Ecuaciones primitivas

Ecuaciones para aproximar el flujo atmosférico global

Las ecuaciones primitivas son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales que se utilizan para aproximar el flujo atmosférico global y se utilizan en la mayoría de los modelos atmosféricos . Consisten en tres conjuntos principales de ecuaciones de equilibrio:

1. Una ecuación de continuidad : Representa la conservación de la masa.
2. Conservación del momento : Consiste en una forma de las ecuaciones de Navier-Stokes que describen el flujo hidrodinámico en la superficie de una esfera bajo el supuesto de que el movimiento vertical es mucho más pequeño que el movimiento horizontal (hidrostasis) y que la profundidad de la capa de fluido es pequeña en comparación con la radio de la esfera
3. Una ecuación de energía térmica : Relacionar la temperatura general del sistema con las fuentes y sumideros de calor.

Las ecuaciones primitivas pueden linealizarse para producir las ecuaciones de mareas de Laplace , un problema de valores propios a partir del cual se puede determinar la solución analítica de la estructura latitudinal del flujo.

En general, casi todas las formas de ecuaciones primitivas relacionan las cinco variables u , v , ω, T , W y su evolución en el espacio y el tiempo.

Las ecuaciones fueron escritas por primera vez por Vilhelm Bjerknes . ^[1]

Definiciones

• ${\displaystyle u}$es la velocidad zonal (velocidad en la dirección este-oeste tangente a la esfera)
• ${\displaystyle v}$es la velocidad meridional (velocidad en la dirección norte-sur tangente a la esfera)
• ${\displaystyle \omega }$es la velocidad vertical en coordenadas isobáricas
• ${\displaystyle T}$es la temperatura
• ${\displaystyle \Phi }$es el geopotencial
• ${\displaystyle f}$es el término correspondiente a la fuerza de Coriolis , y es igual a , donde es la velocidad de rotación angular de la Tierra ( radianes por hora sidérea), y es la latitud ${\displaystyle 2\Omega \sin(\phi )}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle 2\pi /24}$ ${\displaystyle \phi }$
• ${\displaystyle R}$es la constante de los gases
• ${\displaystyle p}$es la presion
• ${\displaystyle \rho }$es la densidad
• ${\displaystyle c_{p}}$es el calor específico sobre una superficie de presión constante
• ${\displaystyle J}$es el flujo de calor por unidad de tiempo por unidad de masa
• ${\displaystyle W}$es el agua precipitable
• ${\displaystyle \Pi }$es la función de Exner
• ${\displaystyle \theta }$es la temperatura potencial
• ${\displaystyle \eta }$es la vorticidad absoluta

Fuerzas que causan el movimiento atmosférico.

Las fuerzas que causan el movimiento atmosférico incluyen la fuerza del gradiente de presión , la gravedad y la fricción viscosa . Juntos, crean las fuerzas que aceleran nuestra atmósfera.

La fuerza del gradiente de presión provoca una aceleración que fuerza al aire desde regiones de alta presión a regiones de baja presión. Matemáticamente, esto se puede escribir como:

${\displaystyle {\frac {f}{m}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {dp}{dx}}.}$

La fuerza gravitacional acelera los objetos a aproximadamente 9,8 m/s ² directamente hacia el centro de la Tierra.

La fuerza debida a la fricción viscosa se puede aproximar como:

${\displaystyle f_{r}={f \over a}{1 \over \rho }\mu \left(\nabla \cdot (\mu \nabla v)+\nabla (\lambda \nabla \cdot v)\right).}$

Utilizando la segunda ley de Newton, estas fuerzas (a las que en las ecuaciones anteriores se hace referencia como aceleraciones debidas a estas fuerzas) se pueden sumar para producir una ecuación de movimiento que describa este sistema. Esta ecuación se puede escribir en la forma:

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-({\frac {1}{\rho }})\nabla p-g({\frac {r}{r}})+f_{r}}$

${\displaystyle g=g_{e}.\,}$

Por tanto, para completar el sistema de ecuaciones y obtener 6 ecuaciones y 6 variables:

• ${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=-({\frac {1}{\rho }})\nabla p-g({\frac {r}{r}})+({\frac {1}{\rho }})\left[\nabla \cdot (\mu \nabla v)+\nabla (\lambda \nabla \cdot v)\right]}$
• ${\displaystyle c_{v}{\frac {dT}{dt}}+p{\frac {d\alpha }{dt}}=q+f}$
• ${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}+\rho \nabla \cdot v=0}$
• ${\displaystyle p=nT.}$

donde n es la densidad numérica en moles y T:=RT es el valor equivalente de temperatura en julios/mol.

Formas de las ecuaciones primitivas.

La forma precisa de las ecuaciones primitivas depende del sistema de coordenadas verticales elegido, como coordenadas de presión, coordenadas logarítmicas de presión o coordenadas sigma . Además, las variables de velocidad, temperatura y geopotencial se pueden descomponer en componentes medios y de perturbación mediante la descomposición de Reynolds .

Coordenada de presión en el plano tangencial cartesiano vertical

De esta forma, se selecciona la presión como coordenada vertical y las coordenadas horizontales se escriben para el plano tangencial cartesiano (es decir, un plano tangente a algún punto de la superficie de la Tierra). Esta forma no tiene en cuenta la curvatura de la Tierra, pero es útil para visualizar algunos de los procesos físicos involucrados en la formulación de las ecuaciones debido a su relativa simplicidad.

Tenga en cuenta que los derivados de capital D tiempo son derivados materiales . Cinco ecuaciones con cinco incógnitas componen el sistema.

• las ecuaciones de momento invisibles (sin fricción):

${\displaystyle {\frac {Du}{Dt}}-fv=-{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}}$

${\displaystyle {\frac {Dv}{Dt}}+fu=-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}}$

• la ecuación hidrostática , un caso especial de la ecuación del momento vertical en el que la aceleración vertical se considera insignificante:

${\displaystyle 0=-{\frac {\partial \Phi }{\partial p}}-{\frac {RT}{p}}}$

• la ecuación de continuidad , que conecta la divergencia/convergencia horizontal con el movimiento vertical bajo la aproximación hidrostática ( ): ${\displaystyle dp=-\rho \,d\Phi }$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial \omega }{\partial p}}=0}$

• y la ecuación de la energía termodinámica, consecuencia de la primera ley de la termodinámica

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}+u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}+\omega \left({\frac {\partial T}{\partial p}}-{\frac {RT}{pc_{p}}}\right)={\frac {J}{c_{p}}}}$

Cuando se incluye una declaración de la conservación de la sustancia del vapor de agua, estas seis ecuaciones forman la base de cualquier esquema de predicción numérica del tiempo.

Ecuaciones primitivas utilizando sistema de coordenadas sigma, proyección estereográfica polar.

Según el Manual No. 1 del Servicio Meteorológico Nacional – Productos facsímiles , las ecuaciones primitivas se pueden simplificar en las siguientes ecuaciones:

• Viento zonal:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\eta v-{\frac {\partial \Phi }{\partial x}}-c_{p}\theta {\frac {\partial \pi }{\partial x}}-z{\frac {\partial u}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial ({\frac {u^{2}+v^{2}}{2}})}{\partial x}}}$

• Viento meridional:

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}=-\eta {\frac {u}{v}}-{\frac {\partial \Phi }{\partial y}}-c_{p}\theta {\frac {\partial \pi }{\partial y}}-z{\frac {\partial v}{\partial \sigma }}-{\frac {\partial ({\frac {u^{2}+v^{2}}{2}})}{\partial y}}}$

• Temperatura:

${\displaystyle {\frac {\partial T}{\partial t}}={\frac {\partial T}{\partial t}}+u{\frac {\partial T}{\partial x}}+v{\frac {\partial T}{\partial y}}+w{\frac {\partial T}{\partial z}}}$

El primer término es igual al cambio de temperatura debido a la radiación solar entrante y la radiación de onda larga saliente, que cambia con el tiempo a lo largo del día. Los términos segundo, tercero y cuarto se deben a la advección. Además, la variable T con subíndice es el cambio de temperatura en ese plano. Cada T es en realidad diferente y está relacionada con su respectivo plano. Esto se divide por la distancia entre los puntos de la cuadrícula para obtener el cambio de temperatura con el cambio de distancia. Cuando se multiplica por la velocidad del viento en ese plano, las unidades kelvins por metro y metros por segundo dan kelvins por segundo. La suma de todos los cambios de temperatura debidos a los movimientos en las direcciones x , y y z dan el cambio total de temperatura con el tiempo.

• Agua precipitable:

${\displaystyle {\frac {\delta W}{\partial t}}=u{\frac {\partial W}{\partial x}}+v{\frac {\partial W}{\partial y}}+w{\frac {\partial W}{\partial z}}}$

Esta ecuación y notación funcionan de manera muy similar a la ecuación de temperatura. Esta ecuación describe el movimiento del agua de un lugar a otro en un punto sin tener en cuenta el agua que cambia de forma. Dentro de un sistema dado, el cambio total de agua con el tiempo es cero. Sin embargo, se permite que las concentraciones se muevan con el viento.

• Espesor de presión:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}=u{\frac {\partial }{\partial x}}x{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+v{\frac {\partial }{\partial y}}y{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}+w{\frac {\partial }{\partial z}}z{\frac {\partial p}{\partial \sigma }}}$

Estas simplificaciones hacen que sea mucho más fácil comprender lo que sucede en el modelo. Cosas como la temperatura (temperatura potencial), el agua precipitable y, hasta cierto punto, el espesor de la presión simplemente se mueven de un punto de la cuadrícula a otro con el viento. El pronóstico del viento es ligeramente diferente. Utiliza geopotencial, calor específico, la función de Exner π y cambio en la coordenada sigma.

Solución a las ecuaciones primitivas linealizadas.

La solución analítica de las ecuaciones primitivas linealizadas implica una oscilación sinusoidal en el tiempo y la longitud, modulada por coeficientes relacionados con la altura y la latitud.

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}u,v,\Phi \end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\hat {u}},{\hat {v}},{\hat {\Phi }}\end{Bmatrix}}e^{i(s\lambda +\sigma t)}}$

donde s y son el número de onda zonal y la frecuencia angular , respectivamente. La solución representa ondas y mareas atmosféricas . ${\displaystyle \sigma }$

Cuando los coeficientes se separan en sus componentes de altura y latitud, la dependencia de la altura toma la forma de ondas propagadas o evanescentes (según las condiciones), mientras que la dependencia de la latitud viene dada por las funciones de Hough .

Esta solución analítica sólo es posible cuando las ecuaciones primitivas se linealizan y simplifican. Desafortunadamente muchas de estas simplificaciones (es decir, sin disipación, atmósfera isotérmica) no corresponden a las condiciones de la atmósfera real. Como resultado, a menudo se calcula una solución numérica que tiene en cuenta estos factores utilizando modelos de circulación general y modelos climáticos .

Ver también

• fórmula barométrica
• Modelo climático
• ecuaciones de Euler
• Dinámica de fluidos
• Modelo de circulación general
• Predicción meteorológica numérica

Referencias

1. Antes de 1955: modelos numéricos y la prehistoria de los AGCM

• Beniston, Martín. De la turbulencia al clima: investigaciones numéricas de la atmósfera con una jerarquía de modelos. Berlín: Springer, 1998. ISBN  3-540-63495-9
• Firth, Robert. Construcción y precisión de cuadrículas de modelos meteorológicos de mesoescala y microescala. LSMSA, 2006.
• Thompson, Felipe. Análisis y predicción numérica del tiempo. Nueva York: The Macmillan Company, 1961.
• Pielke, Roger A. Modelado meteorológico de mesoescala. Orlando: Academic Press, Inc., 1984. ISBN 0-12-554820-6 
• Departamento de Comercio de EE. UU., Administración Nacional Oceánica y Atmosférica, Servicio Meteorológico Nacional. Manual del Servicio Meteorológico Nacional No. 1 - Productos facsímil. Washington, DC: Departamento de Comercio, 1979.

enlaces externos

Servicio Meteorológico Nacional - Sitio de capacitación e investigación colaborativa de NCSU, Revisión de las ecuaciones primitivas.