La contracción de longitud es el fenómeno por el cual se mide que la longitud de un objeto en movimiento es más corta que su longitud adecuada , que es la longitud medida en el marco de reposo del propio objeto . [1] También se conoce como contracción de Lorentz o contracción de Lorentz-FitzGerald (en honor a Hendrik Lorentz y George Francis FitzGerald ) y generalmente solo se nota a una fracción sustancial de la velocidad de la luz . La contracción longitudinal se produce sólo en la dirección en la que se desplaza el cuerpo. Para los objetos estándar, este efecto es insignificante a velocidades cotidianas y puede ignorarse para todos los propósitos habituales, y solo se vuelve significativo cuando el objeto se acerca a la velocidad de la luz en relación con el observador.
La contracción de longitud fue postulada por George FitzGerald (1889) y Hendrik Antoon Lorentz (1892) para explicar el resultado negativo del experimento de Michelson-Morley y rescatar la hipótesis del éter estacionario ( hipótesis de la contracción de Lorentz-FitzGerald ). [2] [3] Aunque tanto FitzGerald como Lorentz aludieron al hecho de que los campos electrostáticos en movimiento se deformaban ("Heaviside-Ellipsoid" en honor a Oliver Heaviside , quien derivó esta deformación de la teoría electromagnética en 1888), se consideró una hipótesis ad hoc. , porque en ese momento no había razones suficientes para suponer que las fuerzas intermoleculares se comportaran de la misma manera que las electromagnéticas. En 1897, Joseph Larmor desarrolló un modelo en el que se consideraba que todas las fuerzas eran de origen electromagnético, y la contracción de longitud parecía ser una consecuencia directa de este modelo. Sin embargo, Henri Poincaré (1905) demostró que las fuerzas electromagnéticas por sí solas no pueden explicar la estabilidad del electrón. Por eso tuvo que introducir otra hipótesis ad hoc: fuerzas de unión no eléctricas ( tensiones de Poincaré ) que garantizan la estabilidad del electrón, dan una explicación dinámica de la contracción de longitud y ocultan así el movimiento del éter estacionario. [4]
A Albert Einstein (1905) se le atribuye [4] la eliminación del carácter ad hoc de la hipótesis de la contracción, al derivar esta contracción de sus postulados en lugar de datos experimentales. [5] Hermann Minkowski dio la interpretación geométrica de todos los efectos relativistas introduciendo su concepto de espacio-tiempo de cuatro dimensiones . [6]
Primero es necesario considerar cuidadosamente los métodos para medir la longitud de los objetos en reposo y en movimiento. [7] Aquí, "objeto" simplemente significa una distancia con puntos finales que siempre están mutuamente en reposo, es decir , que están en reposo en el mismo marco de referencia inercial . Si la velocidad relativa entre un observador (o sus instrumentos de medición) y el objeto observado es cero, entonces la longitud adecuada del objeto puede determinarse simplemente superponiendo directamente una varilla de medición. Sin embargo, si la velocidad relativa es mayor que cero, entonces se puede proceder de la siguiente manera:
El observador instala una fila de relojes que están sincronizados a) mediante el intercambio de señales luminosas según la sincronización de Poincaré-Einstein , o b) mediante "transporte de reloj lento", es decir, un reloj se transporta a lo largo de la fila de relojes en el límite de velocidad de transporte que desaparece . Ahora, cuando finaliza el proceso de sincronización, el objeto se mueve a lo largo de la fila del reloj y cada reloj almacena la hora exacta cuando pasa el extremo izquierdo o derecho del objeto. Después de eso, el observador sólo tiene que mirar la posición de un reloj A que almacenaba la hora en la que pasaba el extremo izquierdo del objeto, y un reloj B en el que pasaba el extremo derecho del objeto al mismo tiempo. . Está claro que la distancia AB es igual a la longitud del objeto en movimiento. [7] Utilizando este método, la definición de simultaneidad es crucial para medir la longitud de objetos en movimiento.
Otro método es utilizar un reloj que indica su hora adecuada , que viaja de un extremo de la varilla al otro en el tiempo medido por los relojes en el marco de reposo de la varilla. La longitud de la varilla se puede calcular multiplicando su tiempo de viaje por su velocidad, es decir, en el marco de reposo de la varilla o en el marco de reposo del reloj. [8]
En la mecánica newtoniana, la simultaneidad y la duración del tiempo son absolutas y, por tanto, ambos métodos conducen a la igualdad de y . Sin embargo, en la teoría de la relatividad, la constancia de la velocidad de la luz en todos los sistemas inerciales en relación con la relatividad de la simultaneidad y la dilatación del tiempo destruye esta igualdad. En el primer método, un observador en un marco afirma haber medido los puntos finales del objeto simultáneamente, pero los observadores en todos los demás marcos inerciales argumentarán que los puntos finales del objeto no se midieron simultáneamente. En el segundo método, los tiempos y no son iguales debido a la dilatación del tiempo, lo que da como resultado también diferentes longitudes.
La desviación entre las mediciones en todos los marcos inerciales viene dada por las fórmulas para la transformación de Lorentz y la dilatación del tiempo (ver Derivación). Resulta que la longitud adecuada permanece sin cambios y siempre denota la longitud mayor de un objeto, y la longitud del mismo objeto medida en otro sistema de referencia inercial es más corta que la longitud adecuada. Esta contracción sólo ocurre a lo largo de la línea de movimiento y puede representarse mediante la relación
dónde
Reemplazar el factor de Lorentz en la fórmula original conduce a la relación
En esta ecuación, ambos y se miden paralelos a la línea de movimiento del objeto. Para el observador en movimiento relativo, la longitud del objeto se mide restando las distancias medidas simultáneamente de ambos extremos del objeto. Para conversiones más generales, consulte las transformaciones de Lorentz . Un observador en reposo que observara un objeto que se desplaza muy cerca de la velocidad de la luz observaría que la longitud del objeto en la dirección del movimiento es muy cercana a cero.
Luego, a una velocidad de13 400 000 m/s (30 millones de mph, 0,0447 c ) la longitud contraída es el 99,9% de la longitud en reposo; a una velocidad de42.300.000 m/s (95 millones de mph, 0,141 c ), la longitud sigue siendo del 99% . A medida que la magnitud de la velocidad se acerca a la velocidad de la luz, el efecto se vuelve prominente.
El principio de relatividad (según el cual las leyes de la naturaleza son invariantes en los sistemas de referencia inerciales) requiere que la contracción de la longitud sea simétrica: si una varilla está en reposo en un sistema inercial , tiene su longitud adecuada en y su longitud se contrae en . Sin embargo, si una varilla reposa en , tiene su longitud adecuada en y su longitud está contraída en . Esto se puede ilustrar vívidamente mediante diagramas simétricos de Minkowski , porque la transformación de Lorentz corresponde geométricamente a una rotación en el espacio- tiempo de cuatro dimensiones . [9] [10]
Las fuerzas magnéticas son causadas por una contracción relativista cuando los electrones se mueven en relación con los núcleos atómicos. La fuerza magnética sobre una carga en movimiento junto a un cable que transporta corriente es el resultado del movimiento relativista entre electrones y protones. [11] [12]
En 1820, André-Marie Ampère demostró que los cables paralelos con corrientes en la misma dirección se atraen entre sí. En el marco de referencia de los electrones, el cable en movimiento se contrae ligeramente, lo que hace que los protones del cable opuesto sean localmente más densos . Como los electrones en el cable opuesto también se mueven, no se contraen (tanto). Esto da como resultado un aparente desequilibrio local entre electrones y protones; los electrones en movimiento en un cable son atraídos por los protones adicionales en el otro. También se puede considerar lo contrario. En el marco de referencia del protón estático, los electrones se mueven y se contraen, lo que produce el mismo desequilibrio. La velocidad de deriva de los electrones es relativamente muy lenta, del orden de un metro por hora, pero la fuerza entre un electrón y un protón es tan enorme que incluso a esta velocidad tan lenta la contracción relativista causa efectos significativos.
Este efecto también se aplica a partículas magnéticas sin corriente, donde la corriente se reemplaza con espín electrónico. [ cita necesaria ]
Cualquier observador que se mueva conjuntamente con el objeto observado no puede medir la contracción del objeto, porque puede juzgarse a sí mismo y al objeto como en reposo en el mismo marco inercial de acuerdo con el principio de la relatividad (como lo demostró el experimento de Trouton-Rankine ). . Por tanto, la contracción de la longitud no se puede medir en el marco de reposo del objeto, sino sólo en un marco en el que el objeto observado está en movimiento. Además, incluso en un marco sin co-movimiento, es difícil lograr confirmaciones experimentales directas de la contracción de la longitud, porque en el estado actual de la tecnología, los objetos de extensión considerable no pueden acelerarse a velocidades relativistas. Y los únicos objetos que viajan con la velocidad requerida son las partículas atómicas, aunque cuyas extensiones espaciales son demasiado pequeñas para permitir una medición directa de la contracción.
Sin embargo, existen confirmaciones indirectas de este efecto en un marco sin co-movimiento:
En 1911, Vladimir Varićak afirmó que, según Lorentz, la contracción de la longitud se ve de forma objetiva, mientras que, según Einstein, es "sólo un fenómeno aparente y subjetivo, causado por la forma de regular nuestro reloj y medir la longitud". [20] [21] Einstein publicó una refutación:
El autor manifestó injustificadamente una diferencia entre el punto de vista de Lorentz y el mío respecto de los hechos físicos . La pregunta de si realmente existe o no la contracción de la longitud es engañosa. No existe "realmente", en la medida en que no existe para un observador en movimiento; aunque existe "realmente", es decir , de tal manera que, en principio, un observador inmóvil podría demostrarlo por medios físicos. [22]
—Albert Einstein, 1911
Einstein también argumentó en ese artículo que la contracción de la longitud no es simplemente el producto de definiciones arbitrarias sobre la forma en que se realizan las regulaciones del reloj y las mediciones de longitud. Presentó el siguiente experimento mental: Sean A'B' y A"B" los puntos finales de dos varillas de la misma longitud adecuada L 0 , medida en x' y x" respectivamente. Déjelas que se muevan en direcciones opuestas a lo largo de la línea x. * eje, considerado en reposo, a la misma velocidad con respecto a él. Los extremos A'A" se encuentran entonces en el punto A*, y B'B" se encuentran en el punto B*. Einstein señaló que la longitud A*B* es más corta que A'B' o A"B", lo que también se puede demostrar poniendo en reposo una de las varillas con respecto a ese eje. [22]
Debido a la aplicación superficial de la fórmula de contracción, pueden ocurrir algunas paradojas. Algunos ejemplos son la paradoja de la escalera y la paradoja de la nave espacial de Bell . Sin embargo, esas paradojas pueden resolverse mediante una correcta aplicación de la relatividad de la simultaneidad. Otra paradoja famosa es la paradoja de Ehrenfest , que demuestra que el concepto de cuerpos rígidos no es compatible con la relatividad, reduciendo la aplicabilidad de la rigidez de Born , y mostrando que para un observador co-rotativo la geometría es de hecho no euclidiana .
La contracción de longitud se refiere a mediciones de posición realizadas en momentos simultáneos según un sistema de coordenadas. Esto podría sugerir que si uno pudiera tomar una fotografía de un objeto que se mueve rápidamente, la imagen mostraría el objeto contraído en la dirección del movimiento. Sin embargo, estos efectos visuales son mediciones completamente diferentes, ya que una fotografía de este tipo se toma a distancia, mientras que la contracción de la longitud sólo se puede medir directamente en la ubicación exacta de los puntos finales del objeto. Varios autores, como Roger Penrose y James Terrell , demostraron que los objetos en movimiento generalmente no aparecen contraídos en longitud en una fotografía. [23] Este resultado fue popularizado por Victor Weisskopf en un artículo de Physics Today. [24] Por ejemplo, para un diámetro angular pequeño, una esfera en movimiento permanece circular y gira. [25] Este tipo de efecto de rotación visual se llama rotación de Penrose-Terrell. [26]
La contracción de longitud se puede derivar de varias maneras:
En un sistema de referencia inercial S, sean y denoten los puntos finales de un objeto en movimiento. En este marco, la longitud del objeto se mide, de acuerdo con las convenciones anteriores, determinando las posiciones simultáneas de sus puntos finales en . Mientras tanto, la longitud adecuada de este objeto, medida en su sistema de reposo S', se puede calcular utilizando la transformación de Lorentz. Transformar las coordenadas de tiempo de S a S' da como resultado tiempos diferentes, pero esto no es problemático, ya que el objeto está en reposo en S' donde no importa cuándo se miden los puntos finales. Por tanto es suficiente la transformación de las coordenadas espaciales, lo que da: [7]
Dado que , y estableciendo y , la longitud adecuada en S' viene dada por
Por lo tanto, la longitud del objeto, medida en el marco S, se contrae por un factor :
Asimismo, según el principio de relatividad, un objeto que esté en reposo en S también estará contraído en S'. Al intercambiar los signos y números primos anteriores simétricamente, se deduce que
Así, un objeto en reposo en S, cuando se mide en S', tendrá la longitud contraída
Por el contrario, si el objeto reposa en S y se conoce su longitud adecuada, la simultaneidad de las mediciones en los puntos finales del objeto debe considerarse en otro sistema S', ya que el objeto cambia constantemente su posición allí. Por lo tanto, se deben transformar tanto las coordenadas espaciales como las temporales: [27]
Calculando el intervalo de longitud , así como suponiendo una medición de tiempo simultánea , y conectando la longitud adecuada , se obtiene lo siguiente:
La ecuación (2) da
que, cuando se conecta a (1), demuestra que se convierte en la longitud contratada :
Asimismo, el mismo método da un resultado simétrico para un objeto en reposo en S':
La contracción de la longitud también puede derivarse de la dilatación del tiempo , [28] según la cual el ritmo de un único reloj "en movimiento" (que indica su hora adecuada ) es menor con respecto a dos relojes "en reposo" sincronizados (que indican ). La dilatación del tiempo se confirmó experimentalmente varias veces y está representada por la relación:
Supongamos que una varilla de longitud adecuada en reposo y un reloj en reposo se mueven uno junto al otro con rapidez . Dado que, según el principio de relatividad, la magnitud de la velocidad relativa es la misma en cualquier sistema de referencia, los tiempos de viaje respectivos del reloj entre los puntos finales de la varilla están dados por in y in , por lo tanto y . Al insertar la fórmula de dilatación del tiempo, la relación entre esas longitudes es:
Por lo tanto, la longitud medida en está dada por
Entonces, dado que el tiempo de viaje del reloj a través de la varilla es más largo en que en (dilatación del tiempo en ), la longitud de la varilla también es más larga en que en (contracción de longitud en ). Asimismo, si el reloj estuviera en reposo y la varilla en , el procedimiento anterior daría
Consideraciones geométricas adicionales muestran que la contracción de la longitud puede considerarse como un fenómeno trigonométrico , con analogía con los cortes paralelos a través de un cuboide antes y después de una rotación en E 3 (ver la mitad izquierda de la figura a la derecha). Este es el análogo euclidiano del impulso de un cuboide en E 1,2 . En el último caso, sin embargo, podemos interpretar el cuboide impulsado como la losa mundial de una placa en movimiento.
Imagen : Izquierda: un cuboide rotado en el espacio euclidiano tridimensional E 3 . La sección transversal es más larga en el sentido de la rotación que antes de la rotación. Derecha: la losa mundial de una placa delgada en movimiento en el espacio-tiempo de Minkowski (con una dimensión espacial suprimida) E 1,2 , que es un cuboide impulsado . La sección transversal es más delgada en la dirección del impulso que antes del impulso. En ambos casos, las direcciones transversales no se ven afectadas y los tres planos que se encuentran en cada esquina de los cuboides son mutuamente ortogonales (en el sentido de E 1,2 a la derecha y en el sentido de E 3 a la izquierda).
En relatividad especial, las transformaciones de Poincaré son una clase de transformaciones afines que pueden caracterizarse como transformaciones entre gráficos de coordenadas cartesianas alternativas en el espacio-tiempo de Minkowski correspondientes a estados alternativos de movimiento inercial (y diferentes elecciones de un origen ). Las transformaciones de Lorentz son transformaciones de Poincaré que son transformaciones lineales (conservan el origen). Las transformaciones de Lorentz desempeñan el mismo papel en la geometría de Minkowski (el grupo de Lorentz forma el grupo de isotropía de las autoisometrías del espacio-tiempo) que desempeñan las rotaciones en la geometría euclidiana. De hecho, la relatividad especial se reduce en gran medida al estudio de una especie de trigonometría no euclidiana en el espacio-tiempo de Minkowski, como sugiere la siguiente tabla:
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