Elipsoide de Poinsot

Método geométrico para visualizar un cuerpo rígido giratorio.

En mecánica clásica , la construcción de Poinsot (según Louis Poinsot ) es un método geométrico para visualizar el movimiento sin par de un cuerpo rígido giratorio , es decir, el movimiento de un cuerpo rígido sobre el que no actúan fuerzas externas. Este movimiento tiene cuatro constantes: la energía cinética del cuerpo y las tres componentes del momento angular , expresadas con respecto a un sistema inercial de laboratorio. El vector velocidad angular del rotor rígido no es constante , pero satisface las ecuaciones de Euler . La conservación de la energía cinética y el momento angular proporcionan dos restricciones al movimiento de . ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Sin resolver explícitamente estas ecuaciones, el movimiento se puede describir geométricamente de la siguiente manera: ^[1] ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

• El movimiento del cuerpo rígido está enteramente determinado por el movimiento de su elipsoide de inercia , que está rígidamente fijado al cuerpo rígido como un marco de coordenadas.
• Su elipsoide de inercia rueda, sin deslizarse, sobre el plano invariable , con el centro del elipsoide a una altura constante sobre el plano.
• En todo momento, está el punto de contacto entre el elipsoide y el plano. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

El movimiento es periódico, por lo que traza dos curvas cerradas, una en el elipsoide y otra en el plano. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

• La curva cerrada del elipsoide es el polhode .
• La curva cerrada en el plano es la herpolhode .

Si el cuerpo rígido es simétrico (tiene dos momentos de inercia iguales ), el vector describe un cono (y su punto final un círculo). Se trata de la precesión sin par del eje de rotación del rotor. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Restricción de energía cinética angular

La ley de conservación de la energía implica que en ausencia de disipación de energía o pares aplicados, la energía cinética angular se conserva, por lo que . ${\displaystyle T\ }$ ${\textstyle {\frac {dT}{dt}}=0}$

La energía cinética angular se puede expresar en términos del tensor de momento de inercia y el vector de velocidad angular. ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}={\frac {1}{2}}I_{1}\omega _{1}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{2}\omega _{2}^{2}+{\frac {1}{2}}I_{3}\omega _{3}^{2}}$

donde están las componentes del vector velocidad angular y los principales momentos de inercia cuando ambos están en la estructura de la carrocería. Así, la conservación de la energía cinética impone una restricción al vector de velocidad angular tridimensional ; en el marco del eje principal, debe reposar sobre el elipsoide definido por la ecuación anterior, llamado elipsoide de inercia . ${\displaystyle \omega _{k}\ }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle I_{k}\ }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

El camino trazado en este elipsoide por el vector de velocidad angular se llama polhode (acuñado por Poinsot de las raíces griegas para "camino del polo") y generalmente tiene forma circular o de taco . ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Restricción de momento angular

La ley de conservación del momento angular establece que, en ausencia de pares aplicados, el vector del momento angular se conserva en un sistema de referencia inercial , por lo que . ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\textstyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=0}$

El vector de momento angular se puede expresar en términos del tensor de momento de inercia y el vector de velocidad angular. ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}}$

lo que lleva a la ecuación

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\omega }}\cdot \mathbf {L} .}$

Dado que el producto escalar de y es constante, y él mismo es constante, el vector velocidad angular tiene una componente constante en la dirección del vector momento angular . Esto impone una segunda restricción al vector ; en el espacio absoluto, debe estar en el plano invariable definido por su producto escalar con el vector conservado . El vector normal al plano invariable está alineado con . El camino trazado por el vector de velocidad angular en el plano invariable se llama herpolhode (acuñado de raíces griegas que significan "camino polar serpentino"). ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

El herpolhode es generalmente una curva abierta, lo que significa que la rotación no se repite perfectamente, pero el polhode es una curva cerrada (ver más abajo). ^[2]

Condición de tangencia y construcción.

Estas dos limitaciones operan en marcos de referencia diferentes; la restricción elipsoidal se mantiene en el marco del eje principal (giratorio), mientras que la constante plana invariable opera en el espacio absoluto. Para relacionar estas restricciones, observamos que el vector gradiente de la energía cinética con respecto al vector de velocidad angular es igual al vector de momento angular. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

${\displaystyle {\frac {dT}{d{\boldsymbol {\omega }}}}=\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {L} .}$

Por lo tanto, el vector normal al elipsoide de energía cinética en es proporcional a , lo que también es cierto para el plano invariable. Como sus vectores normales apuntan en la misma dirección, estas dos superficies se cruzarán tangencialmente. ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

En conjunto, estos resultados muestran que, en un sistema de referencia absoluto, el vector velocidad angular instantánea es el punto de intersección entre un plano fijo invariable y un elipsoide de energía cinética que es tangente a él y rueda sobre él sin deslizarse. Esta es la construcción de Poinsot . ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Derivación de los polhodes en la estructura del cuerpo.

En el marco del eje principal (que gira en el espacio absoluto), el vector del momento angular no se conserva incluso en ausencia de pares aplicados, sino que varía como lo describen las ecuaciones de Euler . Sin embargo, en ausencia de pares aplicados, la magnitud del momento angular y la energía cinética se conservan. ${\displaystyle L\ }$ ${\displaystyle T\ }$

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{2}&=L_{1}^{2}+L_{2}^{2}+L_{3}^{2}\\[2pt]T&={\frac {L_{1}^{2}}{2I_{1}}}+{\frac {L_{2}^{2}}{2I_{2}}}+{\frac {L_{3}^{2}}{2I_{3}}}\end{aligned}}}$

donde son las componentes del vector momento angular a lo largo de los ejes principales y son los momentos principales de inercia. ${\displaystyle L_{k}\ }$ ${\displaystyle I_{k}\ }$

Estas leyes de conservación equivalen a dos restricciones al vector de momento angular tridimensional . La energía cinética se limita a recaer en un elipsoide, mientras que la restricción del momento angular se limita a recaer en una esfera . Estas dos superficies se cruzan en dos curvas con forma de borde de taco que definen las posibles soluciones . Esto muestra que , y el polhode, permanecen en un circuito cerrado, en el marco de referencia en movimiento del objeto. ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

Por tanto, la orientación del cuerpo en el espacio tiene dos grados de libertad. En primer lugar, algún punto en el "borde del taco" tiene que alinearse con el cual es un vector constante en el espacio absoluto. En segundo lugar, con el vector en la estructura del cuerpo que pasa por este punto fijo, el cuerpo puede tener cualquier cantidad de rotación alrededor de ese vector. Entonces, en principio, la orientación del cuerpo es algún punto en una variedad toroidal de 2 dentro de la variedad de 3 de todas las orientaciones. En general, el objeto seguirá una trayectoria no periódica en este toroide, pero puede seguir una trayectoria periódica. El tiempo necesario para completar un ciclo alrededor de su trayectoria en el marco del cuerpo es constante, pero después de un ciclo el cuerpo habrá girado una cantidad que puede no ser un número racional de grados, en cuyo caso la orientación no será periódica. pero casi periódico . ${\displaystyle \mathbf {L} ,}$ ${\displaystyle \mathbf {L} }$

En general, un toro está casi determinado por tres parámetros: la relación entre el segundo y tercer momento de inercia y el mayor de los tres momentos de inercia, y la relación que relaciona el momento angular con la energía multiplicada por el momento de inercia más alto. Pero para cualquier conjunto de parámetros hay dos tori, porque hay dos "tacos" (correspondientes a dos polhodes). Un conjunto de rotaciones de 180° lleva cualquier orientación de un toro a la orientación del otro con el punto opuesto alineado con el vector de momento angular. Si el momento angular está exactamente alineado con un eje principal, el toro degenera en un solo bucle. Si exactamente dos momentos de inercia son iguales (un llamado cuerpo simétrico), entonces además de toros habrá un número infinito de bucles, y si los tres momentos de inercia son iguales, habrá bucles pero no toros. Si los tres momentos de inercia son todos diferentes pero el eje intermedio no está alineado con el momento angular, entonces la orientación será algún punto en un anillo topológico abierto . ${\displaystyle L^{2}/(TI_{3})}$ ${\displaystyle L^{2}=TI_{2}}$

Inestabilidad de rotación

Por todo esto, cuando el vector velocidad angular (o el vector momento angular) no está cerca del eje de mayor o menor inercia, el cuerpo "cae". La mayoría de las lunas giran más o menos alrededor de su eje de mayor inercia (debido a efectos viscosos), pero Hiperión (una luna de Saturno), dos lunas de Plutón y muchos otros cuerpos pequeños del Sistema Solar tienen rotaciones giratorias.

Demostración del efecto Dzhanibekov en microgravedad , NASA .

Si el cuerpo se hace girar sobre su eje principal intermedio, entonces la intersección del elipsoide y la esfera es como dos bucles que se cruzan en dos puntos, alineados con ese eje. Si la alineación con el eje intermedio no es perfecta entonces eventualmente se saldrá de este punto por una de las cuatro pistas que parten de este punto, y se dirigirá al punto opuesto. Esto corresponde a moverse a su antípoda en el elipsoide de Poinsot. Vea el vídeo a la derecha y el teorema de la raqueta de tenis . ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Esta construcción difiere de la construcción de Poinsot porque considera el vector de momento angular en lugar del vector de velocidad angular . Parece haber sido desarrollado por Jacques Philippe Marie Binet . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle \mathbf {L} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$

Caso especial

En el caso general de la rotación de un cuerpo asimétrico, que tiene diferentes valores del momento de inercia alrededor de los tres ejes principales, el movimiento de rotación puede ser bastante complejo a menos que el cuerpo gire alrededor de un eje principal. Como se describe en el teorema de la raqueta de tenis , la rotación de un objeto alrededor de su primer o tercer eje principal es estable, mientras que la rotación alrededor de su segundo eje principal (o eje intermedio) no lo es. El movimiento se simplifica en el caso de un cuerpo axisimétrico, en el que el momento de inercia es el mismo alrededor de dos de los ejes principales. Estos casos incluyen la rotación de un esferoide alargado (la forma de una pelota de fútbol americano) o la rotación de un esferoide achatado (la forma de una esfera aplanada). En este caso, la velocidad angular describe un cono y el polhode es un círculo. Este análisis es aplicable, por ejemplo, a la precesión axial de la rotación de un planeta (el caso de un esferoide achatado).

Aplicaciones

Una de las aplicaciones de la construcción de Poinsot es visualizar la rotación de una nave espacial en órbita. ^[3]

Ver también

• pólhode
• Precesión
• Ejes principales
• Dinámica del cuerpo rígido
• Momento de inercia
• Rotaciones de Tait-Bryan
• ángulos de euler
• elipsoide de MacCullagh
• cascabel

Referencias

1. Goldstein, Herbert; John L. Safko; Charles P. Poole (2011). "5.6 Movimiento sin torsión de un cuerpo rígido". Mecánica clásica (Tercera ed.). ISBN 978-81-317-5891-5. OCLC  960166650.
2. Jerry Ginsberg. "Efectos giroscópicos", Dinámica de ingeniería, volumen 10, p. 650, Prensa de la Universidad de Cambridge, 2007
3. F. Landis Markley y John L. Crassidis, Capítulo 3.3, "Dinámica de actitudes", p. 89; Fundamentos de la determinación y el control de la actitud de las naves espaciales, Serie de ingeniería y tecnología Springer, 2014.

Fuentes

• Poinsot (1834) Theorie Nouvelle de la Rotation des Corps , Bachelier, París.
• Landau LD y Lifshitz EM (1976) Mecánica , 3º. ed., Prensa de Pérgamo. ISBN 0-08-021022-8 (tapa dura) e ISBN 0-08-029141-4 (tapa blanda).  
• Goldstein H. (1980) Mecánica clásica , 2ª. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9 
• Symon KR. (1971) Mecánica , 3º. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-07392-7 

enlaces externos

• Construcción de Poinsot en simulación estéreo 3D: en línea y gratis.