Expulsar nueves

Procedimiento aritmético de verificación de operaciones utilizando características de módulo del dígito 9.

Sacar nueves es cualquiera de los tres procedimientos aritméticos: ^[1]

• Sumar los dígitos decimales de un número entero positivo , ignorando opcionalmente cualquier 9 o dígito que sume 9 o un múltiplo de 9. El resultado de este procedimiento es un número que es más pequeño que el original siempre que el original tenga más de un dígito. deja el mismo resto que el original después de dividirlo por nueve, y puede obtenerse del original restándole un múltiplo de 9. El nombre del procedimiento deriva de esta última propiedad.
• Aplicación repetida de este procedimiento a los resultados obtenidos de aplicaciones anteriores hasta obtener un número de un solo dígito. Este número de un solo dígito se llama " raíz digital " del original. Si un número es divisible por 9, su raíz digital es 9. En caso contrario, su raíz digital es el resto que deja después de dividirlo por 9.
• Una prueba de cordura en la que se utilizan los procedimientos mencionados anteriormente para comprobar si hay errores en los cálculos aritméticos. La prueba se lleva a cabo aplicando a las raíces digitales de los operandos la misma secuencia de operaciones aritméticas que se aplican a los propios operandos. Si no se cometen errores en los cálculos, las raíces digitales de las dos resultantes serán las mismas. Si son diferentes, por tanto, se debe haber cometido uno o más errores en los cálculos.

Sumas de dígitos

Para "sacar nueves" de un solo número, sus dígitos decimales se pueden simplemente sumar para obtener la llamada suma de dígitos . La suma de dígitos de 2946, por ejemplo, es 2 + 9 + 4 + 6 = 21. Dado que 21 = 2946 − 325 × 9, el efecto de tomar la suma de dígitos de 2946 es "expulsar" 325 lotes de 9. Si se ignora el dígito 9 al sumar los dígitos, el efecto es "expulsar" un 9 más para dar el resultado 12.

De manera más general, al sacar nueves sumando dígitos, se puede ignorar cualquier conjunto de dígitos que sumen 9, o un múltiplo de 9. En el número 3264, por ejemplo, los dígitos 3 y 6 suman 9. Por lo tanto, ignorando estos dos dígitos y sumando los otros dos, obtenemos 2 + 4 = 6. Dado que 6 = 3264 − 362 × 9, este cálculo tiene resultó en descartar 362 lotes de 9 de 3264.

Para un número arbitrario, normalmente representado por la secuencia de dígitos decimales, la suma de los dígitos es . La diferencia entre el número original y la suma de sus dígitos es ${\displaystyle 10^{n}d_{n}+10^{n-1}d_{n-1}+\cdots +d_{0}}$ ${\displaystyle d_{n}d_{n-1}\dots d_{0}}$ ${\displaystyle d_{n}+d_{n-1}+\cdots +d_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&10^{n}d_{n}+10^{n-1}d_{n-1}+\cdots +d_{0}-\left(d_{n}+d_{n-1}+\cdots +d_{0}\right)\\={}&\left(10^{n}-1\right)d_{n}+\left(10^{n-1}-1\right)d_{n-1}+\cdots +9d_{1}.\end{aligned}}}$

Debido a que los números de la forma siempre son divisibles por 9 (desde ), reemplazar el número original por la suma de sus dígitos tiene el efecto de descartar ${\displaystyle 10^{i}-1}$ ${\displaystyle 10^{i}-1=9\times \left(10^{i-1}+10^{i-2}+\cdots +1\right)}$

${\displaystyle {\frac {10^{n}-1}{9}}d_{n}+{\frac {10^{n-1}-1}{9}}d_{n-1}+\cdots +d_{1}}$

muchos 9.

Raíces digitales

Si el procedimiento descrito en el párrafo anterior se aplica repetidamente al resultado de cada aplicación anterior, el resultado final será un número de un solo dígito del cual se han "eliminado" todos los 9, con la posible excepción de uno. El número de un solo dígito resultante se llama raíz digital del original. La excepción ocurre cuando el número original tiene una raíz digital de 9, cuya suma de dígitos es él mismo y, por lo tanto, no será descartado tomando más sumas de dígitos.

El número 12565, por ejemplo, tiene una suma de dígitos 1+2+5+6+5 = 19, que, a su vez, tiene una suma de dígitos 1+9=10, que, a su vez, tiene una suma de dígitos 1+0=1, un número de un solo dígito. La raíz digital de 12565 es, por tanto, 1, y su cálculo tiene el efecto de descartar (12565 - 1)/9 = 1396 lotes de 9 de 12565.

Comprobación de cálculos sacando nueves

Para verificar el resultado de un cálculo aritmético sacando nueves, cada número en el cálculo se reemplaza por su raíz digital y se aplican los mismos cálculos a estas raíces digitales. Luego se compara la raíz digital del resultado de este cálculo con la del resultado del cálculo original. Si no se ha cometido ningún error en los cálculos, estas dos raíces digitales deben ser iguales. A continuación se dan ejemplos en los que se ha utilizado el lanzamiento de nueves para comprobar la suma , la resta , la multiplicación y la división .

Ejemplos

Suma

En cada suma , tacha todos los 9 y los pares de dígitos que suman 9, luego suma lo que queda. Estos nuevos valores se denominan excesos . Sume los dígitos sobrantes para cada suma hasta llegar a un dígito. Ahora procesa la suma y también los excesos para obtener un exceso final .

Sustracción

Multiplicación

^* 8 por 8 es 64; 6 y 4 son 10; 1 y 0 son 1.

División

Cómo funciona

El método funciona porque los números originales son "decimales" (base 10), el módulo se elige para que difiera en 1 y la eliminación equivale a tomar una suma de dígitos . En general, dos números enteros "grandes", x e y , expresados ​​en cualquier módulo más pequeño como x' e y' (por ejemplo, módulo 7) siempre tendrán la misma suma, diferencia o producto que sus originales. Esta propiedad también se conserva para la 'suma de dígitos' donde la base y el módulo difieren en 1.

Si un cálculo fue correcto antes del lanzamiento, el lanzamiento en ambos lados preservará la corrección. Sin embargo, es posible que dos números enteros previamente desiguales sean idénticos módulo 9 (en promedio, una novena parte del tiempo).

La operación no funciona con fracciones, ya que un número fraccionario dado no tiene una representación única.

Una variación de la explicación.

Un truco para aprender a sumar con nueves es sumar diez al dígito y contar uno hacia atrás. Dado que sumamos 1 al dígito de las decenas y restamos uno al dígito de las unidades, la suma de los dígitos debe seguir siendo la misma. Por ejemplo, 9 + 2 = 11 con 1 + 1 = 2. Al sumar 9 a sí mismo, esperaríamos que la suma de los dígitos fuera 9 de la siguiente manera: 9 + 9 = 18, (1 + 8 = 9) y 9 + 9 + 9 = 27, (2 + 7 = 9). Veamos una multiplicación simple: 5 × 7 = 35, (3 + 5 = 8). Ahora considere (7 + 9) × 5 = 16 × 5 = 80, (8 + 0 = 8) o 7 × (9 + 5) = 7 × 14 = 98, (9 + 8 = 17), (1 + 7 = 8).

Cualquier número entero no negativo se puede escribir como 9 × n + a, donde 'a' es un solo dígito del 0 al 8 y 'n' es un número entero no negativo. Así, usando la regla distributiva, (9×n + a)×(9×m + b)= 9×9×n×m + 9(am + bn) + ab. Dado que los dos primeros factores se multiplican por 9, sus sumas terminarán siendo 9 o 0, dejándonos con 'ab'. En nuestro ejemplo, 'a' era 7 y 'b' era 5. Esperaríamos que en cualquier sistema de bases, el número anterior a esa base se comportara igual que el nueve.

Limitación a lanzar nueves

Si bien es extremadamente útil, sacar nueves no detecta todos los errores cometidos al realizar los cálculos. Por ejemplo, el método de lanzamiento de nueves no reconocería el error en un cálculo de 5 × 7 que produjo cualquiera de los resultados erróneos 8, 17, 26, etc. (es decir, cualquier resultado congruente con 8 módulo 9). En particular, sacar nueves no detecta errores de transposición , como 1324 en lugar de 1234. En otras palabras, el método sólo detecta resultados erróneos cuya raíz digital es uno de los 8 dígitos que es diferente del resultado correcto.

Historia

Una forma de descartar nueves conocida por los antiguos matemáticos griegos fue descrita por el obispo romano Hipólito (170-235) en La refutación de todas las herejías , y más brevemente por el filósofo neoplatónico sirio Jámblico (c.245-c.325) en su comentario a la Introducción a la Aritmética de Nicómaco de Gerasa . ^[2] Sin embargo, las descripciones de Hipólito y Jámblico se limitaron a una explicación de cómo se usaban sumas digitales repetidas de números griegos para calcular una "raíz" única ^[3] entre 1 y 9. Ninguno de los dos mostró conocimiento alguno de cómo Este procedimiento podría utilizarse para comprobar los resultados de los cálculos aritméticos.

La obra más antigua que se conserva y que describe cómo se puede utilizar la extracción de nueves para comprobar los resultados de cálculos aritméticos es el Mahâsiddhânta , escrito alrededor del año 950 por el matemático y astrónomo indio Aryabhata II (c.920-c.1000). ^[4] Escribiendo alrededor de 1020, el erudito persa Ibn Sina ( Avicena ) (c.980-1037), también dio todos los detalles de lo que llamó el "método hindú" de verificar cálculos aritméticos sacando nueves. ^[5]

El procedimiento fue descrito por Fibonacci en su Liber Abaci . ^[6]

Generalización

Este método se puede generalizar para determinar los restos de la división por ciertos números primos.

Dado que 3·3 = 9,

${\displaystyle n{\bmod {3}}=(n{\bmod {9}}){\bmod {3}}.}$

Entonces podemos usar el resto de sacar nueves para obtener el resto de la división por tres.

Para sacar noventa y nueves se suman grupos de dos dígitos en lugar de uno solo.

Dado que 11·9 = 99,

${\displaystyle n{\bmod {1}}1=(n{\bmod {9}}9){\bmod {1}}1.}$

Entonces podemos usar el resto de sacar noventa nueves para obtener el resto de la división entre once. A esto se le llama expulsar a los once . El mismo resultado también se puede calcular directamente sumando y restando alternativamente los dígitos que lo componen . Once divide si y sólo si once divide esa suma. ^[7] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Para sacar novecientos noventa y nueve nueves se suman grupos de tres dígitos.

Dado que 37·27 = 999,

${\displaystyle n{\bmod {3}}7=(n{\bmod {9}}99){\bmod {3}}7.}$

Entonces podemos usar el resto de sacar novecientos noventa y nueve para obtener el resto de la división entre treinta y siete.

Notas

1. Krantz (2010, págs. 67-70)
2. Heath (1921, págs. 113-117), Hipólito de Roma (1919, págs. 30-32).
3. El término griego utilizado por Hipólito era " πυθμήν " (" pitmenes ").
4. Datta y Singh (1962, págs. 180-184)
5. Datta y Singh (1962, pág.184)
6. Wells, D. Diccionario pingüino de números curiosos e interesantes . Middlesex, Inglaterra: Penguin Books, pág. 74, 1986.
7. Largo (1972, pág.83)

Referencias

• Datta, Bibhatibhusan ; Singh, Avadhesh Narayan (1962) [1935], Historia de las matemáticas hindúes: un libro de consulta, Bombay: Asia Publishing House
• Fuller, R. Buckminster (abril de 1982), Sinergética: exploraciones en la geometría del pensamiento (Nueva ed.), Nueva York, NY: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-065320-4
• Heath, Thomas (1921), Una historia de las matemáticas griegas, vol. I: De Tales a Euclides , Oxford: Oxford University Press
• Hipólito de Roma (1919) [c.230], La refutación de todas las herejías, traducido por MacMahon, JH, en Roberts & Donaldson (1919, págs. 9-153)
• Krantz, Steven G. (2010), Una historia episódica de las matemáticas: cultura matemática a través de la resolución de problemas, The Mathematical Association of America , ISBN 978-0-88385-766-3, LCCN  2010921168
• Long, Calvin T. (1972), Introducción elemental a la teoría de números (2ª ed.), Lexington: DC Heath and Company , LCCN  77171950
• Roberts, Alejandro ; Donaldson, James , eds. (1919), Los padres antenicenos. Traducciones de Los escritos de los padres hasta el 325 d.C., vol. V, reimpresión estadounidense de la edición de Edimburgo, Nueva York, NY: Charles Scribner's Sons

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Expulsar nueves". MundoMatemático .
• "Numerología" de R. Buckminster Fuller
• "Números paranormales" de Paul Niquette
• Suciedad, James. "Expulsar nueves" (vídeo) . YouTube . Brady Harán . Consultado el 13 de septiembre de 2017 .