Proceso estocástico continuo

Proceso estocástico que es una función continua del tiempo o parámetro índice.

En teoría de la probabilidad , un proceso estocástico continuo es un tipo de proceso estocástico que puede decirse que es " continuo " como una función de su parámetro "tiempo" o índice. La continuidad es una propiedad agradable para (las trayectorias de muestra de) un proceso, ya que implica que se comportan bien en algún sentido y, por lo tanto, son mucho más fáciles de analizar. Aquí está implícito que el índice del proceso estocástico es una variable continua. Algunos autores ^[1] definen un "proceso continuo (estocástico)" como aquel que solo requiere que la variable índice sea continua, sin continuidad de las trayectorias de muestra: en otra terminología, esto sería un proceso estocástico de tiempo continuo , en paralelo a un "proceso de tiempo discreto". Dada la posible confusión, es necesario tener cuidado. ^[1]

Definiciones

Sea (Ω, Σ,  P ) un espacio de probabilidad , sea T un intervalo de tiempo y sea X  :  T  × Ω →  S un proceso estocástico. Para simplificar, en el resto de este artículo se tomará como espacio de estados S la línea real R , pero las definiciones se aplican mutatis mutandis si S es R ⁿ , un espacio vectorial normado o incluso un espacio métrico general .

Continuidad casi segura

Dado un tiempo t  ∈  T , se dice que X es continua con probabilidad uno en t si

${\displaystyle \mathbf {P} \left(\left\{\omega \in \Omega \left|\lim _{s\to t}{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}=0\right.\right\}\right)=1.}$

Continuidad cuadrática media

Dado un tiempo t  ∈  T , se dice que X es continua en el cuadrado medio en t si E [| X _t | ² ] < +∞ y

${\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {E} \left[{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}^{2}\right]=0.}$

Continuidad en probabilidad

Dado un tiempo t  ∈  T , se dice que X es continuo en probabilidad en t si, para todo ε  > 0,

${\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {P} \left(\left\{\omega \in \Omega \left|{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}\geq \varepsilon \right.\right\}\right)=0.}$

De manera equivalente, X es continua en probabilidad en el tiempo t si

${\displaystyle \lim _{s\to t}\mathbf {E} \left[{\frac {{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}}{1+{\big |}X_{s}-X_{t}{\big |}}}\right]=0.}$

Continuidad en la distribución

Dado un tiempo t  ∈  T , se dice que X es continua en distribución en t si

${\displaystyle \lim _{s\to t}F_{s}(x)=F_{t}(x)}$

para todos los puntos x en los que F _t es continua, donde F _t denota la función de distribución acumulativa de la variable aleatoria X _t .

Continuidad de la muestra

Se dice que X es muestral continuo si X _t ( ω ) es continuo en t para P - casi todos los ω  ∈ Ω. La continuidad muestral es la noción apropiada de continuidad para procesos como las difusiones de Itō .

Continuidad de Feller

Se dice que X es un proceso Feller-continuo si, para cualquier t fijo  ∈  T y cualquier función acotada , continua y Σ -medible g  :  S  →  R , E ^x [ g ( X _t )] depende continuamente de x . Aquí x denota el estado inicial del proceso X , y E ^x denota expectativa condicional al evento de que X comience en x .

Relaciones

Las relaciones entre los distintos tipos de continuidad de los procesos estocásticos son similares a las relaciones entre los distintos tipos de convergencia de las variables aleatorias . En particular:

• continuidad con probabilidad uno implica continuidad en probabilidad;
• la continuidad del cuadrado medio implica continuidad de la probabilidad;
• la continuidad con probabilidad no implica, ni es implicada por, la continuidad en el cuadrado medio;
• La continuidad en la probabilidad implica, pero no está implicada por, la continuidad en la distribución.

Es tentador confundir la continuidad con probabilidad uno con la continuidad muestral. La continuidad con probabilidad uno en el tiempo t significa que P ( A _t ) = 0, donde el evento A _t está dado por

${\displaystyle A_{t}=\left\{\omega \in \Omega \left|\lim _{s\to t}{\big |}X_{s}(\omega )-X_{t}(\omega ){\big |}\neq 0\right.\right\},}$

y es perfectamente factible comprobar si esto se cumple o no para cada t  ∈  T . La continuidad de la muestra, por otra parte, requiere que P ( A ) = 0, donde

${\displaystyle A=\bigcup _{t\in T}A_{t}.}$

A es una unión incontable de eventos, por lo que puede no ser en realidad un evento en sí mismo, por lo que P ( A ) puede no estar definido. Peor aún, incluso si A es un evento, P ( A ) puede ser estrictamente positivo incluso si P ( A _t ) = 0 para cada t  ∈  T . Este es el caso, por ejemplo, del proceso telegráfico .

Notas

1. Dodge, Y. (2006) The Oxford Dictionary of Statistical Terms , OUP. ISBN  0-19-920613-9 (Entrada para "proceso continuo")

Referencias

• Kloeden, Peter E.; Platina, Eckhard (1992). Solución numérica de ecuaciones diferenciales estocásticas . Aplicaciones de las matemáticas (Nueva York) 23. Berlín: Springer-Verlag. págs. 38–39. ISBN 3-540-54062-8.
• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (sexta edición). Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1.(Véase el Lema 8.1.4)