Coordenadas de Gullstrand-Painlevé

Coordenadas adecuadas para seguir a un observador en caída libre de un agujero negro de Schwarzchild

Las coordenadas de Gullstrand-Painlevé son un conjunto particular de coordenadas para la métrica de Schwarzschild , una solución a las ecuaciones de campo de Einstein que describe un agujero negro . Las coordenadas entrantes son tales que la coordenada temporal sigue el tiempo propio de un observador en caída libre que comienza desde muy lejos a velocidad cero, y las porciones espaciales son planas. No hay singularidad de coordenadas en el radio de Schwarzschild (horizonte de sucesos). Las salientes son simplemente el reverso temporal de las coordenadas entrantes (el tiempo es el tiempo propio a lo largo de las partículas salientes que alcanzan el infinito con velocidad cero).

La solución fue propuesta independientemente por Paul Painlevé en 1921 ^[1] y Allvar Gullstrand ^[2] en 1922. No se demostró explícitamente que estas soluciones eran simplemente transformaciones de coordenadas de la solución habitual de Schwarzschild hasta 1933 en el artículo de Lemaître ^[3] , aunque Einstein inmediatamente creyó que eso era cierto.

Derivación

La derivación de coordenadas GP requiere definir los siguientes sistemas de coordenadas y comprender cómo los datos medidos para eventos en un sistema de coordenadas se interpretan en otro sistema de coordenadas.

Convención: Las unidades de las variables están todas geometrizadas . El tiempo y la masa tienen unidades en metros. La velocidad de la luz en el espacio-tiempo plano tiene un valor de 1. La constante gravitacional tiene un valor de 1. La métrica se expresa en la convención del signo +−−− .

Coordenadas de Schwarzschild

Líneas de mundo en caída libre en coordenadas clásicas de Schwarzschild-Droste

Un observador de Schwarzschild es un observador lejano o un contador. No realiza mediciones directas de eventos que ocurren en diferentes lugares. En cambio, está muy lejos del agujero negro y de los eventos. Se reclutan observadores locales para que realicen mediciones y le envíen los resultados. El contador reúne y combina los informes de varios lugares. Los números de los informes se traducen en datos en coordenadas de Schwarzschild, que proporcionan un medio sistemático para evaluar y describir los eventos globalmente. De este modo, el físico puede comparar e interpretar los datos de forma inteligente. Puede encontrar información significativa a partir de estos datos. La forma de Schwarzschild de la métrica de Schwarzschild utilizando las coordenadas de Schwarzschild está dada por

${\displaystyle g=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)}}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,}$

dónde

G=1=c

t , r , θ , φ son las coordenadas de Schwarzschild,

M es la masa del agujero negro.

Coordenadas GP

Líneas de caída libre en las coordenadas de las gotas de lluvia de Gullstrand–Painlevé

Definir una nueva coordenada de tiempo mediante

${\displaystyle t_{r}=t+a(r)}$

para alguna función arbitraria . Sustituyendo en la métrica de Schwarzschild se obtiene ${\displaystyle a(r)}$

${\displaystyle g=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,dt_{r}^{2}+2\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,a'dt_{r}dr-\left({\frac {1}{1-{\frac {2M}{r}}}}-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,{a'}^{2}\right)dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,}$

donde . Si ahora elegimos tal que el término multiplicador sea la unidad, obtenemos ${\displaystyle a'(r)={\frac {da}{dr}}}$ ${\displaystyle a(r)}$ ${\displaystyle dr^{2}}$

${\displaystyle a'=-{\frac {1}{1-{\frac {2M}{r}}}}{\sqrt {\frac {2M}{r}}}}$

y la métrica se convierte en

${\displaystyle g=\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)\,dt_{r}^{2}-2{\sqrt {\frac {2M}{r}}}dt_{r}dr-dr^{2}-r^{2}\,d\theta ^{2}-r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}\,}$

La métrica espacial (es decir, la restricción de la métrica en la superficie donde es constante) es simplemente la métrica plana expresada en coordenadas polares esféricas. Esta métrica es regular a lo largo del horizonte donde r=2M , ya que, aunque el término temporal tiende a cero, el término fuera de la diagonal en la métrica sigue siendo distinto de cero y asegura que la métrica sigue siendo invertible (el determinante de la métrica es ). ${\displaystyle g|_{t=t_{r}}}$ ${\displaystyle t_{r}}$ ${\displaystyle -r^{4}\sin(\theta )^{2}}$

La función viene dada por ${\displaystyle a(r)}$

${\displaystyle a(r)=-\int {\frac {\sqrt {\frac {2M}{r}}}{1-{\frac {2M}{r}}}}dr=2M\left(-2y+\ln \left({\frac {y+1}{y-1}}\right)\right)}$

donde . La función es claramente singular en r=2M como debe ser para eliminar esa singularidad en la métrica de Schwarzschild. ${\displaystyle y={\sqrt {\frac {r}{2M}}}}$ ${\displaystyle a(r)}$

Otras opciones conducen a otros gráficos de coordenadas para el vacío de Schwarzschild; se da un tratamiento general en Francis y Kosowsky. ^[4] ${\displaystyle a(r)}$

Movimiento de la gota de lluvia

Defina una gota de lluvia como un objeto que se precipita radialmente hacia un agujero negro desde el reposo en el infinito. ^[5]

En coordenadas de Schwarzschild, la velocidad de una gota de lluvia está dada por

${\displaystyle {\frac {dr}{dt}}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\sqrt {\frac {2M}{r}}}.\,}$

• La velocidad tiende a cero a medida que r se acerca al horizonte de sucesos. La gota de lluvia parece haber disminuido su velocidad a medida que se acerca al horizonte de sucesos y se detuvo en el horizonte de sucesos, según las mediciones del contable. De hecho, un observador fuera del horizonte de sucesos vería la gota de lluvia sumergirse cada vez más lentamente. Su imagen se desplaza al rojo infinitamente y nunca logra atravesar el horizonte de sucesos. Sin embargo, el contable no mide físicamente la velocidad directamente. Traduce los datos transmitidos por el observador de la capa en valores de Schwarzschild y calcula la velocidad. El resultado es solo un asiento contable.

En coordenadas GP, la velocidad viene dada por

${\displaystyle {\frac {dr}{dt_{r}}}=-\beta =-{\sqrt {\frac {2M}{r}}}.\,}$

• La velocidad de la gota de lluvia es inversamente proporcional a la raíz cuadrada del radio y es igual a la velocidad de escape newtoniana negativa . En puntos muy alejados del agujero negro, la velocidad es extremadamente pequeña. A medida que la gota de lluvia se precipita hacia el agujero negro, la velocidad aumenta. En el horizonte de sucesos, la velocidad tiene el valor 1. No hay discontinuidad ni singularidad en el horizonte de sucesos.
• Dentro del horizonte de sucesos, la velocidad aumenta a medida que la gota de lluvia se acerca a la singularidad. Finalmente, la velocidad se vuelve infinita en la singularidad. Como se muestra a continuación, la velocidad siempre es menor que la velocidad de la luz. Es posible que los resultados no se predigan correctamente con la ecuación en la singularidad y muy cerca de ella, ya que la solución verdadera puede ser bastante diferente cuando se incorpora la mecánica cuántica. ${\displaystyle r<2M\,\!}$
• A pesar del problema con la singularidad, todavía es posible calcular matemáticamente el tiempo de viaje de la gota de lluvia desde el horizonte hasta el centro del agujero negro.

Integrar la ecuación de movimiento:

${\displaystyle \int _{0}^{T_{r}}\,dt=-\int _{2M}^{0}\left({\sqrt {\frac {2M}{r}}}\right)^{-1}\,dr.\,}$ El resultado es ${\displaystyle T_{r}={\frac {4}{3}}M.\,}$

Usando este resultado para la velocidad de la gota de lluvia podemos encontrar el tiempo propio a lo largo de la trayectoria de la gota de lluvia en términos del tiempo . Tenemos ${\displaystyle t_{r}}$

${\displaystyle d\tau ^{2}=g|_{\text{trajectory}}=dt_{r}^{2}\left[1-{\frac {2M}{r}}+2{\sqrt {\frac {2M}{r}}}{\sqrt {\frac {2M}{r}}}-{\sqrt {\frac {2M}{r}}}^{2}\right]=dt_{r}^{2}}$

Es decir, a lo largo de la trayectoria de las gotas de lluvia, el tiempo transcurrido es exactamente el tiempo apropiado a lo largo de la trayectoria. Se podrían haber definido las coordenadas de GP mediante este requisito, en lugar de exigir que las superficies espaciales sean planas. ${\displaystyle t_{r}}$

Un conjunto de coordenadas estrechamente relacionado son las coordenadas de Lemaître , en las que la coordenada "radial" se elige como constante a lo largo de las trayectorias de las gotas de lluvia. Dado que r cambia a medida que caen las gotas de lluvia, esta métrica depende del tiempo, mientras que la métrica GP es independiente del tiempo.

La métrica obtenida si, en lo anterior, tomamos la función f(r) como el negativo de lo que elegimos anteriormente también se llama sistema de coordenadas GP. El único cambio en la métrica es que el término cruzado cambia de signo. Esta métrica es regular para las gotas de lluvia salientes, es decir, partículas que salen del agujero negro viajando hacia afuera con solo la velocidad de escape, de modo que su velocidad en el infinito es cero. En las coordenadas GP habituales, dichas partículas no se pueden describir para r < 2M . Tienen un valor cero para en r = 2M . Esto es una indicación de que el agujero negro de Schwarzschild tiene dos horizontes, un horizonte pasado y un horizonte futuro. La forma original de las coordenadas GP es regular a lo largo del horizonte futuro (donde las partículas caen cuando caen en un agujero negro) mientras que la versión negativa alternativa es regular a lo largo del horizonte pasado (desde el que las partículas salen del agujero negro si lo hacen). ${\displaystyle {\frac {dr}{dt_{r}}}}$

Las coordenadas de Kruskal-Szekeres son regulares en ambos horizontes, a costa de hacer que la métrica dependa en gran medida de la coordenada temporal.

Velocidades de la luz

Supongamos que el movimiento es radial. Para la luz, por lo tanto, ${\displaystyle d\tau =0.}$

${\displaystyle 0=\left(dr+\left(1+{\sqrt {\frac {2M}{r}}}\ \right)dt_{r}\right)\left(dr-\left(1-{\sqrt {\frac {2M}{r}}}\ \right)\,dt_{r}\right),}$

${\displaystyle {\frac {dr}{dt_{r}}}=\pm 1-{\sqrt {\frac {2M}{r}}}.}$

• En lugares muy alejados del agujero negro, la velocidad de la luz es 1, la misma que en la relatividad especial. ${\displaystyle r\to \infty ,{\tfrac {dr}{dt_{r}}}=\pm 1.}$
• En el horizonte de sucesos, la velocidad de la luz que brilla hacia afuera desde el centro del agujero negro es No puede escapar del horizonte de sucesos, sino que se queda atrapada en él. Como la luz se mueve más rápido que todas las demás, la materia solo puede moverse hacia adentro en el horizonte de sucesos. Todo lo que está dentro del horizonte de sucesos está oculto al mundo exterior. ${\displaystyle r=2M,}$ ${\displaystyle {\tfrac {dr}{dt_{r}}}=0.}$
• Dentro del horizonte de sucesos, el observador de la lluvia mide que la luz se mueve hacia el centro con una velocidad mayor que 2. Esto es plausible. Incluso en la relatividad especial, la velocidad propia de un objeto en movimiento es ${\displaystyle r<2M,}$

  ${\displaystyle {\frac {dr_{ff}}{d\tau }}={\frac {v}{\sqrt {1-v^{2}}}}\geq 1.}$

Hay dos puntos importantes a tener en cuenta:

1. Ningún objeto debería tener una velocidad mayor que la de la luz medida en el mismo sistema de referencia. De esta forma, se preserva el principio de causalidad. En efecto, la velocidad de la gota de lluvia es menor que la de la luz: ${\displaystyle {\frac {\left({\dfrac {dr}{dt_{r}}}\right)_{\text{raindrop}}}{\left({\dfrac {dr}{dt_{r}}}\right)_{\text{light}}}}={\frac {\sqrt {\dfrac {2M}{r}}}{1+{\sqrt {\dfrac {2M}{r}}}}}<1.}$
2. El tiempo de viaje de la luz que brilla hacia adentro desde el horizonte de sucesos hasta el centro del agujero negro se puede obtener integrando la ecuación de la velocidad de la luz,

${\displaystyle \int _{0}^{T_{r}}\,dt=-\int _{2M}^{0}\left({\sqrt {\frac {2M}{r}}}+1\right)^{-1}\,dr.}$

El resultado es ${\displaystyle T_{r}=4M\ln 2-2M\approx 0.77M.}$

1. El tiempo de viaje de la luz para un agujero negro estelar con un tamaño típico de 3 masas solares es de aproximadamente 11 microsegundos.
2. Ignorando los efectos de la rotación, para Sagitario A* , el agujero negro supermasivo ubicado en el centro de la Vía Láctea , con una masa de 3,7 millones de masas solares, el tiempo de viaje de la luz es de aproximadamente 14 segundos.
3. El agujero negro supermasivo que se encuentra en el centro de Messier 87 , una galaxia elíptica gigante del cúmulo de Virgo , es uno de los agujeros negros supermasivos más grandes conocidos. Con una masa de 3.000 millones de masas solares, la luz tarda unas 3 horas en viajar hasta la singularidad central y 5 horas en llegar una gota de lluvia.

La visión del universo desde la perspectiva de un observador de la lluvia

¿Cómo se ve el universo desde la perspectiva de un observador de lluvia que se sumerge en un agujero negro? ^[6] La visión se puede describir mediante las siguientes ecuaciones:

${\displaystyle \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{r}={\frac {dr_{r}}{dt_{r}}}={\frac {{\sqrt {\dfrac {2M}{r}}}+\cos {\boldsymbol {\Phi }}_{s}}{1+{\sqrt {\dfrac {2M}{r}}}\ \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{s}}},\,}$

${\displaystyle \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{s}={\frac {dr_{s}}{dt_{s}}}=\pm {\sqrt {1-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right){\frac {{\mathit {I}}^{2}}{r^{2}}}}},\,\!}$

${\displaystyle \phi ={\mathit {I}}\int _{r_{0}}^{\infty }{\frac {dr}{r^{2}\ \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{s}}},\,\!}$

dónde

${\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}_{r},\ {\boldsymbol {\Phi }}_{s}\,\!}$son los ángulos de visión del observador de lluvia y del observador de conchas con respecto a la dirección radial hacia afuera.

${\displaystyle \ \phi \,\!}$es el ángulo entre la estrella distante y la dirección radial hacia afuera.

${\displaystyle {\mathit {I}}\,\!}$   es el parámetro de impacto. Cada rayo de luz entrante puede rastrearse hasta un rayo correspondiente en el infinito. El parámetro de impacto para el rayo de luz entrante es la distancia entre el rayo correspondiente en el infinito y un rayo paralelo a él que se precipita directamente en el agujero negro.

Debido a la simetría esférica, la trayectoria de la luz siempre se encuentra en un plano que pasa por el centro de la esfera. Es posible simplificar la métrica suponiendo que . ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}\,\!}$

El parámetro de impacto se puede calcular conociendo la coordenada r y el ángulo de visión del observador de lluvia . Luego, el ángulo real de la estrella distante se determina integrando numéricamente desde hasta el infinito. A la derecha se muestra un gráfico de los resultados de muestra. ${\displaystyle {\mathit {I}}\,\!}$ ${\displaystyle r_{0}\,\!}$ ${\displaystyle \ {\boldsymbol {\Phi }}_{r0}\,\!}$ ${\displaystyle \ \phi \,\!}$ ${\displaystyle dr\,\!}$ ${\displaystyle r_{0}\,\!}$

• En r / M = 500, el agujero negro todavía está muy lejos. Subtiende un ángulo diametral de ~ 1 grado en el cielo. Las estrellas no están muy distorsionadas por la presencia del agujero negro, excepto las estrellas directamente detrás de él. Debido al efecto de lente gravitacional , estas estrellas obstruidas ahora están desviadas 5 grados hacia afuera de la parte posterior. Entre estas estrellas y el agujero negro hay una banda circular de imágenes secundarias de las estrellas. Las imágenes duplicadas son fundamentales para la identificación del agujero negro.
• En r/M = 30, el agujero negro se ha vuelto mucho más grande, abarcando un ángulo diametral de ~15 grados en el cielo. La banda de imágenes secundarias también ha crecido a 10 grados. Ahora es posible encontrar imágenes terciarias débiles en la banda, que son producidas por los rayos de luz que ya han girado alrededor del agujero negro una vez. Las imágenes primarias están distribuidas de manera más compacta en el resto del cielo. El patrón de distribución es similar al que se mostró anteriormente.
• En r/M = 2, el horizonte de sucesos, el agujero negro ocupa ahora una parte sustancial del cielo. El observador de la lluvia vería un área de hasta 42 grados desde la dirección radial hacia el interior que está completamente oscura. La banda de imágenes secundarias y terciarias, en lugar de aumentar, ha disminuido en tamaño a 5 grados. El efecto de aberración ahora es bastante dominante. La velocidad de inmersión ha alcanzado la velocidad de la luz. El patrón de distribución de las imágenes primarias está cambiando drásticamente. Las imágenes primarias se están desplazando hacia el límite de la banda. El borde cerca de la banda ahora está lleno de estrellas. Debido al efecto Doppler , la imagen primaria de las estrellas que originalmente estaban ubicadas detrás del observador de la lluvia tienen sus imágenes considerablemente desplazadas hacia el rojo, mientras que las que estaban al frente están desplazadas hacia el azul y parecen muy brillantes.
• En r/M=0,001, la curva del ángulo de la estrella distante en función del ángulo de visión parece formar un ángulo recto en el ángulo de visión de 90 grados. Casi todas las imágenes de estrellas están agrupadas en un anillo estrecho a 90 grados de la dirección radial interna. Entre el anillo y la dirección radial interna se encuentra el enorme agujero negro. En el lado opuesto, solo unas pocas estrellas brillan débilmente.
• A medida que el observador de la lluvia se acerca a la singularidad, , y . La mayoría de las estrellas y sus imágenes causadas por las múltiples órbitas de la luz alrededor del agujero negro se comprimen en una banda estrecha en el ángulo de visión de 90°. El observador ve un magnífico anillo brillante de estrellas que divide el cielo oscuro. ${\displaystyle r\rightarrow 0\,\!}$ ${\displaystyle \cos {\boldsymbol {\Phi }}_{r}\rightarrow {\sqrt {\frac {r}{2M}}}\,\!}$

Historia

Aunque la publicación del artículo de Gullstrand se produjo después del de Painlevé, el artículo de Gullstrand estaba fechado el 25 de mayo de 1921, mientras que la publicación de Painlevé era un artículo sobre su presentación ante la Academia de Ciencias de París el 24 de octubre de 1921. De esta manera, el trabajo de Gullstrand parece tener prioridad. ^[7]

Tanto Painlevé como Gullstrand utilizaron esta solución para argumentar que la teoría de Einstein era incompleta, ya que proporcionaba múltiples soluciones para el campo gravitatorio de un cuerpo esférico y, además, proporcionaba una física diferente (sostenían que las longitudes de las varillas a veces podían ser más largas y a veces más cortas en la dirección radial que en la tangencial). El "truco" de la propuesta de Painlevé era que ya no se limitaba a una forma cuadrática (estática) completa, sino que permitía un producto transversal del tiempo y el espacio, lo que hacía que la forma métrica ya no fuera estática sino estacionaria y ya no fuera simétrica en cuanto a la dirección sino orientada preferentemente.

En un segundo artículo, más extenso (14 de noviembre de 1921), ^[8] Painlevé explica cómo obtuvo su solución resolviendo directamente las ecuaciones de Einstein para una forma esféricamente simétrica genérica de la métrica. El resultado, la ecuación (4) de su artículo, dependía de dos funciones arbitrarias de la coordenada r que producían una infinitud doble de soluciones. Ahora sabemos que estas simplemente representan una variedad de opciones tanto de coordenadas radiales como temporales.

Painlevé escribió a Einstein para presentarle su solución y lo invitó a París para un debate. En la carta de respuesta de Einstein (7 de diciembre), ^[9] se disculpó por no estar en condiciones de visitarlo pronto y explicó por qué no estaba satisfecho con los argumentos de Painlevé, enfatizando que las coordenadas en sí mismas no tenían significado. Finalmente, Einstein llegó a París a principios de abril. El 5 de abril de 1922, en un debate en el "Collège de France" ^{[10] [11]} con Painlevé, Becquerel, Brillouin, Cartan, De Donder, Hadamard, Langevin y Nordmann sobre "los potenciales infinitos", Einstein, desconcertado por el término cruzado no cuadrático en el elemento de línea, rechazó la solución de Painlevé.

Véase también

• Coordenadas isotrópicas
• Coordenadas de Eddington-Finkelstein
• Coordenadas de Kruskal-Székeres
• Coordenadas de Lemaître

Referencias

1. Paul Painlevé, "La mécanique classique et la théorie de la relativité", CR Acad. Ciencia. (París) 173, 677–680 (1921).
2. Gullstrand, Allvar (1922). "Allgemeine Lösung des statischen Einkörperproblems in der Einsteinschen Gravitationstheorie". Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik . 16 (8): 1–15.
3. G. Lemaître (1933). "L'Univers en expansión". Annales de la Société Scientifique de Bruselas . A53 : 51–85. Código Bib : 1933ASSB...53...51L.
4. Matthew R. Francis y Arthur Kosowsky (2004). "Geodésicas en la solución generalizada de Schwarzschild", arXiv :gr-qc/0311038
5. Bertschinger, Edmund; Taylor, Edwin F. (2020). "Capítulo 6: Buceo; Exploración de agujeros negros, segunda edición (EBH2e)" (PDF) . eftaylor.com . No existe un libro de texto impreso publicado de EBH2e. En su lugar, puede descargar libremente la versión en línea
6. Tony Rothman; Richard Matzner; Bill Unruh (1985). "Grandes ilusiones: más conversaciones al borde del espacio-tiempo". En Tony Rothman (ed.). Fronteras de la física moderna . Dover Publications (Nueva York). págs. 49–81.
7. Hamilton, Andrew JS; Lisle, Jason P. (junio de 2008). "El modelo de río de los agujeros negros". American Journal of Physics . 76 (6): 519–532. arXiv : gr-qc/0411060 . Código Bibliográfico :2008AmJPh..76..519H. doi :10.1119/1.2830526. S2CID  119467298.
8. "La gravitación en la mecánica de Newton y en la mecánica de Einstein" CR Acad. Ciencia. (París) 173, 873-886 (1921).
9. Diana Buchwald; et al., eds. (2009). Los documentos recopilados de Albert Einstein . Princeton University Press . págs. 368–370.
10. Jean Eisenstaedt (1987). "La interpretación temprana de la solución de Schwarzschild". En Don Howqard; John Stachel (eds.). Einstein y la historia de la relatividad general . Birkhauser (Berlín). págs. 222–223.
11. Jean Eisenstaedt (1982). "Histoire et Singularités de la Solution de Schwarzschild (1915-1923)". Archivo de Historia de las Ciencias Exactas . 27 (2): 157–198. Código bibliográfico : 1982AHES...27..157E. doi :10.1007/BF00348347. S2CID  116541975.

• Misner, Thorne, Wheeler (1973). Gravitación . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Enlaces externos

• El modelo del río de los agujeros negros
• Vídeo del Dr. Andrew JS Hamilton "Dentro de los agujeros negros"
• Simulación de la órbita de un agujero negro en coordenadas GP.