En matemáticas , dados dos conjuntos parcialmente ordenados P y Q , una función f : P → Q entre ellos es Scott-continua (nombrada en honor al matemático Dana Scott ) si preserva todos los supremos dirigidos . Es decir, para cada subconjunto dirigido D de P con supremo en P , su imagen tiene un supremo en Q , y ese supremo es la imagen del supremo de D , es decir , donde es la unión dirigida. [1] Cuando es el conjunto parcial de valores de verdad, es decir, el espacio de Sierpiński , entonces las funciones Scott-continuas son funciones características de los conjuntos abiertos, y por lo tanto el espacio de Sierpiński es el espacio de clasificación para los conjuntos abiertos. [2]
Un subconjunto O de un conjunto parcialmente ordenado P se denomina Scott-abierto si es un conjunto superior y si es inaccesible por uniones dirigidas , es decir, si todos los conjuntos dirigidos D con supremo en O tienen intersección no vacía con O. Los subconjuntos Scott-abiertos de un conjunto parcialmente ordenado P forman una topología sobre P , la topología de Scott . Una función entre conjuntos parcialmente ordenados es Scott-continua si y solo si es continua con respecto a la topología de Scott. [1]
La topología de Scott fue definida por primera vez por Dana Scott para redes completas y luego definida para conjuntos parcialmente ordenados arbitrarios. [3]
Las funciones Scott-continuas se utilizan en el estudio de modelos para cálculos lambda [3] y la semántica denotacional de programas informáticos.
Una función Scott-continua es siempre monótona , lo que significa que si para , entonces .
Un subconjunto de un orden parcial completo dirigido es cerrado con respecto a la topología de Scott inducida por el orden parcial si y sólo si es un conjunto inferior y cerrado bajo la supremacía de los subconjuntos dirigidos. [4]
Un orden parcial completo dirigido (dcpo) con la topología de Scott es siempre un espacio de Kolmogorov (es decir, satisface el axioma de separación T 0 ). [4] Sin embargo, un dcpo con la topología de Scott es un espacio de Hausdorff si y solo si el orden es trivial. [4] Los conjuntos Scott-abiertos forman una red completa cuando se ordenan por inclusión . [5]
Para cualquier espacio de Kolmogorov, la topología induce una relación de orden en ese espacio, el orden de especialización : x ≤ y si y solo si cada entorno abierto de x es también un entorno abierto de y . La relación de orden de un dcpo D puede reconstruirse a partir de los conjuntos abiertos de Scott como el orden de especialización inducido por la topología de Scott. Sin embargo, un dcpo equipado con la topología de Scott no necesita ser sobrio : el orden de especialización inducido por la topología de un espacio sobrio convierte a ese espacio en un dcpo, pero la topología de Scott derivada de este orden es más fina que la topología original. [4]
Los conjuntos abiertos en un espacio topológico dado, cuando se ordenan por inclusión, forman una red en la que se puede definir la topología de Scott. Un subconjunto X de un espacio topológico T es compacto con respecto a la topología en T (en el sentido de que cada cobertura abierta de X contiene una subcobertura finita de X ) si y solo si el conjunto de vecindades abiertas de X es abierto con respecto a la topología de Scott. [5]
Para CPO , la categoría cartesiana cerrada de dcpo, dos ejemplos particularmente notables de funciones Scott-continuas son curry y apply . [6]
Nuel Belnap utilizó la continuidad de Scott para extender los conectivos lógicos a una lógica de cuatro valores . [7]
![{\displaystyle \sqcup f[D]=f(\sqcup D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c715897d8687fbb6c42ee7c69cce594ebed8447)
