Convergencia puntual

Una noción de convergencia en matemáticas

En matemáticas , la convergencia puntual es uno de varios sentidos en los que una secuencia de funciones puede converger en una función particular. Es más débil que la convergencia uniforme , con la que a menudo se la compara. ^{[1] [2]}

Definición

Supongamos que es un conjunto y es un espacio topológico , como los números reales o complejos o un espacio métrico , por ejemplo. Se dice que una secuencia de funciones que tienen todas el mismo dominio y codominio converge puntualmente a una función dada, a menudo escrita como ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}=f\ {\mbox{pointwise}}}$$

límite de la secuencia ${\displaystyle f_{n}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$

$${\displaystyle \forall x\in X.\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x).}$$

límite puntual ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \left(f_{n}\right).}$

La definición se generaliza fácilmente desde secuencias hasta redes . Decimos converger puntualmente a , escrito como ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}}$ ${\displaystyle f_{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \lim _{a\in A}f_{a}=f\ {\mbox{pointwise}}}$$

${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f_{\bullet }(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \forall x\in X.\lim _{a\in A}f_{a}(x)=f(x).}$$

A veces, los autores utilizan el término convergencia puntual acotada cuando existe una constante tal que . ^[3] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \forall n,x,\;|f_{n}(x)|<C}$

Propiedades

Este concepto a menudo se contrasta con la convergencia uniforme . Para decir eso

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}=f\ {\mbox{uniformly}}}$$

$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in A\,\}=0,}$$

supremo ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{n}}$ ${\displaystyle \sup }$ ${\displaystyle f_{n}:[0,1)\to [0,1)}$ ${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n},}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0}$ ${\displaystyle [0,1),}$

El límite puntual de una secuencia de funciones continuas puede ser una función discontinua, pero sólo si la convergencia no es uniforme. Por ejemplo,

$${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }\cos(\pi x)^{2n}}$$

${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x}$

Los valores de las funciones no necesitan ser números reales, pero pueden estar en cualquier espacio topológico , para que el concepto de convergencia puntual tenga sentido. La convergencia uniforme, por otro lado, no tiene sentido para funciones que toman valores en espacios topológicos en general, pero sí tiene sentido para funciones que toman valores en espacios métricos y, más generalmente, en espacios uniformes . ${\displaystyle f_{n}}$

Topología

Denotemos el conjunto de todas las funciones de un conjunto dado en algún espacio topológico. Como se describe en el artículo sobre caracterizaciones de la categoría de espacios topológicos , si se cumplen ciertas condiciones, entonces es posible definir una topología única en un conjunto en términos de los cuales las redes convergen y no convergen . La definición de convergencia puntual cumple estas condiciones y por eso induce una topología , llamada ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$topología de convergencia puntual , en el conjuntode todas las funciones de la forma A net inconverge en esta topología si y solo si converge puntualmente. ${\displaystyle Y^{X}}$ ${\displaystyle X\to Y.}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

La topología de la convergencia puntual es la misma que la convergencia en la topología del producto en el espacio donde está el dominio y el codominio. Explícitamente, si es un conjunto de funciones de algún conjunto en algún espacio topológico , entonces la topología de convergencia puntual es igual a la topología subespacial que hereda del espacio del producto cuando se identifica como un subconjunto de este producto cartesiano a través del mapa de inclusión canónico. definido por ${\displaystyle Y^{X},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \prod _{x\in X}Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to \prod _{x\in X}Y}$ ${\displaystyle f\mapsto (f(x))_{x\in X}.}$

Si el codominio es compacto , entonces, según el teorema de Tychonoff , el espacio también es compacto. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y^{X}}$

Convergencia en casi todas partes

En teoría de la medida , se habla casi en todas partes de convergencia de una secuencia de funciones mensurables definidas en un espacio mensurable . Eso significa convergencia puntual en casi todas partes , es decir, en un subconjunto del dominio cuyo complemento tiene medida cero. El teorema de Egorov establece que la convergencia puntual en casi todas partes en un conjunto de medidas finitas implica una convergencia uniforme en un conjunto ligeramente más pequeño.

Casi en todas partes la convergencia puntual en el espacio de funciones en un espacio de medidas no define la estructura de una topología en el espacio de funciones mensurables en un espacio de medidas (aunque es una estructura de convergencia ). Porque en un espacio topológico, cuando cada subsecuencia de una secuencia tiene en sí misma una subsecuencia con el mismo límite subsiguiente , la secuencia misma debe converger a ese límite.

Pero considere la secuencia de las funciones denominadas "rectángulos galopantes", que se definen mediante la función Floor : let , mod y let. ${\displaystyle N=\operatorname {floor} \left(\log _{2}n\right)}$ ${\displaystyle k=n}$ ${\displaystyle 2^{N},}$

$${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}1,&{\frac {k}{2^{N}}}\leq x\leq {\frac {k+1}{2^{N}}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

Entonces, cualquier subsecuencia de la secuencia tiene una subsubsecuencia que a su vez converge casi en todas partes a cero, por ejemplo, la subsecuencia de funciones que no desaparecen en Pero en ningún punto la secuencia original converge puntualmente a cero. Por lo tanto, a diferencia de la convergencia en medida y la convergencia , la convergencia puntual en casi todas partes no es la convergencia de ninguna topología en el espacio de funciones. ${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n}}$ ${\displaystyle x=0.}$ ${\displaystyle L^{p}}$

Ver también

• Topología de caja
• Espacio de convergencia  : generalización de la noción de convergencia que se encuentra en la topología general.
• Juego de cilindros  : juego básico natural en espacios de productoPáginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa
• Lista de topologías  - Lista de topologías concretas y espacios topológicos
• Modos de convergencia (índice anotado)  : índice anotado de varios modos de convergencia
• Topologías en espacios de mapas lineales.
• Topología débil  - Término matemático
• Topología débil *  - Término matemáticoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento

Referencias

1. Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático . McGraw-Hill . ISBN 0-07-054235-X.
2. Munkres, James R. (2000). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.
3. Li, Zenghu (2011). "Procesos de Markov de ramificación de valores de medida" . Saltador. ISBN 978-3-642-15003-6.