninguna aceleración. $${\displaystyle {\vec {a}}_{\text{acc}}={\vec {a}}_{\text{o}}-{\vec {a}}_{\text{frame}}.}$$

De manera similar, un objeto que experimenta una aceleración física o propia a _o será visto por los observadores en un marco que gira con velocidad angular ω como si tuviera aceleración de coordenadas: En la ecuación anterior, hay tres términos de aceleración geométrica en el lado derecho. El primer término de "aceleración centrífuga" depende solo de la posición radial r y no de la velocidad de nuestro objeto, el segundo término de "aceleración de Coriolis" depende solo de la velocidad del objeto en el marco giratorio v _rot pero no de su posición, y el tercer término de "aceleración de Euler" depende solo de la posición y la tasa de cambio de la velocidad angular del marco. $${\displaystyle {\vec {a}}_{\text{rot}}={\vec {a}}_{\text{o}}-{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{\text{rot}}-{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}.}$$

En cada uno de estos casos, la aceleración física o propia difiere de la aceleración de coordenadas porque esta última puede verse afectada por la elección del sistema de coordenadas, así como por las fuerzas físicas que actúan sobre el objeto. Los componentes de la aceleración de coordenadas que no son causados ​​por fuerzas físicas (como el contacto directo o la atracción electrostática) suelen atribuirse (como en el ejemplo newtoniano anterior) a fuerzas que: (i) actúan sobre cada gramo del objeto, (ii) causan aceleraciones independientes de la masa y (iii) no existen desde todos los puntos de vista. Estas fuerzas geométricas (o impropias) incluyen las fuerzas de Coriolis , las fuerzas de Euler , las fuerzas g , las fuerzas centrífugas y (como vemos a continuación) también las fuerzas de gravedad .

Visto desde una porción plana del espacio-tiempo

Dinámica de marco propio en el espacio-tiempo (1+1)D.

Las relaciones de la aceleración propia con la aceleración de coordenadas en una porción específica del espacio-tiempo plano se derivan ^[6] de la ecuación métrica del espacio plano de Minkowski ( c d τ ) ² = ( c d t ) ² − (d x ) ² . Aquí un único marco de referencia de reglas y relojes sincronizados definen la posición del mapa x y el tiempo del mapa t respectivamente, los relojes del objeto en movimiento definen el tiempo propio τ y la "d" que precede a una coordenada significa un cambio infinitesimal. Estas relaciones permiten abordar varios problemas de "ingeniería a cualquier velocidad", aunque sólo desde el punto de vista de un observador cuyo marco de mapa extendido define la simultaneidad.

Aceleración en (1+1)D

Este gráfico muestra cómo una nave espacial capaz de alcanzar una aceleración de 1 gee (10 m/s2 ^o aproximadamente 1,0 año luz por año al cuadrado) durante 100 años podría impulsar un viaje a casi cualquier lugar del universo visible y de regreso en el transcurso de una vida.

En el caso unidireccional, es decir, cuando la aceleración del objeto es paralela o antiparalela a su velocidad en la porción de espacio-tiempo del observador, la aceleración propia α y la aceleración de coordenadas a están relacionadas ^[7] a través del factor de Lorentz γ por α = γ ³ a . Por lo tanto, el cambio en la velocidad propia w=dx/dτ es la integral de la aceleración propia sobre el tiempo del mapa t , es decir, Δ w = α Δ t para α constante . A bajas velocidades, esto se reduce a la relación bien conocida entre la velocidad de coordenadas y la aceleración de coordenadas por el tiempo del mapa, es decir, Δ v = a Δ t .

Para una aceleración propia unidireccional constante, existen relaciones similares entre la rapidez η y el tiempo propio transcurrido Δ τ , así como entre el factor de Lorentz γ y la distancia recorrida Δ x . Para ser más específicos: donde los diversos parámetros de velocidad están relacionados por $${\displaystyle \alpha ={\frac {\Delta w}{\Delta t}}=c{\frac {\Delta \eta }{\Delta \tau }}=c^{2}{\frac {\Delta \gamma }{\Delta x}},}$$ $${\displaystyle \eta =\sinh ^{-1}\left({\frac {w}{c}}\right)=\tanh ^{-1}\left({\frac {v}{c}}\right)=\pm \cosh ^{-1}\left(\gamma \right).}$$

Estas ecuaciones describen algunas consecuencias de viajar acelerado a alta velocidad. Por ejemplo, imaginemos una nave espacial que puede acelerar a sus pasajeros a "1 gee" (10 m/s ² o aproximadamente 1,0 año luz por año al cuadrado) hasta la mitad del camino hacia su destino, y luego desacelerarlos a "1 gee" durante la mitad restante para proporcionar gravedad artificial similar a la terrestre desde el punto A al punto B en el menor tiempo posible. ^{[8] [9]} Para una distancia de mapa de Δ x _AB , la primera ecuación anterior predice un factor de Lorentz de punto medio (por encima de su valor de reposo unitario) de γ _mid = 1 + α (Δ x _AB /2)/c ² . Por lo tanto, el tiempo de ida y vuelta en los relojes de viajero será Δ τ = 4( c / α ) cosh ⁻¹ ( γ _mid ) , durante el cual el tiempo transcurrido en los relojes de mapa será Δ t = 4( c / α ) sinh[cosh ⁻¹ ( γ _mid )] .

Esta nave espacial imaginaria podría ofrecer viajes de ida y vuelta a Próxima Centauri que durarían unos 7,1 años-viajero (unos 12 años en los relojes de la Tierra), viajes de ida y vuelta al agujero negro central de la Vía Láctea de unos 40 años (unos 54.000 años transcurridos en los relojes de la Tierra) y viajes de ida y vuelta a la galaxia de Andrómeda de unos 57 años (más de 5 millones de años en los relojes de la Tierra). Desafortunadamente, mantener una aceleración de 1 g durante años es más fácil de decir que de hacer, como lo ilustran las relaciones de carga útil máxima a masa de lanzamiento que se muestran en la figura de la derecha.

En el espacio-tiempo curvo

En el lenguaje de la relatividad general , los componentes del cuatrivector A de aceleración de un objeto (cuya magnitud es la aceleración propia) están relacionados con elementos del cuatrivector de velocidad a través de una derivada covariante D con respecto al tiempo propio τ : $${\displaystyle A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }}$$

Aquí U es la velocidad cuatridimensional del objeto y Γ representa los 64 coeficientes de conexión del sistema de coordenadas o símbolos de Christoffel . Nótese que los subíndices griegos toman cuatro valores posibles, a saber, 0 para el eje temporal y 1–3 para los ejes de coordenadas espaciales, y que se utilizan índices repetidos para indicar la suma de todos los valores de ese índice. Las trayectorias con aceleración propia cero se denominan geodésicas .

El lado izquierdo de este conjunto de cuatro ecuaciones (una para cada uno de los valores temporales y tres espaciales del índice λ) es el 3-vector de aceleración propia del objeto combinado con un componente temporal nulo, visto desde el punto de vista de un sistema de coordenadas de referencia o de contabilidad en el que el objeto está en reposo. El primer término del lado derecho indica la tasa a la que cambian los componentes temporales (energía/ mc ) y espaciales (momento/ m ) de la cuádruple velocidad U del objeto , por unidad de tiempo τ en los relojes viajeros.

Resolvamos ese primer término a la derecha, ya que a bajas velocidades sus componentes espaciales representan la aceleración de coordenadas. En términos más generales, cuando ese primer término tiende a cero, la aceleración de coordenadas del objeto tiende a cero. Esto da como resultado $${\displaystyle {\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}=A^{\lambda }-\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }.}$$

Por lo tanto, como se ejemplifica con las dos primeras animaciones anteriores, la aceleración de coordenadas tiende a cero siempre que la aceleración propia se cancela exactamente por el término de conexión (o aceleración geométrica ) en el extremo derecho. ^[10] Precaución: Este término puede ser una suma de hasta dieciséis términos separados dependientes de la velocidad y la posición, ya que los índices repetidos μ y ν se suman por convención sobre todos los pares de sus cuatro valores permitidos.

Fuerza y ​​equivalencia

La ecuación anterior también ofrece cierta perspectiva sobre las fuerzas y el principio de equivalencia . Consideremos las coordenadas locales del contador ^[4] para la métrica (por ejemplo, una tétrada de Lorentz local ^[5] como aquella sobre la que proporcionan información los sistemas de posicionamiento global ) para describir el tiempo en segundos y el espacio en unidades de distancia a lo largo de ejes perpendiculares. Si multiplicamos la ecuación anterior por la masa en reposo del objeto en movimiento m y la dividimos por el factor de Lorentz γ  = d t /d τ , los componentes similares al espacio expresan la tasa de cambio de momento para ese objeto desde la perspectiva de las coordenadas utilizadas para describir la métrica.

Esto, a su vez, se puede descomponer en partes debido a los componentes geométricos y propios de la aceleración y la fuerza. Si multiplicamos además el componente temporal por la velocidad de la luz c y definimos la velocidad de coordenadas como v = d x /d t , obtenemos también una expresión para la tasa de cambio de energía:

${\displaystyle {\frac {dE}{dt}}={\vec {v}}\cdot {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}}$(temporal) y (espacial). ${\displaystyle {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum {\vec {f_{o}}}+\sum {\vec {f_{g}}}=m({\vec {a_{o}}}+{\vec {a_{g}}})}$

Aquí, a _o es una aceleración debida a fuerzas propias y a _g es, por defecto, una aceleración geométrica que vemos aplicada al objeto debido a nuestra elección del sistema de coordenadas. A bajas velocidades, estas aceleraciones se combinan para generar una aceleración de coordenadas como a = d ² x /d t ² , mientras que para el movimiento unidireccional a cualquier velocidad, la magnitud de _{a o} es la de la aceleración propia α como en la sección anterior donde α  = γ ³ a cuando a _g es cero. En general, expresar estas aceleraciones y fuerzas puede ser complicado.

No obstante, si utilizamos esta descomposición para describir el término del coeficiente de conexión (Γ) mencionado anteriormente en términos de fuerzas geométricas, entonces el movimiento de los objetos desde el punto de vista de cualquier sistema de coordenadas (al menos a bajas velocidades) puede considerarse localmente newtoniano. Esto ya es una práctica común, por ejemplo, con la fuerza centrífuga y la gravedad. Por lo tanto, el principio de equivalencia extiende la utilidad local de las leyes de Newton a los sistemas de coordenadas acelerados y más allá.

Habitantes de la superficie de un planeta

Para los observadores de baja velocidad que se mantienen en un radio fijo desde el centro de un planeta o estrella esférico, la aceleración de coordenadas _a está aproximadamente relacionada con la aceleración propia a _o por: donde el radio de Schwarzschild del planeta o estrella r _s = 2 GM / c ² . A medida que el radio de nuestro observador se acerca al radio de Schwarzschild, la aceleración propia a _o necesaria para evitar que caiga se vuelve intolerable. $${\displaystyle {\vec {a}}_{\text{shell}}={\vec {a}}_{\text{o}}-{\sqrt {\frac {r}{r-r_{s}}}}{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {r}}}$$

Por otra parte, para r ≫ r _s , se necesita una fuerza propia hacia arriba de solo GMm / r ² para evitar que uno acelere hacia abajo. En la superficie de la Tierra esto se convierte en: donde g es la aceleración hacia abajo de 9,8 m/s ² debido a la gravedad, y es un vector unitario en la dirección radial hacia afuera desde el centro del cuerpo gravitante. Por lo tanto, aquí se necesita una fuerza propia hacia afuera de mg para evitar que uno acelere hacia abajo. $${\displaystyle {\vec {a}}_{\text{shell}}={\vec {a}}_{o}-g{\hat {r}}}$$ ${\displaystyle {\hat {r}}}$

Derivaciones de cuatro vectores

Las ecuaciones del espacio-tiempo de esta sección permiten abordar todas las desviaciones entre la aceleración propia y la coordenada en un único cálculo. Por ejemplo, calculemos los símbolos de Christoffel : ^{[11] para la} métrica de Schwarzschild de coordenadas lejanas ( c d τ ) ² = (1− r _s / r )( c d t ) ² − (1/(1− r _s / r ))d r ² − r ² d θ ² − ( r sen θ ) ² d φ ² , donde r _s es el radio de Schwarzschild 2 GM / c ² . La matriz de coeficientes resultante se convierte en: $${\displaystyle \left({\begin{array}{llll}\left\{\Gamma _{tt}^{t},\Gamma _{tr}^{t},\Gamma _{t\theta }^{t},\Gamma _{t\phi }^{t}\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{t},\Gamma _{rr}^{t},\Gamma _{r\theta }^{t},\Gamma _{r\phi }^{t}\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{t},\Gamma _{\theta r}^{t},\Gamma _{\theta \theta }^{t},\Gamma _{\theta \phi }^{t}\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{t},\Gamma _{\phi r}^{t},\Gamma _{\phi \theta }^{t},\Gamma _{\phi \phi }^{t}\right\}\\\left\{\Gamma _{tt}^{r},\Gamma _{tr}^{r},\Gamma _{t\theta }^{r},\Gamma _{t\phi }^{r}\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{r},\Gamma _{rr}^{r},\Gamma _{r\theta }^{r},\Gamma _{r\phi }^{r}\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{r},\Gamma _{\theta r}^{r},\Gamma _{\theta \theta }^{r},\Gamma _{\theta \phi }^{r}\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{r},\Gamma _{\phi r}^{r},\Gamma _{\phi \theta }^{r},\Gamma _{\phi \phi }^{r}\right\}\\\left\{\Gamma _{tt}^{\theta },\Gamma _{tr}^{\theta },\Gamma _{t\theta }^{\theta },\Gamma _{t\phi }^{\theta }\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{\theta },\Gamma _{rr}^{\theta },\Gamma _{r\theta }^{\theta },\Gamma _{r\phi }^{\theta }\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{\theta },\Gamma _{\theta r}^{\theta },\Gamma _{\theta \theta }^{\theta },\Gamma _{\theta \phi }^{\theta }\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{\theta },\Gamma _{\phi r}^{\theta },\Gamma _{\phi \theta }^{\theta },\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }\right\}\\\left\{\Gamma _{tt}^{\phi },\Gamma _{tr}^{\phi },\Gamma _{t\theta }^{\phi },\Gamma _{t\phi }^{\phi }\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{\phi },\Gamma _{rr}^{\phi },\Gamma _{r\theta }^{\phi },\Gamma _{r\phi }^{\phi }\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{\phi },\Gamma _{\theta r}^{\phi },\Gamma _{\theta \theta }^{\phi },\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{\phi },\Gamma _{\phi r}^{\phi },\Gamma _{\phi \theta }^{\phi },\Gamma _{\phi \phi }^{\phi }\right\}\end{array}}\right)}$$ $${\displaystyle \left({\begin{array}{llll}\left\{0,{\frac {r_{s}}{2r(r-r_{s})}},0,0\right\}&\left\{{\frac {r_{s}}{2r(r-r_{s})}},0,0,0\right\}&\{0,0,0,0\}&\{0,0,0,0\}\\\left\{{\frac {r_{s}c^{2}(r-r_{s})}{2r^{3}}},0,0,0\right\}&\left\{0,{\frac {r_{s}}{2r(r_{s}-r)}},0,0\right\}&\{0,0,r_{s}-r,0\}&\left\{0,0,0,(r_{s}-r)\sin ^{2}\theta \right\}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,{\frac {1}{r}},0\right\}&\left\{0,{\frac {1}{r}},0,0\right\}&\{0,0,0,-\cos \theta \sin \theta \}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,0,{\frac {1}{r}}\right\}&\{0,0,0,\cot(\theta )\}&\left\{0,{\frac {1}{r}},\cot \theta ,0\right\}\end{array}}\right).}$$

A partir de esto, se puede obtener la aceleración propia del marco de la carcasa estableciendo la aceleración de coordenadas en cero y, por lo tanto, requiriendo que la aceleración propia cancele la aceleración geométrica de un objeto estacionario, es decir , . Esto aún no resuelve el problema, ya que las coordenadas de Schwarzschild en el espacio-tiempo curvo son coordenadas de contabilidad ^[4], pero no las de un observador local. Sin embargo, la magnitud del 4-vector de aceleración propia anterior, es decir , , es precisamente lo que queremos, es decir, la aceleración propia invariante del marco ascendente necesaria para contrarrestar la aceleración geométrica descendente que sienten los habitantes de la superficie de un planeta. ${\displaystyle A^{\lambda }=\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\{0,GM/r^{2},0,0\}}$ ${\textstyle \alpha ={\sqrt {1/(1-r_{s}/r)}}GM/r^{2}}$

Un caso especial del conjunto de símbolos de Christoffel anterior es el conjunto de coordenadas esféricas del espacio plano que se obtiene al establecer r _s o M en cero: $${\displaystyle \left({\begin{array}{llll}\left\{0,0,0,0\right\}&\left\{0,0,0,0\right\}&\{0,0,0,0\}&\{0,0,0,0\}\\\left\{0,0,0,0\right\}&\left\{0,0,0,0\right\}&\{0,0,-r,0\}&\left\{0,0,0,-r\sin ^{2}\theta \right\}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,{\frac {1}{r}},0\right\}&\left\{0,{\frac {1}{r}},0,0\right\}&\{0,0,0,-\cos \theta \sin \theta \}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,0,{\frac {1}{r}}\right\}&\{0,0,0,\cot \theta \}&\left\{0,{\frac {1}{r}},\cot \theta ,0\right\}\end{array}}\right).}$$

A partir de esto podemos obtener, por ejemplo, la aceleración propia del centripétalo necesaria para cancelar la aceleración geométrica centrífuga de un objeto que se mueve a velocidad angular constante ω = d φ /d τ en el ecuador donde θ = π /2 . Formar la misma suma de 4 vectores que antes para el caso de d θ /d τ y d r /d τ cero no produce nada más que la aceleración clásica para el movimiento rotacional dada anteriormente, es decir, de modo que a _o = ω ² r . Los efectos de Coriolis también residen en estos coeficientes de conexión , y surgen de manera similar solo de la geometría del marco de coordenadas. ${\displaystyle A^{\lambda }=\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\{0,-r(d\phi /d\tau )^{2},0,0\}}$

Véase también

• Aceleración : cambio de velocidad
• Velocidad propia : momento por masa en relatividad especial; compuesto por los componentes espaciales de la 4-velocidad
• Sistema de referencia propio (espacio-tiempo plano) : sistema de referencia acelerado en relatividad especial (espacio de Minkowski)
• Fuerza ficticia : un nombre para la masa multiplicada por la aceleración geométrica
• Cuatro vectores : haciendo explícita la conexión entre el espacio y el tiempo
• Cinemática : para estudiar las formas en que la posición cambia con el tiempo.
• Aceleración uniforme : mantener fija la aceleración de coordenadas

Notas al pie

1. Edwin F. Taylor y John Archibald Wheeler (1966 1.ª ed. solamente) Spacetime Physics (WH Freeman, San Francisco) ISBN  0-7167-0336-X , Capítulo 1, Ejercicio 51, páginas 97–98: "Paradoja del reloj III" (pdf Archivado el 21 de julio de 2017 en Wayback Machine ).
2. Relatividad Por Wolfgang Rindler pág. 71
3. Francis W. Sears y Robert W. Brehme (1968) Introducción a la teoría de la relatividad (Addison-Wesley, NY) LCCN 680019344, sección 7-3
4. Edwin F. Taylor y John Archibald Wheeler (2000) Explorando los agujeros negros (Addison Wesley Longman, NY) ISBN 0-201-38423-X 
5. cf. CW Misner, KS Thorne y JA Wheeler (1973) Gravitación (WH Freeman, NY) ISBN 978-0-7167-0344-0 , sección 1.6 
6. P. Fraundorf (1996) "Un enfoque de un mapa y dos relojes para la enseñanza de la relatividad en la física introductoria" ( arXiv :physics/9611011)
7. A. John Mallinckrodt (1999) ¿Qué sucede cuando un a*t>c? Archivado el 30 de junio de 2012 en archive.today (Reunión de verano de la AAPT, San Antonio, Texas)
8. E. Eriksen y Ø. Grøn (1990) Dinámica relativista en sistemas de referencia uniformemente acelerados con aplicación a la paradoja del reloj, Eur. J. Phys. 39 :39–44
9. C. Lagoute y E. Davoust (1995) El viajero interestelar, Am. J. Phys. 63 :221–227
10. cf. RJ Cook (2004) Tiempo físico y espacio físico en la relatividad general, Am. J. Phys. 72 :214–219
11. Hartle, James B. (2003). Gravedad: una introducción a la relatividad general de Einstein. San Francisco: Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8662-9 . 

Enlaces externos

• Extractos de la primera edición de Spacetime Physics y otros recursos publicados por Edwin F. Taylor
• Página del libro sobre gravedad de James Hartle que incluye programas de Mathematica para calcular los símbolos de Christoffel.
• Notas y programas de Andrew Hamilton para trabajar con tétradas locales en la Universidad de Colorado, Boulder.