Ecuación de Sackur-Tetrode

Expresión de la entropía de un gas ideal monoatómico

La ecuación de Sackur-Tetrode es una expresión de la entropía de un gas ideal monatómico . ^[1]

Recibe su nombre de Hugo Martin Tetrode ^[2] (1895-1931) y Otto Sackur ^[3] (1880-1914), quienes lo desarrollaron independientemente como una solución de las ecuaciones de entropía y estadística de gases de Boltzmann, aproximadamente al mismo tiempo en 1912. ^[4]

Fórmula

La ecuación de Sackur-Tetrode expresa la entropía de un gas ideal monatómico en términos de su estado termodinámico, específicamente, su volumen , energía interna y número de partículas : ^{[1] [4]} ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\frac {S}{k_{\rm {B}}N}}=\ln \left[{\frac {V}{N}}\left({\frac {4\pi m}{3h^{2}}}{\frac {U}{N}}\right)^{3/2}\right]+{\frac {5}{2}},}$

donde es la constante de Boltzmann , es la masa de una partícula de gas y es la constante de Planck . ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle h}$

La ecuación también se puede expresar en términos de la longitud de onda térmica : ${\displaystyle \Lambda }$

${\displaystyle {\frac {S}{k_{\rm {B}}N}}=\ln \left({\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\right)+{\frac {5}{2}},}$

Curvas de entropía frente a temperatura de gases ideales clásicos y cuánticos ( gas de Fermi , gas de Bose ) en tres dimensiones. Aunque todas coinciden en gran medida a altas temperaturas, no coinciden a bajas temperaturas, donde la entropía clásica (ecuación de Sackur-Tetrode) comienza a acercarse a valores negativos.

Para obtener una derivación de la ecuación de Sackur-Tetrode, véase la paradoja de Gibbs . Para conocer las restricciones impuestas a la entropía de un gas ideal únicamente por la termodinámica, véase el artículo sobre el gas ideal .

Las expresiones anteriores suponen que el gas se encuentra en el régimen clásico y se describe mediante las estadísticas de Maxwell-Boltzmann (con "conteo correcto de Boltzmann"). A partir de la definición de la longitud de onda térmica , esto significa que la ecuación de Sackur-Tetrode es válida solo cuando

${\displaystyle {\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\gg 1.}$

La entropía predicha por la ecuación de Sackur-Tetrode se acerca al infinito negativo a medida que la temperatura se acerca a cero.

Constante de Sackur-Tetrode

La constante de Sackur-Tetrode , escrita S ₀ / R , es igual a S / k _B N evaluada a una temperatura de T  = 1  kelvin , a presión estándar (100 kPa o 101,325 kPa, a especificar), para un mol de un gas ideal compuesto de partículas de masa igual a la constante de masa atómica ( m _u  = 1.660 539 068 92 (52) × 10 ⁻²⁷  kg ‍ [ ^5] ). Su valor recomendado por CODATA para 2018 es:

S0 / R =_​−1,151 707 537 06 (45) para p ^o = 100 kPa ^[6]

S0 / R =_​−1,164 870 523 58 (45) para p ^o = 101,325 kPa. ^[7]

Interpretación de la teoría de la información

Además de la perspectiva termodinámica de la entropía , las herramientas de la teoría de la información se pueden utilizar para proporcionar una perspectiva de la información de la entropía . En particular, es posible derivar la ecuación de Sackur-Tetrode en términos de teoría de la información. La entropía general se representa como la suma de cuatro entropías individuales, es decir, cuatro fuentes distintas de información faltante. Estas son la incertidumbre posicional, la incertidumbre de los momentos, el principio de incertidumbre mecánico cuántico y la indistinguibilidad de las partículas. ^[8] Sumando las cuatro partes, la ecuación de Sackur-Tetrode se da como

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {S}{k_{\rm {B}}N}}&=[\ln V]+\left[{\frac {3}{2}}\ln \left(2\pi emk_{\rm {B}}T\right)\right]+[-3\ln h]+\left[-{\frac {\ln N!}{N}}\right]\\&\approx \ln \left[{\frac {V}{N}}\left({\frac {2\pi mk_{\rm {B}}T}{h^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\right]+{\frac {5}{2}}\end{aligned}}}$

La derivación utiliza la aproximación de Stirling , . Estrictamente hablando, el uso de argumentos acotados para los logaritmos es incorrecto, sin embargo, su uso es un "atajo" creado para simplificar. Si cada argumento logarítmico se dividiera por un valor estándar no especificado expresado en términos de una masa, longitud y tiempo estándar no especificados, estos valores estándar se cancelarían en el resultado final, lo que arrojaría la misma conclusión. Los términos de entropía individuales no serán absolutos, sino que dependerán de los estándares elegidos y diferirán con diferentes estándares por una constante aditiva. ${\displaystyle \ln N!\approx N\ln N-N}$

Referencias

1. Schroeder, Daniel V. (1999), Introducción a la física térmica , Addison Wesley Longman, ISBN 0-201-38027-7
2. H. Tetrode (1912) "Die chemische Konstante der Gase und das elementare Wirkungsquantum" (La constante química de los gases y el cuanto elemental de acción), Annalen der Physik 38 : 434–442. Véase también: H. Tetrode (1912) "Berichtigung zu meiner Arbeit: "Die chemische Konstante der Gase und das elementare Wirkungsquantum" " (Corrección a mi trabajo: "La constante química de los gases y el cuanto elemental de acción"), Annalen der Física 39 : 255–256.
3. Sackur publicó sus hallazgos en la siguiente serie de artículos:
   1. O. Sackur (1911) "Die Anwendung der kinetischen Theorie der Gase auf chemische Probleme" (La aplicación de la teoría cinética de los gases a problemas químicos), Annalen der Physik , 36 : 958–980.
   2. O. Sackur, "Die Bedeutung des elementaren Wirkungsquantums für die Gastheorie und die Berechnung der chemischen Konstanten" (La importancia del cuanto de acción elemental para la teoría de los gases y el cálculo de la constante química), Festschrift W. Nernst zu seinem 25jährigen Doktorjubiläum gewidmet von seinen Schülern (Halle an der Saale, Alemania: Wilhelm Knapp, 1912), páginas 405–423.
   3. O. Sackur (1913) "Die universelle Bedeutung des sog. elementaren Wirkungsquantums" (El significado universal del llamado cuanto elemental de acción), Annalen der Physik 40 : 67–86.
4. Grimus, Walter (2013). "Centenario de la ecuación Sackur-Tetrode". Annalen der Physik . 525 (3): A32-A35. arXiv : 1112.3748 . Código Bib : 2013AnP...525A..32G. doi : 10.1002/andp.201300720 . ISSN  0003-3804.
5. "Valor CODATA 2022: constante de masa atómica". Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024. Consultado el 18 de mayo de 2024 .
6. "Valor CODATA 2018: constante de Sackur–Tetrode". Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . 20 de mayo de 2019. Consultado el 20 de mayo de 2019 .
7. "Valor CODATA 2018: constante de Sackur–Tetrode". Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . 20 de mayo de 2019. Consultado el 20 de mayo de 2019 .
8. Ben-Naim, Arieh (2008), Adiós a la entropía: termodinámica estadística basada en información, World Scientific , ISBN 978-981-270-706-2, consultado el 12 de diciembre de 2017.

Lectura adicional

• Emch, GG; Liu, C. (2002), Lógica de la física termoestadística , Springer-Verlag , Capítulo 3: Teoría cinética de los gases.
• Koutsoyiannis, D. (2013), "Física de la incertidumbre, la paradoja de Gibbs y partículas indistinguibles", Estudios de historia y filosofía de la ciencia, parte B , 44 (4): 480–489, Bibcode :2013SHPMP..44..480K, doi :10.1016/j.shpsb.2013.08.007. (Esto deriva una ecuación de Sackur-Tetrode de una manera diferente, también basada en la información).
• Paños, FJ; Pérez, E. (2015), "Ecuación de Sackur-Tetrode en el laboratorio", European Journal of Physics , 36 (5): 055033, Bibcode :2015EJPh...36e5033J, doi :10.1088/0143-0807/36/5/055033, S2CID  124422176.
• Williams, Richard (2009), "La ecuación de Sackur-Tetrode: cómo la entropía se encontró con la mecánica cuántica", APS News , 18 (8).