Encuentre el conjunto completo de panales uniformes hiperbólicos.
En geometría hiperbólica , un panal uniforme en el espacio hiperbólico es un mosaico uniforme de células poliédricas uniformes . En el espacio hiperbólico tridimensional hay nueve familias del grupo Coxeter de panales uniformes convexos compactos , generados como construcciones de Wythoff y representados por permutaciones de anillos de los diagramas de Coxeter para cada familia.
Los panales se dividen entre formas compactas y paracompactas definidas por grupos de Coxeter , la primera categoría solo incluye celdas finitas y figuras de vértices (subgrupos finitos), y la segunda incluye subgrupos afines.
Los nueve grupos compactos de Coxeter se enumeran aquí con sus diagramas de Coxeter , [1] en orden de los volúmenes relativos de sus dominios simples fundamentales . [2]
Estas 9 familias generan un total de 76 panales uniformes únicos. No se ha probado la lista completa de panales uniformes hiperbólicos y existe un número desconocido de formas no wythoffianas. A continuación se citan dos ejemplos conocidos con la familia {3,5,3}. Sólo dos familias están relacionadas como una reducción a la mitad de eliminación de espejo: [5,3 1,1 ] ↔ [5,3,4,1 + ].
Sólo hay dos subgrupos radicales con dominios no simpliciales que pueden generarse eliminando un conjunto de dos o más espejos separados por todos los demás espejos mediante ramas de orden par. Uno es [(4,3,4,3 * )], representado por diagramas de Coxeter.
un subgrupo de índice 6 con un dominio fundamental del trapezoedro trigonal ↔
, que se puede ampliar restaurando un espejo como
. El otro es [4,(3,5) * ], índice 120 con un dominio fundamental dodecaédrico .
También hay 23 grupos Coxeter paracompactos de rango 4 que producen panales uniformes paracompactos con facetas o figuras de vértices infinitas o ilimitadas , incluidos los vértices ideales en el infinito.
Otros grupos paracompactos de Coxeter existen como dominios fundamentales de politopos de Vinberg , incluidos estos dominios fundamentales de bipirámides triangulares (tetraedros dobles) como gráficos de rango 5 que incluyen espejos paralelos. Existen panales uniformes como todas las permutaciones de anillos en estos gráficos, con la restricción de que al menos un nodo debe estar rodeado por ramas de orden infinito.
Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo Coxeter : [3,5,3] o
Una forma no wythoffiana relacionada se construye a partir de la figura del vértice {3,5,3} con 4 vértices (dispuestos tetraédricamente) eliminados, creando antiprismas pentagonales y dodecaedros que llenan los espacios, llamado dodecaedro tetraédricamente disminuido . [3] Otro está construido sin 2 vértices antípodas. [4]
Las formas bitruncada y runcinada (5 y 6) contienen las caras de dos poliedros sesgados regulares : {4,10|3} y {10,4|3}.
Hay 15 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo Coxeter : [5,3,4] o
.
Esta familia está relacionada con el grupo [5,3 1,1 ] por una media simetría [5,3,4,1 + ], o
↔
, cuando el último espejo después de la rama de orden 4 está inactivo, o como alternativa si el tercer espejo está inactivo
↔
.
Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo Coxeter : [5,3,5] o
Las formas bitruncada y runcinada (29 y 30) contienen las caras de dos poliedros sesgados regulares : {4,6|5} y {6,4|5}.
Hay 11 formas (y solo 4 no compartidas con la familia [5,3,4]), generadas por permutaciones de anillo del grupo Coxeter : [5,3 1,1 ] o
. Si los estados del anillo de rama coinciden, una simetría extendida puede duplicarse en la familia [5,3,4].
↔.
Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo Coxeter :
Las formas bitruncada y runcinada (41 y 42) contienen las caras de dos poliedros sesgados regulares : {8,6|3} y {6,8|3}.
Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo Coxeter :
Las formas bitruncada y runcinada (50 y 51) contienen las caras de dos poliedros sesgados regulares : {10,6|3} y {6,10|3}.
Hay 6 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo Coxeter :. Hay 4 simetrías extendidas posibles según la simetría de los anillos:,
,, y.
Esta familia de simetría también está relacionada con un subgrupo radical, índice 6,↔, construido por [(4,3,4,3 * )], y representa un dominio fundamental del trapezoedro trigonal .
Las formas truncadas (57 y 58) contienen las caras de dos poliedros sesgados regulares : {6,6|4} y {8,8|3}.
Hay 9 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo Coxeter :
Las formas truncadas (65 y 66) contienen las caras de dos poliedros sesgados regulares : {10,6|3} y {6,10|3}.
Hay 6 formas, generadas por permutaciones de anillos del grupo Coxeter :. Hay 4 simetrías extendidas posibles según la simetría de los anillos:,,, y.
Las formas truncadas (72 y 73) contienen las caras de dos poliedros sesgados regulares : {6,6|5} y {10,10|3}.
Hay varios otros panales hiperbólicos compactos uniformes no wythoffianos conocidos, y no se sabe cuántos quedan por descubrir. Dos se han enumerado anteriormente como disminuciones del panal icosaédrico {3,5,3}. [6]
En 1997, Wendy Krieger descubrió una serie infinita de panales hiperbólicos uniformes con figuras de vértices pseudoicosaédricos , hechos de 8 cubos y 12 prismas p -gonales en un vértice para cualquier número entero p . En el caso p = 4, todas las celdas son cubos y el resultado es el panal cúbico de orden 5. [6]
Otros dos conocidos están relacionados con familias no compactas . La teselación
consta de cubos truncados y mosaicos triangulares de orden infinito 8 . Sin embargo, estos últimos intersectan ortogonalmente la esfera en el infinito, teniendo exactamente la misma curvatura que el espacio hiperbólico, y pueden ser reemplazados por imágenes especulares del resto del mosaico, lo que da como resultado un panal compacto y uniforme que consta únicamente de cubos truncados. (Por lo tanto, son análogas a las hemicaras de los hemipoliedros esféricos ). [6] [7] Algo similar se puede hacer con la teselación
formado por pequeños rombicuboctaedros , mosaicos triangulares de orden infinito -8 y mosaicos cuadrados de orden infinito 8 . Los mosaicos cuadrados de orden 8 ya intersectan la esfera en el infinito ortogonalmente, y si los mosaicos triangulares de orden 8 se aumentan con un conjunto de prismas triangulares , la superficie que pasa por sus puntos centrales también intersecta la esfera en el infinito ortogonalmente. Después de reemplazarlo con imágenes especulares, el resultado es un panal compacto que contiene los pequeños rombicuboctaedros y los prismas triangulares. [8]
Otro no wythoffiano fue descubierto en 2021. Tiene como figura de vértice un cubo chato al que se le quitaron 8 vértices y contiene dos octaedros y ocho cubos chatos en cada vértice. [6] Posteriormente, Krieger encontró un no wythoffiano con un cubo chato como figura de vértice, que contiene 32 tetraedros y 6 octaedros en cada vértice, y que las versiones truncadas y rectificadas de este panal todavía son uniformes. En 2022, Richard Klitzing generalizó esta construcción para utilizar cualquier desaire
como figura de vértice: el resultado es compacto para p=4 o 5 (con un cubo chato o una figura de vértice dodecaédrico chato respectivamente), paracompacto para p=6 (con un mosaico trihexagonal chato como figura de vértice), e hipercompacto para p>6 . Una vez más, las versiones truncadas y rectificadas de estos panales siguen siendo uniformes. [6]
Esta es la enumeración completa de los 76 panales uniformes de Wythoff. Las alternancias se enumeran para que estén completas, pero la mayoría no son uniformes.
