Derivado de material

Tasa de cambio en el tiempo de alguna cantidad física de un elemento material en un campo de velocidad

En mecánica continua , la derivada material ^{[1] [2]} describe la tasa de cambio temporal de alguna cantidad física (como el calor o el momento ) de un elemento material que está sujeto a un campo de velocidad macroscópico dependiente del espacio y el tiempo . La derivada material puede servir como vínculo entre las descripciones eulerianas y lagrangianas de la deformación continua . ^[3]

Por ejemplo, en dinámica de fluidos , el campo de velocidades es la velocidad del flujo y la cantidad de interés podría ser la temperatura del fluido. En cuyo caso, la derivada del material describe el cambio de temperatura de una determinada porción de fluido con el tiempo, a medida que fluye a lo largo de su trayectoria (trayectoria).

Otros nombres

Hay muchos otros nombres para el derivado material, entre ellos:

• derivada advetiva ^[4]
• derivada convectiva ^[5]
• derivada siguiendo el movimiento ^[1]
• derivado hidrodinámico ^[1]
• Derivado lagrangiano ^[6]
• derivado de partículas ^[7]
• derivada sustancial ^[1]
• derivada sustantiva ^[8]
• Derivado de Stokes ^[8]
• derivada total , ^{[1] [9]} aunque la derivada material es en realidad un caso especial de la derivada total ^[9]

Definición

La derivada material se define para cualquier campo tensorial y que sea macroscópico , en el sentido de que depende sólo de las coordenadas de posición y tiempo, y = y ( x , t ) :

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} y}{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial y}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla y,}$$

∇ yderivada covarianteu ( x , t )velocidad del flujou ·∇ yderivada tensorial aerodinámicau ·(∇ y )derivada direccional( u ·∇) y^[10]D / Dtu ·∇^[2]advección

Campos escalares y vectoriales

Por ejemplo, para un campo escalar macroscópico φ ( x , t ) y un campo vectorial macroscópico A ( x , t ) la definición se convierte en:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi ,\\[3pt]{\frac {\mathrm {D} \mathbf {A} }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} .\end{aligned}}}$$

En el caso escalar, ∇ φ es simplemente el gradiente de un escalar, mientras que ∇ A es la derivada covariante del vector macroscópico (que también puede considerarse como la matriz jacobiana de A en función de x ). En particular, para un campo escalar en un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) , las componentes de la velocidad u son u ₁ , u ₂ , u ₃ , y el término convectivo es entonces:

$${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \varphi =u_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{3}}}.}$$

Desarrollo

Considere una cantidad escalar φ = φ ( x , t ) , donde t es el tiempo y x es la posición. Aquí φ puede ser alguna variable física como la temperatura o la concentración química. La cantidad física, cuya cantidad escalar es φ , existe en un continuo, y cuya velocidad macroscópica está representada por el campo vectorial u ( x , t ) .

La derivada (total) con respecto al tiempo de φ se expande usando la regla de la cadena multivariada :

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi (\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi .}$$

Es evidente que esta derivada depende del vector

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\equiv {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}},}$$

elegido x ( t )derivada parcialconstante ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0} }$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=0}$

Un ejemplo de este caso es el de un nadador que se queda quieto y siente un cambio de temperatura en un lago temprano en la mañana: el agua se calienta gradualmente debido al calentamiento del sol. En cuyo caso el término es suficiente para describir la tasa de cambio de temperatura. ${\displaystyle {\partial \varphi }/{\partial t}}$

Si el sol no calienta el agua (es decir ), pero la trayectoria x ( t ) no está parada, la derivada temporal de φ puede cambiar debido a la trayectoria. Por ejemplo, imagine que el nadador está en un charco de agua inmóvil, en el interior y sin verse afectado por el sol. Un extremo está a una temperatura alta constante y el otro extremo a una temperatura baja constante. Al nadar de un extremo al otro, el nadador siente un cambio de temperatura con respecto al tiempo, aunque la temperatura en cualquier punto dado (estático) sea constante. Esto se debe a que la derivada se toma en el lugar de cambio del nadador y el segundo término de la derecha es suficiente para describir la tasa de cambio de temperatura. Un sensor de temperatura conectado al nadador mostraría que la temperatura varía con el tiempo, simplemente debido a la variación de temperatura de un extremo de la piscina al otro. ${\displaystyle {\partial \varphi }/{\partial t}=0}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi }$

La derivada del material finalmente se obtiene cuando se elige la trayectoria x ( t ) para que tenga una velocidad igual a la velocidad del fluido.

$${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {u} .}$$

Es decir, el camino sigue la corriente de fluido descrita por el campo de velocidad del fluido u . Entonces, la derivada material del escalar φ es

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi .}$$

Un ejemplo de este caso es una partícula liviana y de flotabilidad neutra arrastrada a lo largo de un río que fluye y experimenta cambios de temperatura mientras lo hace. La temperatura del agua localmente puede estar aumentando debido a que una parte del río está soleada y la otra a la sombra, o que el agua en su conjunto puede estar calentándose a medida que avanza el día. Los cambios debidos al movimiento de la partícula (a su vez causados ​​por el movimiento del fluido) se denominan advección (o convección si se transporta un vector).

La definición anterior se basó en la naturaleza física de una corriente fluida; sin embargo, no se invocó ninguna ley de la física (por ejemplo, se suponía que una partícula ligera en un río seguiría la velocidad del agua), pero resulta que muchos conceptos físicos se pueden describir de forma concisa utilizando la derivada material. Sin embargo, el caso general de la advección depende de la conservación de la masa de la corriente de fluido; la situación se vuelve ligeramente diferente si la advección ocurre en un medio no conservador.

Sólo se consideró un camino para el escalar anterior. Para un vector, el gradiente se convierte en una derivada tensorial ; para campos tensoriales es posible que deseemos tener en cuenta no solo la traslación del sistema de coordenadas debido al movimiento del fluido sino también su rotación y estiramiento. Esto se logra mediante la derivada del tiempo convectiva superior .

Coordenadas ortogonales

Se puede demostrar que, en coordenadas ortogonales , la j -ésima componente del término de convección de la derivada material de un campo vectorial viene dada por ^[11] ${\displaystyle \mathbf {A} }$

$${\displaystyle [\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} ]_{j}=\sum _{i}{\frac {u_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {A_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(u_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-u_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right),}$$

donde los h _i están relacionados con los tensores métricos por ${\displaystyle h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}.}$

En el caso especial de un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional ( x , y , z ) y A es un 1-tensor (un vector con tres componentes), esto es simplemente:

$${\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\frac {\partial (A_{x},A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}\mathbf {u} }$$

donde es una matriz jacobiana . ${\displaystyle {\frac {\partial (A_{x},A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}}$

Ver también

• Ecuaciones de Navier-Stokes
• Ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos)
• Derivada (generalizaciones)
• Derivado de mentira
• Conexión Levi-Civita
• aceleración espacial
• gradiente espacial

Referencias

1. pájaro, RB; Stewart, NOSOTROS; Lightfoot, EN (2007). Fenómenos del transporte (Segunda ed. revisada). John Wiley e hijos. pag. 83.ISBN​ 978-0-470-11539-8.
2. Batchelor, GK (1967). Introducción a la dinámica de fluidos . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 72–73. ISBN 0-521-66396-2.
3. Trenberth, KE (1993). Modelado del sistema climático . Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 99.ISBN​ 0-521-43231-6.
4. Majda, A. (2003). Introducción a las PDE y las Ondas para la Atmósfera y el Océano . Notas de conferencias de Courant sobre matemáticas. vol. 9. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 1.ISBN​ 0-8218-2954-8.
5. Ockendon, H .; Ockendon, JR (2004). Ondas y flujo compresible . Saltador. pag. 6.ISBN​ 0-387-40399-X.
6. Mellor, GL (1996). Introducción a la Oceanografía Física . Saltador. pag. 19.ISBN​ 1-56396-210-1.
7. Stoker, JJ (1992). Ondas de agua: la teoría matemática con aplicaciones . Wiley. pag. 5.ISBN​ 0-471-57034-6.
8. Granger, RA (1995). Mecánica de fluidos . Publicaciones de Courier Dover. pag. 30.ISBN​ 0-486-68356-7.
9. Landau, LD ; Lifshitz, EM (1987). Mecánica de fluidos . Curso de Física Teórica. vol. 6 (2ª ed.). Butterworth-Heinemann. págs. 3–4 y 227. ISBN 0-7506-2767-0.
10. Emanuel, G. (2001). Dinámica de fluidos analítica (segunda ed.). Prensa CRC. págs. 6–7. ISBN 0-8493-9114-8.
11. Eric W. Weisstein . "Operador convectivo". MundoMatemático . Consultado el 22 de julio de 2008 .

Otras lecturas

• Cohen, Ira M.; Kundu, Pijush K (2008). Mecánica de fluidos (4ª ed.). Prensa académica . ISBN 978-0-12-373735-9.
• Lai, Michael; Krempl, Erhard; Rubén, David (2010). Introducción a la mecánica del continuo (4ª ed.). Elsevier. ISBN 978-0-7506-8560-3.