Constante de movimiento

En mecánica , una constante de movimiento es una cantidad física que se conserva durante todo el movimiento y que, en efecto, impone una restricción al movimiento. Sin embargo, es una restricción matemática , la consecuencia natural de las ecuaciones de movimiento , en lugar de una restricción física (que requeriría fuerzas de restricción adicionales). Algunos ejemplos comunes son la energía , el momento lineal , el momento angular y el vector de Laplace-Runge-Lenz (para las leyes de fuerza del cuadrado inverso ).

Aplicaciones

Las constantes de movimiento son útiles porque permiten derivar propiedades del movimiento sin resolver las ecuaciones de movimiento . En casos afortunados, incluso la trayectoria del movimiento puede derivarse como la intersección de isosuperficies correspondientes a las constantes de movimiento. Por ejemplo, la construcción de Poinsot muestra que la rotación sin par de un cuerpo rígido es la intersección de una esfera (conservación del momento angular total) y un elipsoide (conservación de la energía), una trayectoria que de otro modo podría ser difícil de derivar y visualizar. Por lo tanto, la identificación de constantes de movimiento es un objetivo importante en mecánica .

Métodos para identificar constantes de movimiento

Existen varios métodos para identificar constantes de movimiento.

• El enfoque más simple pero menos sistemático es la derivación intuitiva ("psíquica"), en la que se plantea la hipótesis de que una cantidad es constante (quizás debido a datos experimentales ) y luego se demuestra matemáticamente que se conserva a lo largo del movimiento.
• Las ecuaciones de Hamilton-Jacobi proporcionan un método común y sencillo para identificar constantes de movimiento, particularmente cuando el hamiltoniano adopta formas funcionales reconocibles en coordenadas ortogonales .
• Otro enfoque es reconocer que una cantidad conservada corresponde a una simetría del lagrangiano . El teorema de Noether proporciona una forma sistemática de derivar tales cantidades a partir de la simetría. Por ejemplo, la conservación de la energía resulta de la invariancia del lagrangiano bajo cambios en el origen del tiempo , la conservación del momento lineal resulta de la invariancia del lagrangiano bajo cambios en el origen del espacio ( simetría traslacional ) y la conservación del momento angular resulta de la invariancia del lagrangiano bajo rotaciones . Lo inverso también es cierto; cada simetría del lagrangiano corresponde a una constante de movimiento, a menudo llamada carga o corriente conservada .
• Una cantidad es una constante del movimiento si su derivada temporal total es cero lo que ocurre cuando el corchete de Poisson con el hamiltoniano es igual a menos su derivada parcial con respecto al tiempo ^[1] ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle 0={\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+\{A,H\},}$$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial t}}=-\{A,H\}.}$$

Otro resultado útil es el teorema de Poisson , que establece que si dos cantidades y son constantes de movimiento, también lo es su corchete de Poisson . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \{A,B\}}$

Un sistema con n grados de libertad y n constantes de movimiento, tales que el corchete de Poisson de cualquier par de constantes de movimiento se anula, se conoce como un sistema completamente integrable . Se dice que una colección de constantes de movimiento de este tipo está en involución entre sí. Para un sistema cerrado ( lagrangiano no explícitamente dependiente del tiempo), la energía del sistema es una constante de movimiento (una cantidad conservada ).

En mecánica cuántica

Una cantidad observable Q será una constante de movimiento si conmuta con el hamiltoniano H y no depende explícitamente del tiempo. Esto se debe a que donde es la relación del conmutador . $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle \psi |Q|\psi \rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|\left[H,Q\right]\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle \,}$$ $${\displaystyle [H,Q]=HQ-QH\,}$$

Derivación

Digamos que hay alguna cantidad observable Q que depende de la posición, el momento y el tiempo, $${\displaystyle Q=Q(x,p,t)}$$

Y además, que existe una función de onda que obedece la ecuación de Schrödinger. $${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=H\psi .}$$

Para tomar la derivada temporal del valor esperado de Q se requiere el uso de la regla del producto y el resultado es $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left\langle Q\right\rangle &={\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right|Q\left|\psi \right\rangle \\[1ex]&=\left({\frac {d}{dt}}\left\langle \psi \right|\right)Q\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|Q\left({\frac {d}{dt}}\left|\psi \right\rangle \right)\\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle H\psi \right|Q\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|Q\left|H\psi \right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|HQ\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|QH\left|\psi \right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \psi \right|\left[H,Q\right]\left|\psi \right\rangle +\left\langle \psi \right|{\frac {dQ}{dt}}\left|\psi \right\rangle \end{aligned}}}$$

Así que finalmente,

Comentario

Para un estado arbitrario de un sistema mecánico cuántico, si H y Q conmutan, es decir, si y Q no dependen explícitamente del tiempo, entonces $${\displaystyle \left[H,Q\right]=0}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0}$$

Pero si es una función propia del hamiltoniano, entonces incluso si sigue siendo el caso que Q es independiente del tiempo. ${\displaystyle \psi }$ $${\displaystyle \left[H,Q\right]\neq 0}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =0}$$

Derivación

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |\left[H,Q\right]|\psi \rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi |\left(HQ-QH\right)|\psi \rangle }$$Desde entonces, esta es la razón por la cual los estados propios del hamiltoniano también se denominan estados estacionarios. $${\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle \,}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\langle Q\rangle &=-{\frac {1}{i\hbar }}\left(E\langle \psi |Q|\psi \rangle -E\langle \psi |Q|\psi \rangle \right)\\[1ex]&=0\end{aligned}}}$$

Relevancia para el caos cuántico

En general, un sistema integrable tiene constantes de movimiento distintas de la energía. Por el contrario, la energía es la única constante de movimiento en un sistema no integrable ; tales sistemas se denominan caóticos. En general, un sistema mecánico clásico solo se puede cuantificar si es integrable; a partir de 2024, no se conoce ningún método consistente para cuantificar sistemas dinámicos caóticos.

Integral de movimiento

Una constante de movimiento puede definirse en un campo de fuerza dado como cualquier función de coordenadas del espacio de fases (posición y velocidad, o posición y momento) y tiempo que sea constante a lo largo de una trayectoria. Un subconjunto de las constantes de movimiento son las integrales de movimiento , o primeras integrales , definidas como cualquier función de solo las coordenadas del espacio de fases que sean constantes a lo largo de una órbita. Toda integral de movimiento es una constante de movimiento, pero lo inverso no es cierto porque una constante de movimiento puede depender del tiempo. ^[2] Ejemplos de integrales de movimiento son el vector de momento angular, , o un hamiltoniano sin dependencia del tiempo, como . Un ejemplo de una función que es una constante de movimiento pero no una integral de movimiento sería la función para un objeto que se mueve a una velocidad constante en una dimensión. ${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {v} }$ ${\textstyle H(\mathbf {x} ,\mathbf {v} )={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle C(x,v,t)=x-vt}$

Observables de Dirac

Para extraer información física de las teorías de calibre , se construyen observables invariantes de calibre o se fija un calibre. En un lenguaje canónico, esto suele significar construir funciones que conmutan en el sentido de Poisson en la superficie de restricción con las restricciones de primera clase que generan el calibre o fijar el flujo de este último seleccionando puntos dentro de cada órbita de calibre. Dichos observables invariantes de calibre son, por tanto, las «constantes de movimiento» de los generadores de calibre y se denominan observables de Dirac.

Referencias

1. Landau, L.; Lifshitz, E. (1960). Mecánica . Prensa de Pérgamo. pag. 135.ISBN​ 0-7506-2896-0.
2. Binney, J. y Tremaine, S.: Dinámica galáctica. Princeton University Press. 27 de enero de 2008. ISBN 9780691130279. Consultado el 5 de mayo de 2011 .

• Griffiths, David J. (2004). Introducción a la mecánica cuántica (2.ª ed.) . Prentice Hall. ISBN 0-13-805326-X.