Preferencias convexas

Concepto en economía

En economía , las preferencias convexas son la elección que hace un individuo de distintos resultados, normalmente en relación con las cantidades de diversos bienes consumidos, con la propiedad de que, en términos generales, "los promedios son mejores que los extremos". El concepto se corresponde aproximadamente con el concepto de utilidad marginal decreciente sin necesidad de funciones de utilidad .

Notación

Comparable a la relación de ordenación mayor o igual a para números reales, la notación a continuación se puede traducir como: 'es al menos tan bueno como' (en satisfacción de preferencias ). ${\displaystyle \geq }$ ${\displaystyle \succeq }$

De manera similar, puede traducirse como 'es estrictamente mejor que' (en satisfacción de preferencias), y de manera similar, puede traducirse como 'es equivalente a' (en satisfacción de preferencias). ${\displaystyle \succ }$ ${\displaystyle \sim }$

Definición

Utilice x , y y z para denotar tres paquetes de consumo (combinaciones de distintas cantidades de distintos bienes). Formalmente, una relación de preferencia en el conjunto de consumo X se llama convexa si siempre que ${\displaystyle \succeq }$

${\displaystyle x,y,z\in X}$donde y , ${\displaystyle y\succeq x}$ ${\displaystyle z\succeq x}$

entonces para cada : ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )z\succeq x}$.

es decir, para dos paquetes que se consideran al menos tan buenos como un tercer paquete, un promedio ponderado de los dos paquetes se considera al menos tan bueno como el tercer paquete.

Una relación de preferencia se denomina estrictamente convexa si siempre que ${\displaystyle \succeq }$

${\displaystyle x,y,z\in X}$donde , , y , ${\displaystyle y\succeq x}$ ${\displaystyle z\succeq x}$ ${\displaystyle y\neq z}$

entonces para cada : ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )z\succ x}$

es decir, para dos paquetes distintos que se consideran al menos tan buenos como un tercer paquete, un promedio ponderado de los dos paquetes (incluyendo una cantidad positiva de cada paquete) se considera estrictamente mejor que el tercer paquete. ^{[1] [2]}

Definición alternativa

Utilice x e y para denotar dos paquetes de consumo. Una relación de preferencia se llama convexa si para cualquier ${\displaystyle \succeq }$

${\displaystyle x,y\in X}$dónde ${\displaystyle y\succeq x}$

entonces para cada : ${\displaystyle \theta \in [0,1]}$

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )x\succeq x}$.

Es decir, si se prefiere un paquete y a un paquete x , entonces cualquier combinación de y con x sigue siendo preferida a x . ^[3]

Una relación de preferencia se denomina estrictamente convexa si siempre que

${\displaystyle x,y\in X}$donde , y , ${\displaystyle y\sim x}$ ${\displaystyle x\neq y}$

entonces para cada : ${\displaystyle \theta \in (0,1)}$

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )x\succ x}$.

${\displaystyle \theta y+(1-\theta )x\succ y}$.

Es decir, para dos paquetes que se consideran equivalentes, un promedio ponderado de los dos paquetes es mejor que cada uno de estos paquetes. ^[4]

Ejemplos

1. Si sólo hay un único tipo de producto, entonces cualquier relación de preferencia débilmente monótona creciente es convexa. Esto se debe a que, si , entonces cada promedio ponderado de y y ס es también . ${\displaystyle y\geq x}$ ${\displaystyle \geq x}$

2. Consideremos una economía con dos tipos de productos, 1 y 2. Consideremos una relación de preferencia representada por la siguiente función de utilidad de Leontief :

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\min(x_{1},x_{2})}$

Esta relación de preferencia es convexa. Demostración : supongamos que x e y son dos paquetes equivalentes, es decir , . Si el producto de cantidad mínima en ambos paquetes es el mismo (por ejemplo, el producto 1), esto implica . Entonces, cualquier promedio ponderado también tiene la misma cantidad del producto 1, por lo que cualquier promedio ponderado es equivalente a y . Si el producto mínimo en cada paquete es diferente (por ejemplo, pero ), esto implica . Entonces y , por lo que . Esta relación de preferencia es convexa, pero no estrictamente convexa. ${\displaystyle \min(x_{1},x_{2})=\min(y_{1},y_{2})}$ ${\displaystyle x_{1}=y_{1}\leq x_{2},y_{2}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x_{1}\leq x_{2}}$ ${\displaystyle y_{1}\geq y_{2}}$ ${\displaystyle x_{1}=y_{2}\leq x_{2},y_{1}}$ ${\displaystyle \theta x_{1}+(1-\theta )y_{1}\geq x_{1}}$ ${\displaystyle \theta x_{2}+(1-\theta )y_{2}\geq y_{2}}$ ${\displaystyle \theta x+(1-\theta )y\succeq x,y}$

3. Una relación de preferencia representada por funciones de utilidad lineales es convexa, pero no estrictamente convexa. Siempre que , cada combinación convexa de es equivalente a cualquiera de ellas. ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle x,y}$

4. Consideremos una relación de preferencia representada por:

${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=\max(x_{1},x_{2})}$

Esta relación de preferencia no es convexa. Demostración : sean y . Entonces , dado que ambos tienen una utilidad de 5, la combinación convexa es peor que ambos, ya que su utilidad es 4. ${\displaystyle x=(3,5)}$ ${\displaystyle y=(5,3)}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle 0.5x+0.5y=(4,4)}$

Relación con las curvas de indiferencia y las funciones de utilidad

Un conjunto de curvas de indiferencia con forma convexa muestra preferencias convexas: dada una curva de indiferencia convexa que contiene el conjunto de todos los paquetes (de dos o más bienes) que se consideran igualmente deseados, el conjunto de todos los paquetes de bienes que se consideran al menos tan deseados como aquellos en la curva de indiferencia es un conjunto convexo .

Las preferencias convexas con su correspondiente función de indiferencia convexa surgen de funciones de utilidad cuasi-cóncavas , aunque éstas no son necesarias para el análisis de las preferencias. Por ejemplo, las funciones de utilidad de elasticidad constante de sustitución (CES) describen preferencias convexas y homotéticas. Las preferencias CES son autoduales y tanto las preferencias CES primarias como las duales dan lugar a sistemas de curvas de indiferencia que pueden exhibir cualquier grado de convexidad. ^[5]

Véase también

• Función convexa
• Conjunto de niveles
• Función cuasi-convexa
• Función semicontinua
• Lema de Shapley-Folkman

Referencias

1. Hal R. Varian ; Microeconomía intermedia: un enfoque moderno . Nueva York: WW Norton & Company. ISBN  0-393-92702-4
2. Mas-Colell, Andreu ; Whinston, Michael ; y Green, Jerry (1995). Teoría microeconómica . Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-507340-9 
3. Board, Simon (6 de octubre de 2009). "Preferencias y utilidad" (PDF) . Econ 11. Teoría microeconómica. Otoño de 2009. Universidad de California, Los Ángeles.
4. Sanders, Nicholas J. "Preferencia y utilidad: revisión básica y ejemplos" (PDF) . College of William & Mary . Archivado desde el original (PDF) el 20 de marzo de 2013.
5. Baltas, George (2001). "Sistemas de demanda de marca consistentes con la utilidad con consumo de categorías endógenas: principios y aplicaciones de marketing". Decision Sciences . 32 (3): 399–422. doi :10.1111/j.1540-5915.2001.tb00965.x.