Primer espacio contable

Espacio topológico donde cada punto tiene una base de vecindad contable.

En topología , una rama de las matemáticas , un primer espacio contable es un espacio topológico que satisface el "primer axioma de contabilidad ". Específicamente, se dice que un espacio es primero contable si cada punto tiene una base de vecindad contable (base local). Es decir, para cada punto de existe una secuencia de vecindades de tal que para cualquier vecindad de existe un número entero contenido en Dado que cada vecindad de cualquier punto contiene una vecindad abierta de ese punto, la base de vecindad se puede elegir sin pérdida de en general consistirá en barrios abiertos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N_{1},N_{2},\ldots }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle N.}$

Ejemplos y contraejemplos

La mayoría de los espacios "cotidianos" en matemáticas son contables en primer lugar. En particular, cada espacio métrico es contable en primer lugar. Para ver esto, observe que el conjunto de bolas abiertas centradas en con radio para números enteros forman una base local contable en ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/n}$ ${\displaystyle x.}$

Un ejemplo de un espacio que no es contable en primer lugar es la topología cofinita en un conjunto incontable (como la línea real ). De manera más general, la topología de Zariski en una variedad algebraica sobre un campo incontable no es contable en primer lugar.

Otro contraejemplo es el espacio ordinal donde está el primer número ordinal incontable . El elemento es un punto límite del subconjunto aunque ninguna secuencia de elementos tenga el elemento como límite. En particular, el punto en el espacio no tiene una base local contable. Sin embargo, dado que es el único punto de este tipo, el subespacio es el primero en contarse. ${\displaystyle \omega _{1}+1=\left[0,\omega _{1}\right]}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right)}$ ${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right)}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}+1=\left[0,\omega _{1}\right]}$ ${\displaystyle \omega _{1}}$ ${\displaystyle \omega _{1}=\left[0,\omega _{1}\right)}$

El espacio cociente donde los números naturales de la recta real se identifican como un solo punto no es primero contable. ^[1] Sin embargo, este espacio tiene la propiedad de que para cualquier subconjunto y cada elemento en el cierre de hay una secuencia en A que converge a A. El espacio con esta propiedad de secuencia a veces se llama espacio de Fréchet-Urysohn . ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {N} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle x.}$

La primera contabilización es estrictamente más débil que la segunda contabilización . Cada segundo espacio contable es el primero contable, pero cualquier espacio discreto incontable es el primero contable pero no el segundo contable.

Propiedades

Una de las propiedades más importantes de los primeros espacios contables es que dado un subconjunto, un punto se encuentra en el cierre de si y sólo si existe una secuencia que converge a ( En otras palabras, cada primer espacio contable es un espacio de Fréchet-Urysohn espacio y por lo tanto también un espacio secuencial .) Esto tiene consecuencias para los límites y la continuidad . En particular, si es una función en un primer espacio contable, entonces tiene un límite en el punto si y solo si para cada secuencia donde para todos tenemos. Además, si es una función en un primer espacio contable, entonces es continua si y sólo si cuando sea entonces ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x_{n}\to x,}$ ${\displaystyle x_{n}\neq x}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle f\left(x_{n}\right)\to L.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{n}\to x,}$ ${\displaystyle f\left(x_{n}\right)\to f(x).}$

En los primeros espacios contables, la compacidad secuencial y la compacidad contable son propiedades equivalentes. Sin embargo, existen ejemplos de espacios secuencialmente compactos, primero contables, que no son compactos (estos no son necesariamente espacios metrizables). Uno de esos espacios es el espacio ordinal. Cada primer espacio contable se genera de forma compacta . ${\displaystyle \left[0,\omega _{1}\right).}$

Cada subespacio de un espacio contable en primer lugar es contable en primer lugar. Cualquier producto contable de un primer espacio contable es primero contable, aunque los productos incontables no tienen por qué serlo.

Ver también

• Espacio Fréchet-Urysohn  - Propiedad del espacio topológico
• Segundo espacio contable  : espacio topológico cuya topología tiene una base contable
• Espacio separable  : espacio topológico con un subconjunto contable denso
• Espacio secuencial  - Espacio topológico caracterizado por secuencias

Referencias

1. (Engelking 1989, ejemplo 1.6.18)

Bibliografía

• "primer axioma de contabilidad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Serie Sigma en Matemática Pura, vol. 6 (Ed. revisada y completada). Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3885380064.