Contradicción

Incompatibilidad lógica entre dos o más proposiciones

Este diagrama muestra las relaciones contradictorias entre proposiciones categóricas en el cuadrado de oposición de la lógica aristotélica .

En la lógica tradicional , una contradicción ocurre cuando una proposición entra en conflicto consigo misma o con un hecho establecido . A menudo se utiliza como herramienta para detectar creencias falsas y prejuicios . Ilustrando una tendencia general en la lógica aplicada, la ley de no contradicción de Aristóteles establece que "Es imposible que la misma cosa pueda pertenecer y no pertenecer al mismo tiempo al mismo objeto y en el mismo respecto". ^[1]

En la lógica formal moderna y la teoría de tipos , el término se utiliza principalmente para una sola proposición, a menudo denotada por el símbolo falsum ; Una proposición es una contradicción si de ella se puede derivar algo falso , utilizando las reglas de la lógica. Es una proposición que es incondicionalmente falsa (es decir, una proposición autocontradictoria). ^{[2] [3]} Esto se puede generalizar a una colección de proposiciones, que luego se dice que "contiene" una contradicción. ${\displaystyle \bot }$

Historia

Al crear una paradoja , el diálogo de Platón con Eutidemo demuestra la necesidad de la noción de contradicción . En el diálogo que sigue, Dionisodoro niega la existencia de "contradicción", mientras Sócrates lo contradice:

... Yo en mi asombro dije: ¿Qué quieres decir Dionisodoro? A menudo he oído, y me ha asombrado, esta tesis suya, que mantienen y emplean los discípulos de Protágoras y otros anteriores a ellos, y que me parece bastante maravillosa, suicida y destructiva. Creo que es más probable que escuche la verdad de usted. La máxima es que no existe la falsedad; un hombre debe decir la verdad o no decir nada. ¿No es esa tu posición?

De hecho, Dionisodoro está de acuerdo en que "no existe la opinión falsa... no existe la ignorancia", y exige a Sócrates que "me refute". Sócrates responde: "¿Pero cómo puedo refutarte si, como dices, decir una mentira es imposible?". ^[4]

En lógica formal

En lógica clásica, particularmente en lógica proposicional y de primer orden , una proposición es una contradicción si y sólo si . Dado que para contradictorio es cierto que para todos (porque ), se puede probar cualquier proposición a partir de un conjunto de axiomas que contenga contradicciones. Esto se llama " principio de explosión ", o "ex falso quodlibet" ("de la falsedad se sigue cualquier cosa"). ^[5] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi \vdash \bot }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \vdash \varphi \rightarrow \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \bot \vdash \psi }$

En una lógica completa , una fórmula es contradictoria si y sólo si es insatisfactoria .

Prueba por contradicción

Para un conjunto de premisas consistentes y una proposición , es cierto en lógica clásica que (es decir, prueba ) si y sólo si (es decir, y conduce a una contradicción). Por lo tanto, una prueba que también demuestra que es cierta bajo las premisas . El uso de este hecho forma la base de una técnica de prueba llamada prueba por contradicción , que los matemáticos utilizan ampliamente para establecer la validez de una amplia gama de teoremas. Esto se aplica sólo en una lógica donde la ley del tercero excluido se acepta como un axioma. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Sigma \vdash \varphi }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Sigma \cup \{\neg \varphi \}\vdash \bot }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \neg \varphi }$ ${\displaystyle \Sigma \cup \{\neg \varphi \}\vdash \bot }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle A\vee \neg A}$

Utilizando la lógica mínima , una lógica con axiomas similares a la lógica clásica pero sin quodlibet ex falso y prueba por contradicción, podemos investigar la fuerza axiomática y las propiedades de varias reglas que tratan la contradicción considerando teoremas de la lógica clásica que no son teoremas de la lógica mínima. ^[6] Cada una de estas extensiones conduce a una lógica intermedia :

1. La eliminación de doble negación (DNE) es el principio más fuerte, axiomatizado , y cuando se agrega a la lógica mínima se obtiene la lógica clásica. ${\displaystyle \neg \neg A\implies A}$
2. Ex falso quodlibet (EFQ), axiomatizado , autoriza muchas consecuencias de las negaciones, pero normalmente no ayuda a inferir proposiciones que no implican absurdo a partir de proposiciones consistentes que sí lo hacen. Cuando se agrega a la lógica mínima, EFQ produce una lógica intuicionista . EFQ equivale a ex contradicción quodlibet , axiomatizada , sobre lógica mínima. ${\displaystyle \bot \implies A}$ ${\displaystyle A\land \neg A\implies B}$
3. La regla de Peirce (PR) es un axioma que captura la prueba por contradicción sin referirse explícitamente al absurdo. La lógica mínima + PR + EFQ produce lógica clásica. ${\displaystyle ((A\implies B)\implies A)\implies A}$
4. El axioma de Gödel-Dummett (GD) , cuya lectura más sencilla es que existe un orden lineal sobre los valores de verdad. La lógica mínima + GD produce la lógica de Gödel-Dummett . La regla de Peirce implica, pero no está implicada, por GD una lógica mínima. ${\displaystyle A\implies B\vee B\implies A}$
5. La ley del tercero excluido (LEM), axiomatizada , es la formulación más citada del principio de bivalencia , pero en ausencia de EFQ no produce una lógica clásica completa. La lógica mínima + LEM + EFQ produce lógica clásica. Las relaciones públicas implican, pero no están implicadas, LEM en una lógica mínima. Si la fórmula B en la regla de Peirce se restringe al absurdo, dando el esquema axioma , el esquema es equivalente a LEM sobre lógica mínima. ${\displaystyle A\vee \neg A}$ ${\displaystyle (\neg A\implies A)\implies A}$
6. La ley débil del tercero excluido (WLEM) está axiomatizada y produce un sistema donde la disyunción se comporta más como en la lógica clásica que en la lógica intuicionista, es decir, las propiedades de disyunción y existencia no se mantienen, pero donde el uso del razonamiento no intuicionista está marcado por ocurrencias. de doble negación en la conclusión. LEM implica, pero no está implicado, WLEM en una lógica mínima. WLEM es equivalente al caso de la ley de De Morgan que distribuye la negación sobre la conjunción: . ${\displaystyle \neg A\vee \neg \neg A}$ ${\displaystyle \neg (A\land B)\iff (\neg A)\vee (\neg B)}$

Representación simbólica

En matemáticas, el símbolo utilizado para representar una contradicción dentro de una prueba varía. ^[7] Algunos símbolos que pueden usarse para representar una contradicción incluyen ↯, Opq, , ⊥, / y ※; en cualquier simbolismo, una contradicción puede sustituir el valor de verdad " falso ", simbolizado, por ejemplo, por "0" (como es común en el álgebra de Boole ). No es raro ver QED , o algunas de sus variantes, inmediatamente después de un símbolo de contradicción. De hecho, esto ocurre a menudo en una prueba por contradicción para indicar que se demostró que el supuesto original era falso y, por tanto, que su negación debe ser verdadera. ${\displaystyle \Rightarrow \Leftarrow }$ ${\displaystyle \leftrightarrow \ \!\!\!\!\!\!\!}$

La noción de contradicción en un sistema axiomático y una prueba de su consistencia.

En general, una prueba de coherencia requiere las dos cosas siguientes:

1. Un sistema axiomático
2. Una demostración de que no es cierto que tanto la fórmula p como su negación ~p puedan derivarse en el sistema.

Pero sea cual sea el método que se utilice, todas las pruebas de coherencia parecerían necesitar la noción primitiva de contradicción. Además, parece que esta noción tendría que estar simultáneamente "fuera" del sistema formal en la definición de tautología.

Cuando Emil Post , en su "Introducción a una teoría general de proposiciones elementales" de 1921, amplió su prueba de la consistencia del cálculo proposicional (es decir, la lógica) más allá de la de los Principia Mathematica (PM), observó que con respecto a una teoría generalizada conjunto de postulados (es decir, axiomas), ya no podría invocar automáticamente la noción de "contradicción"; tal noción podría no estar contenida en los postulados:

El principal requisito de un conjunto de postulados es que sea coherente. Puesto que la noción ordinaria de coherencia implica la de contradicción, que a su vez implica negación, y puesto que esta función no aparece en general como una primitiva en [el conjunto generalizado de postulados], se debe dar una nueva definición. ^[8]

La solución de Post al problema se describe en la demostración "Un ejemplo de una prueba absoluta de coherencia exitosa", ofrecida por Ernest Nagel y James R. Newman en su Prueba de Gödel de 1958 . También observaron un problema con respecto a la noción de "contradicción" con sus habituales "valores de verdad" de "verdad" y "falsedad". Observaron que:

La propiedad de ser una tautología se ha definido en nociones de verdad y falsedad. Sin embargo, estas nociones obviamente implican una referencia a algo fuera del cálculo de fórmulas. Por lo tanto, el procedimiento mencionado en el texto ofrece efectivamente una interpretación del cálculo, proporcionando un modelo para el sistema. Siendo así, los autores no han hecho lo que prometieron, es decir, " definir una propiedad de las fórmulas en términos de características puramente estructurales de las fórmulas mismas ". [De hecho] ... las pruebas de coherencia que se basan en modelos y que argumentan desde la verdad de los axiomas hasta su coherencia, simplemente cambian el problema. ^[9]

Dadas algunas "fórmulas primitivas" como las primitivas de PM S ₁ VS ₂ [OR inclusive] y ~S (negación), uno se ve obligado a definir los axiomas en términos de estas nociones primitivas. De manera exhaustiva, Post lo demuestra en PM y define (al igual que Nagel y Newman, véase más adelante) que la propiedad de lo tautólogo –aún por definir– es "heredada": si se comienza con un conjunto de axiomas tautólogos (postulados ) y un sistema de deducción que contiene sustitución y modus ponens , entonces un sistema consistente producirá sólo fórmulas tautólogas.

Sobre el tema de la definición de tautólogo , Nagel y Newman crean dos clases mutuamente excluyentes y exhaustivas K ₁ y K ₂ , en las que caen (el resultado de) los axiomas cuando sus variables (por ejemplo, S ₁ y S ₂ se asignan a partir de estas clases). ). Esto también se aplica a las fórmulas primitivas. Por ejemplo: "Una fórmula que tiene la forma S ₁ VS ₂ se coloca en la clase K ₂ , si tanto S ₁ como S ₂ están en K ₂ ; de lo contrario, se coloca en K ₁ ", y "Una fórmula que tiene la forma ~S se coloca en K ₂ , si S está en K ₁ ; en caso contrario se coloca en K ₁ ". ^[10]

De ahí que Nagel y Newman puedan definir ahora la noción de tautólogo : "una fórmula es una tautología si y sólo si cae en la clase K ₁ , sin importar en cuál de las dos clases se coloquen sus elementos". ^[11] De esta manera, se describe la propiedad de "ser tautólogo", sin referencia a un modelo o una interpretación.

Por ejemplo, dada una fórmula como ~S ₁ VS ₂ y una asignación de K ₁ a S ₁ y K ₂ a S ₂ , se puede evaluar la fórmula y colocar su resultado en una u otra de las clases. La asignación de K ₁ a S ₁ coloca ~S ₁ en K ₂ , y ahora podemos ver que nuestra asignación hace que la fórmula caiga en la clase K ₂ . Así, por definición, nuestra fórmula no es una tautología.

Post observó que, si el sistema fuera inconsistente, una deducción en él (es decir, la última fórmula de una secuencia de fórmulas derivadas de las tautologías) podría en última instancia producir el propio S. Como una asignación a la variable S puede provenir de la clase K ₁ o K ₂ , la deducción viola la característica de herencia de la tautología (es decir, la derivación debe producir una evaluación de una fórmula que caerá en la clase K ₁ ). A partir de esto, Post pudo derivar la siguiente definición de inconsistencia, sin el uso de la noción de contradicción :

Definición. Se dirá que un sistema es inconsistente si produce la afirmación de la variable no modificada p [S en los ejemplos de Newman y Nagel].

En otras palabras, se puede prescindir de la noción de "contradicción" al construir una prueba de coherencia; lo que la reemplaza es la noción de clases "mutuamente excluyentes y exhaustivas". Un sistema axiomático no necesita incluir la noción de "contradicción". ^{[ cita necesaria ]}

Filosofía

Los partidarios de la teoría epistemológica del coherentismo suelen afirmar que, como condición necesaria para la justificación de una creencia , esa creencia debe formar parte de un sistema de creencias lógicamente no contradictorio . Algunos dialeteistas , incluido Graham Priest , han argumentado que la coherencia puede no requerir consistencia. ^[12]

Contradicciones pragmáticas

Una contradicción pragmática ocurre cuando el enunciado mismo del argumento contradice las afirmaciones que pretende. En este caso surge una inconsistencia porque el acto de expresión, más que el contenido de lo que se dice, socava su conclusión. ^[13]

Materialismo dialéctico

En el materialismo dialéctico : La contradicción, derivada del hegelianismo , generalmente se refiere a una oposición que existe inherentemente dentro de un reino, una fuerza u objeto unificado. Esta contradicción, a diferencia del pensamiento metafísico, no es algo objetivamente imposible, porque estas fuerzas contradictorias existen en la realidad objetiva, no anulándose entre sí, sino definiendo en realidad la existencia de cada una. Según la teoría marxista , tal contradicción se puede encontrar, por ejemplo, en el hecho de que:

• (a) coexisten enormes riquezas y poderes productivos con:
• (b) extrema pobreza y miseria;
• (c) la existencia de (a) es contraria a la existencia de (b).

Las teorías hegelianas y marxistas estipulan que la naturaleza dialéctica de la historia conducirá a la superación o síntesis de sus contradicciones. Por lo tanto, Marx postuló que la historia lógicamente haría que el capitalismo evolucionara hacia una sociedad socialista donde los medios de producción servirían por igual a la clase trabajadora y productora de la sociedad, resolviendo así la contradicción previa entre (a) y (b). ^[14]

Fuera de la lógica formal

El uso coloquial puede etiquetar acciones o declaraciones como contradictorias entre sí cuando se deben (o se perciben como debidas) a presuposiciones que son contradictorias en el sentido lógico.

La prueba por contradicción se utiliza en matemáticas para construir pruebas .

El método científico utiliza la contradicción para refutar una mala teoría.

Ver también

• "Argument Clinic"  : boceto de Monty Python, en el que uno de los dos litigantes utiliza repetidamente solo contradicciones en su argumento.
• Autoantónimo  : palabra que tiene dos significados opuestos.Páginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Contrario (lógica)  – Tipo de diagrama lógicoPáginas que muestran descripciones breves de los objetivos de redireccionamiento
• Dialeteísmo  : considera que hay afirmaciones que son tanto verdaderas como falsas.
• Doble rasero  : aplicación inconsistente de los principios
• Doblepensamiento  : aceptar simultáneamente dos creencias mutuamente contradictorias como correctas.
• La jerarquía de desacuerdo de Graham
• Ironía  : recurso retórico y técnica literaria.
• Ley de no contradicción
• Sobre la contradicción  - ensayo de 1937 de Mao Zedong
• Oxímoron  – Figura retórica
• Lógica paraconsistente  : tipo de lógica formal sin principio de explosión
• Paradoja  – Declaración que aparentemente se contradice
• Tautología  : en lógica, una afirmación que siempre es cierta.
• TRIZ  – Herramientas para la resolución de problemas

notas y referencias

1. Horn, Laurence R. (2018), "Contradiction", en Zalta, Edward N. (ed.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2018), Metaphysics Research Lab, Universidad de Stanford , consultado el 10 de diciembre de 2019
2. "Contradicción (lógica)". TheFreeDictionary.com . Consultado el 14 de agosto de 2020 .
3. "Tautologías, contradicciones y contingencias". www.skillfulreasoning.com . Consultado el 14 de agosto de 2020 .
4. Diálogo Eutidemo de Los Diálogos de Platón traducido por Benjamin Jowett que aparece en: BK 7 Platón : Robert Maynard Hutchins , editor en jefe, 1952, Grandes libros del mundo occidental , Encyclopædia Britannica , Inc., Chicago .
5. "Ex falso quodlibet - Referencia de Oxford". www.oxfordreference.com . Consultado el 10 de diciembre de 2019 .
6. Diener y Maarten McKubre-Jordens, 2020. Clasificación de las implicaciones materiales sobre la lógica mínima. Archivo de Lógica Matemática 59 (7-8): 905-924.
7. Pakin, Scott (19 de enero de 2017). "La lista completa de símbolos LATEX" (PDF) . ctan.espejo.rafal.ca . Consultado el 10 de diciembre de 2019 .
8. "Introducción a una teoría general de proposiciones elementales" posterior a 1921 en van Heijenoort 1967:272.
9. Se agregaron negrita y cursiva, Nagel y Newman: 109-110.
10. Nagel y Newman: 110-111
11. Nagel y Newman: 111
12. En contradicción: un estudio de lo transconsistente por Graham Priest
13. Stoljar, Daniel (2006). Ignorancia e imaginación . Oxford University Press - EE. UU. p. 87.ISBN _ 0-19-530658-9.
14. Sørensen, Michael Kuur (2006). "Capital y trabajo: ¿se puede resolver el conflicto?". La Revista Interdisciplinaria de Estudios Internacionales . 4 (1): 29–48 . Consultado el 28 de mayo de 2017 .

Bibliografía

• Józef Maria Bocheński 1960 Précis of Mathematical Logic , traducido de las ediciones francesa y alemana por Otto Bird, D. Reidel, Dordrecht, Holanda Meridional.
• Jean van Heijenoort 1967 De Frege a Gödel: un libro de consulta en lógica matemática 1879-1931 , Harvard University Press, Cambridge, MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.) 
• Ernest Nagel y James R. Newman 1958 Prueba de Gödel , New York University Press, número de catálogo de tarjetas: 58-5610.

enlaces externos

• "Contradicción (inconsistencia)", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Contradicción, ley de", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Horn, Laurence R. "Contradicción". En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de Filosofía de Stanford .