Tasa de convergencia

Velocidad de convergencia de una secuencia matemática

En el análisis matemático , en particular en el análisis numérico , la tasa de convergencia y el orden de convergencia de una secuencia que converge a un límite son cualquiera de varias caracterizaciones de la rapidez con la que esa secuencia se acerca a su límite. Estas se dividen en general en tasas y órdenes de convergencia que describen la rapidez con la que una secuencia se acerca aún más a su límite una vez que ya está cerca de él, llamadas tasas asintóticas y órdenes de convergencia, y las que describen la rapidez con la que las secuencias se acercan a sus límites desde puntos de partida que no están necesariamente cerca de sus límites, llamadas tasas no asintóticas y órdenes de convergencia.

Las tasas asintóticas y los órdenes de convergencia tienen particular importancia tanto en la numérica práctica como en la demostración formal, y son el foco principal de este artículo. En la numérica práctica, las tasas asintóticas y los órdenes de convergencia siguen dos convenciones comunes para dos tipos de secuencias: la primera para secuencias de iteraciones de un método numérico iterativo y la segunda para secuencias de discretizaciones numéricas sucesivamente más precisas de un objetivo. En matemáticas formales, las tasas de convergencia y los órdenes de convergencia se describen a menudo utilizando la notación asintótica comúnmente llamada " notación O grande ", que puede usarse para abarcar ambas convenciones anteriores.

Para los métodos iterativos, se dice que una secuencia que converge a tiene orden de convergencia asintótico y tasa de convergencia asintótica si ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle q\geq 1}$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|x_{k+1}-L\right|}{\left|x_{k}-L\right|^{q}}}=\mu .}$^{[1] [2]}

Cuando se requiere una mayor precisión metodológica, estas tasas y órdenes de convergencia se conocen específicamente como tasas y órdenes de convergencia Q, abreviatura de convergencia-cociente, ya que el límite en cuestión es un cociente de términos de error. ^[2] Las secuencias con órdenes mayores convergen más rápidamente que aquellas con orden menor, y aquellas con tasas menores convergen más rápidamente que aquellas con tasas mayores para un orden dado. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mu }$

Este comportamiento de "tasas más pequeñas convergen más rápidamente" entre secuencias del mismo orden es estándar, pero puede ser contraintuitivo. Por lo tanto, también es común definirlo como la tasa; este es el "número de decimales adicionales de precisión por iteración" para secuencias que convergen con orden 1. ^[2] La tasa de convergencia también puede denominarse constante de error asintótico , y algunos autores usarán tasa donde este artículo usa orden (por ejemplo, ^[3] ). ${\displaystyle -\log _{10}\mu }$ ${\displaystyle \mu }$

Se utilizan conceptos similares para las secuencias de discretizaciones. Por ejemplo, idealmente, la solución de una ecuación diferencial discretizada mediante una cuadrícula regular convergerá a la solución de la ecuación diferencial continua a medida que el espaciado de la cuadrícula tiende a cero, y si es así, la tasa asintótica y el orden de esa convergencia son una caracterización importante de la eficiencia del método de discretización de cuadrícula. Se dice que una secuencia de soluciones de cuadrícula aproximadas de algún problema que converge a una solución verdadera con una secuencia correspondiente de espaciamientos de cuadrícula regulares que convergen a 0 tiene un orden asintótico de convergencia y una tasa asintótica de convergencia si ${\displaystyle (y_{k})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (h_{k})}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \lim _{k\rightarrow \infty }{\frac {\left|y_{k}-S\right|}{h_{k}^{q}}}=\mu ,}$$

donde los símbolos de valor absoluto representan una métrica de función para el espacio de soluciones, como la norma uniforme . También se aplican definiciones similares para esquemas de discretización sin cuadrícula, como las mallas poligonales de un método de elementos finitos o los conjuntos de base en química computacional : en general, la definición apropiada de la tasa asintótica implicará el límite asintótico de la relación entre algún término de error de aproximación anterior y una potencia de orden asintótico de un parámetro de escala de discretización inferior. ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle q}$

En la práctica, la tasa asintótica y el orden de convergencia de una secuencia de iteraciones o de aproximaciones proporcionan información útil cuando se utilizan métodos iterativos y métodos de discretización para calcular aproximaciones numéricas. Sin embargo, en sentido estricto, el comportamiento asintótico de una secuencia no proporciona información concluyente sobre ninguna parte finita de la secuencia.

Los métodos de aceleración de series son técnicas para mejorar la tasa de convergencia de la secuencia de sumas parciales de una serie y, posiblemente, también su orden de convergencia. Estas aceleraciones se logran comúnmente con transformaciones de secuencias .

Tasas de convergencia para métodos iterativos

Definiciones de tasa de convergencia

Supongamos que la secuencia converge al número . Se dice que la secuencia converge con orden a y con una tasa de convergencia si ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mu }$

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-L|}{|x_{k}-L|^{q}}}=\mu }$$

para alguna constante positiva si y si . ^{[2] [4] [5]} Si la secuencia converge pero o el límite no existe, entonces se requieren otras definiciones de velocidad más técnicas. ^[6] Esta definición se llama técnicamente Q-convergencia, abreviatura de convergencia de cociente, y las velocidades y órdenes se denominan velocidades y órdenes de Q-convergencia cuando se necesita esa especificidad técnica. Compare el § R-convergencia a continuación. ${\displaystyle \mu \in (0,1)}$ ${\displaystyle q=1}$ ${\displaystyle \mu \in (0,\infty )}$ ${\displaystyle q>1}$ ${\textstyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-L|}{|x_{k}-L|}}=1}$

No es necesario que sea un número entero. Por ejemplo, el método de la secante , al converger a una raíz regular simple , tiene un orden de la proporción áurea φ ≈ 1,618. ^{[ cita requerida ]} Sin embargo, las potencias enteras son comunes y reciben nombres comunes. La convergencia con orden y se llama convergencia lineal y se dice que la secuencia converge linealmente a . La convergencia con y cualquiera se llama convergencia cuadrática y se dice que la secuencia converge cuadráticamente . La convergencia con y cualquiera se llama convergencia cúbica. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q=1}$ ${\displaystyle \mu \in (0,1)}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle q=2}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle q=3}$ ${\displaystyle \mu }$

En general, cuando una secuencia converge de manera superlineal (es decir, más rápido que lineal) para cualquier secuencia que la satisfaga, se dice que converge de manera superlineal (es decir, más rápido que lineal). ^{[2] [7]} Se dice que una secuencia converge de manera sublineal (es decir, más lento que lineal) si converge y Una secuencia converge logarítmicamente a si la secuencia converge de manera sublineal y también ^[6] ${\displaystyle q>1}$ ${\textstyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-L|}{|x_{k}-L|}}=0,}$ ${\textstyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-L|}{|x_{k}-L|}}=1.}$ ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle L}$ ${\textstyle \lim _{k\to \infty }{\frac {|x_{k+1}-x_{k}|}{|x_{k}-x_{k-1}|}}=1.}$

R-convergencia

Las definiciones de tasas de convergencia Q tienen la deficiencia de que no capturan naturalmente el comportamiento de convergencia de secuencias que convergen, pero no convergen con una tasa asintóticamente constante en cada paso, de modo que el límite de convergencia Q no existe. Una clase de ejemplos son las progresiones geométricas escalonadas que se acercan a sus límites solo cada dos pasos o cada varios pasos, por ejemplo el ejemplo detallado a continuación (donde se aplica la función de piso a ). ${\textstyle (b_{k})=1,1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{16}},\ldots ,1/4^{\left\lfloor {\frac {k}{2}}\right\rfloor },\ldots }$ ${\textstyle \lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle x}$

En tales casos, es más apropiada una definición estrechamente relacionada pero más técnica de la tasa de convergencia llamada R-convergencia; el prefijo "R-" significa "raíz". ^{[2] [8] : 620} Se dice que una secuencia que converge a converge al menos R-linealmente si existe una secuencia que limita el error tal que y converge Q-linealmente a cero; se aplican definiciones análogas para la convergencia R-superlineal, la convergencia R-sublineal, la convergencia R-cuadrática, etc. ^{[2] [9]} ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (\varepsilon _{k})}$ ${\textstyle |x_{k}-L|\leq \varepsilon _{k}\quad {\text{for all }}k}$ ${\displaystyle (\varepsilon _{k})}$

Para definir las tasas y los órdenes de convergencia R, se utiliza la tasa y el orden de convergencia Q de una secuencia con límites de error elegida de modo que no se hubiera podido elegir ninguna otra secuencia con límites de error que convergiera con una tasa y un orden más rápidos. Cualquiera proporciona un límite inferior para la tasa y el orden de convergencia R y el límite inferior más grande proporciona la tasa y el orden exactos de convergencia R. ${\displaystyle (\varepsilon _{k})}$ ${\displaystyle (\varepsilon '_{k})}$ ${\displaystyle (\varepsilon '_{k})}$

Ejemplos

La progresión geométrica converge a . Introduciendo la secuencia en la definición de convergencia Q-lineal (es decir, orden de convergencia 1) se muestra que ${\textstyle (a_{k})=1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{32}},\ldots ,1/{2^{k}},\dots }$ ${\displaystyle L=0}$

$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {\left|1/2^{k+1}-0\right|}{\left|1/2^{k}-0\right|}}=\lim _{k\to \infty }{\frac {2^{k}}{2^{k+1}}}={\frac {1}{2}}.}$$

Por lo tanto, converge Q-linealmente con una tasa de convergencia de ; vea el primer gráfico de la figura a continuación. ${\displaystyle (a_{k})}$ ${\displaystyle \mu =1/2}$

De manera más general, para cualquier , una progresión geométrica converge linealmente con una tasa y la secuencia de sumas parciales de una serie geométrica también converge linealmente con una tasa . Lo mismo se aplica también a las progresiones geométricas y series geométricas parametrizadas por cualquier número complejo ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ,r\in (-1,1)}$ ${\displaystyle (ar^{k})}$ ${\displaystyle |r|}$ ${\textstyle (\sum _{n=0}^{k}ar^{n})}$ ${\displaystyle |r|}$ ${\displaystyle a\in \mathbb {C} ,r\in \mathbb {C} ,|r|<1.}$

La progresión geométrica escalonada que utiliza la función de piso que da el entero más grande que es menor o igual a converge R-linealmente a 0 con una tasa de 1/2, pero no converge Q-linealmente; vea el segundo gráfico de la figura a continuación. Los límites de convergencia Q-lineal definitorios no existen para esta secuencia porque una subsecuencia de cocientes de error (la secuencia de cocientes tomados de pasos impares) tiene un límite diferente que otra subsecuencia (la secuencia de cocientes tomados de pasos pares). Generalmente, para cualquier progresión geométrica escalonada , la secuencia no convergerá Q-linealmente pero convergerá R-linealmente con una tasa; estos ejemplos resaltan por qué la "R" en convergencia R-lineal es la abreviatura de "raíz". ${\textstyle (b_{k})=1,1,{\frac {1}{4}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{16}},\ldots ,1/4^{\left\lfloor {\frac {k}{2}}\right\rfloor },\ldots ,}$ ${\textstyle \lfloor x\rfloor }$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle (ar^{\lfloor k/m\rfloor })}$ ${\textstyle {\sqrt[{m}]{|r|}};}$

La secuencia converge a cero de manera Q-superlineal. De hecho, es cuadráticamente convergente con una tasa de convergencia cuadrática de 1. Esto se muestra en el tercer gráfico de la figura siguiente. $${\displaystyle (c_{k})={\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{256}},{\frac {1}{65,\!536}},\ldots ,{\frac {1}{2^{2^{k}}}},\ldots }$$

Finalmente, la secuencia converge a cero de forma Q-sublineal y logarítmica y su convergencia se muestra como el cuarto gráfico de la figura siguiente. $${\displaystyle (d_{k})=1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},\ldots ,{\frac {1}{k+1}},\ldots }$$

Gráficos log-lineales de las secuencias de ejemplo a _k , b _k , c _k y d _k que ejemplifican tasas de convergencia lineal, lineal, superlineal (cuadrática) y sublineal, respectivamente.

Tasas de convergencia a puntos fijos de secuencias recurrentes

Las secuencias recurrentes , llamadas iteraciones de punto fijo , definen sistemas dinámicos autónomos en el tiempo discreto y tienen importantes aplicaciones generales en matemáticas a través de varios teoremas de punto fijo sobre su comportamiento de convergencia. Cuando f es continuamente diferenciable , dado un punto fijo p , tal que , el punto fijo es un punto fijo atractivo y la secuencia recurrente convergerá al menos linealmente a p para cualquier valor inicial suficientemente cercano a p . Si y , entonces la secuencia recurrente convergerá al menos cuadráticamente, y así sucesivamente. Si , entonces el punto fijo es un punto fijo repulsivo y las secuencias no pueden converger a p desde sus vecindarios inmediatos , aunque aún pueden saltar a p directamente desde fuera de sus vecindarios locales. ${\textstyle x_{k+1}:=f(x_{k})}$ ${\textstyle f(p)=p,}$ ${\textstyle |f'(p)|<1}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle |f'(p)|=0}$ ${\textstyle |f''(p)|<1}$ ${\displaystyle |f'(p)|>1}$

Estimación de pedidos

Un método práctico para calcular el orden de convergencia de una secuencia generada por una iteración de punto fijo es calcular la siguiente secuencia, que converge al orden : ^[10] ${\displaystyle q}$ $${\displaystyle q\approx {\frac {\log \left|\displaystyle {\frac {x_{k+1}-x_{k}}{x_{k}-x_{k-1}}}\right|}{\log \left|\displaystyle {\frac {x_{k}-x_{k-1}}{x_{k-1}-x_{k-2}}}\right|}}.}$$

Para una aproximación numérica de un valor exacto a través de un método numérico de orden, véase ^{[11] .} ${\displaystyle q}$

Tasas de convergencia para métodos de discretización

Existe una situación similar para los métodos de discretización diseñados para aproximar una función , que podría ser una integral que se aproxima por cuadratura numérica o la solución de una ecuación diferencial ordinaria (ver el ejemplo a continuación). El método de discretización genera una secuencia , donde cada sucesiva es una función de junto con el espaciado de la cuadrícula entre valores sucesivos de la variable independiente . El parámetro importante aquí para la tasa de convergencia a es el espaciado de la cuadrícula , inversamente proporcional al número de puntos de la cuadrícula, es decir, el número de puntos en la secuencia necesarios para alcanzar un valor dado de . ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle {y_{0},y_{1},y_{2},y_{3},...}}$ ${\displaystyle y_{j}}$ ${\displaystyle y_{j-1},y_{j-2},...}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle x}$

En este caso, se dice que las aproximaciones convergen a con orden q si existe una constante C tal que ${\displaystyle (y_{n})}$ ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle |y_{n}-f(x_{n})|<Ch^{q}{\text{ for all }}n.}$

Esto se escribe utilizando la notación O grande . ${\displaystyle |y_{n}-f(x_{n})|={\mathcal {O}}(h^{q})}$

Esta es la definición relevante cuando se discuten métodos para la cuadratura numérica o la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO). ^{[ ejemplo necesario ]}

Un método práctico para estimar el orden de convergencia de un método de discretización consiste en elegir tamaños de paso y calcular los errores resultantes y . El orden de convergencia se aproxima entonces mediante la siguiente fórmula: ${\displaystyle h_{\text{new}}}$ ${\displaystyle h_{\text{old}}}$ ${\displaystyle e_{\text{new}}}$ ${\displaystyle e_{\text{old}}}$

${\displaystyle q\approx {\frac {\log(e_{\text{new}}/e_{\text{old}})}{\log(h_{\text{new}}/h_{\text{old}})}},}$^{[ cita requerida ]}

que proviene de escribir el error de truncamiento, en los espaciados de cuadrícula antiguos y nuevos, como

${\displaystyle e=|y_{n}-f(x_{n})|={\mathcal {O}}(h^{q}).}$

El error es, más específicamente, un error de truncamiento global (GTE), ya que representa una suma de errores acumulados en todas las iteraciones, a diferencia de un error de truncamiento local (LTE) en una sola iteración. ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle n}$

Ejemplo

Consideremos la ecuación diferencial ordinaria

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-\kappa y}$

con condición inicial . Podemos aproximar una solución a esta ecuación utilizando una secuencia que aplique el método de Euler directo para discretización numérica utilizando cualquier espaciado de cuadrícula regular y puntos de cuadrícula indexados por de la siguiente manera: ${\displaystyle y(0)=y_{0}}$ ${\displaystyle (y_{n})}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {y_{n+1}-y_{n}}{h}}=-\kappa y_{n},}$

lo que implica la recurrencia lineal de primer orden con coeficientes constantes

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}(1-h\kappa ).}$

Dado , la secuencia que satisface esa recurrencia es la progresión geométrica ${\displaystyle y(0)=y_{0}}$

$${\displaystyle y_{n}=y_{0}(1-h\kappa )^{n}=y_{0}\left(1-nh\kappa +{\frac {n(n-1)}{2}}h^{2}\kappa ^{2}+....\right).}$$

La solución analítica exacta de la ecuación diferencial es , correspondiente a la siguiente expansión de Taylor en : ${\displaystyle y=f(x)=y_{0}\exp(-\kappa x)}$ ${\displaystyle nh\kappa }$ $${\displaystyle f(x_{n})=f(nh)=y_{0}\exp(-\kappa nh)=y_{0}\left(1-nh\kappa +{\frac {n^{2}h^{2}\kappa ^{2}}{2}}+...\right).}$$

Por lo tanto, el error de la aproximación discreta en cada punto discreto es

$${\displaystyle |y_{n}-f(x_{n})|={\frac {nh^{2}\kappa ^{2}}{2}}+\ldots }$$

Para cualquier , dada una secuencia de aproximaciones de Euler hacia adelante , cada una utilizando espaciamientos de cuadrícula que se dividen de modo que , se tiene ${\displaystyle x=p}$ ${\displaystyle ((y_{n})_{k})}$ ${\displaystyle h_{k}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle n_{p,k}=p/h_{k}}$

$${\displaystyle \lim _{h_{k}\rightarrow 0}{\frac {|y_{k}(p)-f(p)|}{h_{k}}}=\lim _{h_{k}\rightarrow 0}{\frac {|y_{k,n_{p,k}}-f(h_{k}n_{p,k})|}{h_{k}}}={\frac {h_{k}n_{p,k}\kappa ^{2}}{2}}={\frac {p\kappa ^{2}}{2}}}$$

para cualquier secuencia de cuadrículas con espaciamientos de cuadrícula sucesivamente más pequeños . Por lo tanto, converge a puntualmente con un orden de convergencia y un error asintótico constante en cada punto. De manera similar, la secuencia converge uniformemente con el mismo orden y con tasa en cualquier intervalo acotado de , pero no converge uniformemente en el conjunto ilimitado de todos los valores reales positivos, ${\displaystyle h_{k}}$ ${\displaystyle ((y_{n})_{k})}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle q=1}$ ${\displaystyle p\kappa ^{2}/2}$ ${\displaystyle p>0.}$ ${\displaystyle L\kappa ^{2}/2}$ ${\displaystyle p\leq L}$ ${\displaystyle [0,\infty ).}$

Aceleración de las tasas de convergencia

Existen muchos métodos para aumentar la tasa de convergencia de una secuencia dada, es decir, para transformar una secuencia dada en una segunda que converge más rápidamente al mismo límite. Tales técnicas se conocen en general como métodos de " aceleración de series ". Estos pueden reducir los costos computacionales de aproximar los límites de las secuencias transformadas. Un ejemplo de aceleración de series es el proceso delta-cuadrado de Aitken . Estos métodos en general (y en particular el método de Aitken) no aumentan el orden de convergencia, y son útiles solo si inicialmente la convergencia no es más rápida que lineal: si converge linealmente, se obtiene una secuencia que todavía converge linealmente (excepto casos especiales diseñados patológicamente), pero más rápida en el sentido de que . Por otro lado, si la convergencia ya es de orden ≥ 2, el método de Aitken no aportará ninguna mejora. ${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle (a_{k})}$ ${\textstyle \lim _{k\rightarrow \infty }(a_{k}-L)/(x_{k}-L)=0}$

Referencias

1. Ruye, Wang (12 de febrero de 2015). "Orden y tasa de convergencia". hmc.edu . Consultado el 31 de julio de 2020 .
2. Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (1999). Optimización numérica (1.ª ed.). Nueva York, NY: Springer. pp. 28–29. ISBN 978-0-387-98793-4.
3. Senning, Jonathan R. "Cálculo y estimación de la tasa de convergencia" (PDF) . gordon.edu . Consultado el 7 de agosto de 2020 .
4. Hundley, Douglas. "Tasa de convergencia" (PDF) . Whitman College . Consultado el 13 de diciembre de 2020 .
5. Porta, FA (1989). "Sobre el orden Q y el orden R de convergencia" (PDF) . Journal of Optimization Theory and Applications . 63 (3): 415–431. doi :10.1007/BF00939805. S2CID  116192710 . Consultado el 31 de julio de 2020 .
6. Van Tuyl, Andrew H. (1994). "Aceleración de la convergencia de una familia de secuencias logarítmicamente convergentes" (PDF) . Matemáticas de la computación . 63 (207): 229–246. doi :10.2307/2153571. JSTOR  2153571 . Consultado el 2 de agosto de 2020 .
7. Arnold, Mark. "Orden de convergencia" (PDF) . Universidad de Arkansas . Consultado el 13 de diciembre de 2022 .
8. Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006). Optimización numérica (2.ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-30303-1.
9. Bockelman, Brian (2005). "Tasas de convergencia". math.unl.edu . Consultado el 31 de julio de 2020 .
10. Senning, Jonathan R. "Cálculo y estimación de la tasa de convergencia" (PDF) . gordon.edu . Consultado el 7 de agosto de 2020 .
11. Senning, Jonathan R. "Verificación de tasas de convergencia numérica" ​​(PDF) . Consultado el 9 de febrero de 2024 .

Literatura

La definición simple se utiliza en

• Michelle Schatzman (2002), Análisis numérico: una introducción matemática , Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-850279-6 . 

La definición ampliada se utiliza en

• Walter Gautschi (1997), Análisis numérico: una introducción, Birkhäuser, Boston. ISBN 0-8176-3895-4 . 
• Endre Süli y David Mayers (2003), Introducción al análisis numérico, Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1 . 

La definición de Big O se utiliza en

• Richard L. Burden y J. Douglas Faires (2001), Análisis numérico (7.ª ed.), Brooks/Cole. ISBN 0-534-38216-9 

Los términos Q-lineal y R-lineal se utilizan en

• Nocedal, Jorge; Wright, Stephen J. (2006). Optimización numérica (2.ª ed.). Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . pp. 619+620. ISBN 978-0-387-30303-1..