Campo vectorial conservativo

Campo vectorial que es el gradiente de alguna función

En cálculo vectorial , un campo vectorial conservativo es un campo vectorial que es el gradiente de alguna función . ^[1] Un campo vectorial conservativo tiene la propiedad de que su integral de línea es independiente de la trayectoria; la elección de la trayectoria entre dos puntos no cambia el valor de la integral de línea. La independencia de la trayectoria de la integral de línea es equivalente a que el campo vectorial bajo la integral de línea sea conservativo. Un campo vectorial conservativo también es irrotacional ; en tres dimensiones, esto significa que tiene un rizo que se desvanece . Un campo vectorial irrotacional es necesariamente conservativo siempre que el dominio sea simplemente conexo .

Los campos vectoriales conservativos aparecen de forma natural en mecánica : son campos vectoriales que representan fuerzas de sistemas físicos en los que se conserva la energía . ^[2] Para un sistema conservativo, el trabajo realizado al moverse a lo largo de una trayectoria en un espacio de configuración depende únicamente de los puntos finales de la trayectoria, por lo que es posible definir una energía potencial que sea independiente de la trayectoria real tomada.

Trato informal

En un espacio bidimensional y tridimensional, existe una ambigüedad al tomar una integral entre dos puntos, ya que hay infinitos caminos entre los dos puntos; aparte de la línea recta formada entre los dos puntos, se podría elegir un camino curvo de mayor longitud, como se muestra en la figura. Por lo tanto, en general, el valor de la integral depende del camino tomado. Sin embargo, en el caso especial de un campo vectorial conservativo, el valor de la integral es independiente del camino tomado, que puede considerarse como una cancelación a gran escala de todos los elementos que no tienen un componente a lo largo de la línea recta entre los dos puntos. Para visualizar esto, imaginemos a dos personas escalando un acantilado; una decide escalar el acantilado subiendo verticalmente y la segunda decide caminar por un camino sinuoso que es más largo que la altura del acantilado, pero con un pequeño ángulo con la horizontal. Aunque los dos excursionistas han tomado rutas diferentes para llegar a la cima del acantilado, en la cima, ambos habrán ganado la misma cantidad de energía potencial gravitatoria. Esto se debe a que un campo gravitatorio es conservativo. ${\displaystyle d{R}}$

Representación de dos posibles caminos de integración. En verde se muestra el camino más simple posible; en azul se muestra una curva más complicada.

Explicación intuitiva

La litografía Ascendiendo y descendiendo de MC Escher ilustra un campo vectorial no conservativo, que se ha diseñado de forma que parezca el gradiente de la altura variable sobre el suelo (potencial gravitacional) a medida que uno se mueve por la escalera. El campo de fuerza que experimenta quien se mueve por la escalera no es conservativo, ya que uno puede regresar al punto de partida mientras asciende más de lo que desciende o viceversa, lo que da como resultado un trabajo distinto de cero realizado por la gravedad. En una escalera real, la altura sobre el suelo es un campo potencial escalar: uno tiene que subir exactamente tanto como baja para volver al mismo lugar, en cuyo caso el trabajo de la gravedad es cero. Esto sugiere que el trabajo realizado en la escalera es independiente de la trayectoria; equivalentemente, el campo de fuerza experimentado es conservativo (véase la sección posterior: Independencia de la trayectoria y campo vectorial conservativo). La situación representada en la impresión es imposible.

Definición

Se dice que un campo vectorial , donde es un subconjunto abierto de , es conservativo si existe un campo escalar ( continuamente diferenciable ) ^[3] en tal que ${\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$

$${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi .}$$

Aquí, denota el gradiente de . Como es continuamente diferenciable, es continua. Cuando se cumple la ecuación anterior, se denomina potencial escalar para . ${\displaystyle \nabla \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

El teorema fundamental del cálculo vectorial establece que, bajo ciertas condiciones de regularidad, cualquier campo vectorial puede expresarse como la suma de un campo vectorial conservativo y un campo solenoidal .

Independencia de trayectoria y campo vectorial conservativo

Independencia de trayectoria

Se dice que una integral de línea de un campo vectorial es independiente de la trayectoria si depende solo de dos puntos finales de la trayectoria integral, independientemente de qué trayectoria entre ellos se elija: ^[4] ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} }$$

para cualquier par de caminos integrales y entre un par dado de puntos finales de camino en . ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle U}$

La independencia de trayectoria también se expresa de manera equivalente como

$${\displaystyle \int _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =0}$$para cualquier camino cerrado suave por partes en donde los dos puntos finales son coincidentes. Dos expresiones son equivalentes ya que cualquier camino cerrado puede estar formado por dos caminos; de un punto final a otro punto final , y de a , por lo que donde es el inverso de y la última igualdad se cumple debido a la independencia del camino ${\displaystyle P_{c}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle P_{c}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ $${\displaystyle \int _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} +\int _{P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} -\int _{-P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =0}$$ ${\displaystyle -P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\textstyle \displaystyle \int _{P_{1}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\int _{-P_{2}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} .}$

Campo vectorial conservativo

Una propiedad clave de un campo vectorial conservativo es que su integral a lo largo de una trayectoria depende únicamente de los puntos finales de esa trayectoria, no de la ruta particular tomada. En otras palabras, si es un campo vectorial conservativo, entonces su integral de línea es independiente de la trayectoria. Supongamos que para algún campo escalar ( continuamente diferenciable ) ^[3] sobre como un subconjunto abierto de (por lo que es un campo vectorial conservativo que es continuo) y es una trayectoria diferenciable (es decir, puede parametrizarse mediante una función diferenciable ) en con un punto inicial y un punto terminal . Entonces el teorema del gradiente (también llamado teorema fundamental del cálculo para integrales de línea ) establece que ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ $${\displaystyle \int _{P}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=\varphi (B)-\varphi (A).}$$

Esto se cumple como consecuencia de la definición de una integral de línea , la regla de la cadena y el segundo teorema fundamental del cálculo . en la integral de línea es una diferencial exacta para un sistema de coordenadas ortogonales (por ejemplo, coordenadas cartesianas , cilíndricas o esféricas ). Dado que el teorema del gradiente es aplicable para una trayectoria diferenciable, la independencia de la trayectoria de un campo vectorial conservativo sobre curvas diferenciales por partes también se demuestra mediante la prueba por componente de curva diferenciable. ^[5] ${\displaystyle \mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\nabla {\varphi }\cdot d\mathbf {r} }$

Hasta ahora se ha demostrado que un campo vectorial conservativo es independiente de la trayectoria de la integral de línea. Por el contrario, si un campo vectorial continuo es independiente de la trayectoria (integral de línea), entonces es un campo vectorial conservativo , por lo que se cumple la siguiente afirmación bicondicional : ^[4] ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Para un campo vectorial continuo , donde es un subconjunto abierto de , es conservador si y solo si su integral de línea a lo largo de una ruta en es independiente de la ruta, lo que significa que la integral de línea depende solo de ambos puntos finales de la ruta independientemente de qué ruta entre ellos se elija. ${\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$

La prueba de esta afirmación inversa es la siguiente.

Rutas integrales de línea utilizadas para demostrar la siguiente afirmación: si la integral de línea de un campo vectorial es independiente de la trayectoria, entonces el campo vectorial es un campo vectorial conservativo.

${\displaystyle \mathbf {v} }$es un campo vectorial continuo cuya integral de línea es independiente de la trayectoria. Luego, hagamos una función definida como sobre una trayectoria arbitraria entre un punto de inicio elegido y un punto arbitrario . Como es independiente de la trayectoria, depende únicamente de y sin importar qué trayectoria entre estos puntos se elija. ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \varphi (x,y)=\int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }}$$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle (x,y)}$

Elijamos la ruta que se muestra a la izquierda de la figura de la derecha, donde se utiliza un sistema de coordenadas cartesianas bidimensionales . El segundo segmento de esta ruta es paralelo al eje, por lo que no hay cambios a lo largo del eje. La integral de línea a lo largo de esta ruta es Por la independencia de la ruta, su derivada parcial con respecto a (para tener derivadas parciales, debe ser continua). es ya que y son independientes entre sí. Expresemos como donde y son vectores unitarios a lo largo de los ejes y respectivamente, entonces, ya que , donde la última igualdad es del segundo teorema fundamental del cálculo . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle \int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=\int _{a,b}^{x_{1},y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }+\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }.}$$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x}}={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{a,b}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{a,b}^{x_{1},y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }+{\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }=0+{\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d{\mathbf {r} }}$$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle {\displaystyle \mathbf {v} }=P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j} }$ ${\displaystyle \mathbf {i} }$ ${\displaystyle \mathbf {j} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle d\mathbf {r} =dx\mathbf {i} +dy\mathbf {j} }$ $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\varphi (x,y)={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} ={\frac {\partial }{\partial x}}\int _{x_{1},y}^{x,y}P(t,y)dt=P(x,y)}$$

Un enfoque similar para la trayectoria integral de línea que se muestra a la derecha de la figura de la derecha da como resultado que se demuestra para el sistema de coordenadas cartesianas bidimensionales . Este método de prueba se puede ampliar directamente a un sistema de coordenadas ortogonales de mayor dimensión (por ejemplo, un sistema de coordenadas esféricas tridimensionales ) por lo que se demuestra el enunciado inverso. Aquí se encuentra otra prueba como el inverso del teorema del gradiente. ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial y}}\varphi (x,y)=Q(x,y)}$ $${\displaystyle \mathbf {v} =P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j} ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\mathbf {j} =\nabla \varphi }$$

Campos vectoriales irrotacionales

El campo vectorial anterior definido en , es decir, con la eliminación de todas las coordenadas en el eje (por lo que no es un espacio simplemente conectado), tiene un rotacional cero en y, por lo tanto, es irrotacional. Sin embargo, no es conservador y no tiene independencia de trayectoria. ${\displaystyle \mathbf {v} =\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right)}$ ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Sea (espacio tridimensional), y sea un campo vectorial ( continuamente diferenciable ), con un subconjunto abierto de . Entonces se llama irrotacional si su rotacional está en todas partes en , es decir, si ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle \mathbf {v} :U\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {0} }$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} .}$$

Por este motivo, a estos campos vectoriales se les denomina a veces campos vectoriales sin rizo o campos vectoriales sin rizo. También se les denomina campos vectoriales longitudinales .

Es una identidad del cálculo vectorial que para cualquier campo escalar ( continuamente diferenciable hasta la 2da derivada ) en , tenemos ${\displaystyle C^{2}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )\equiv \mathbf {0} .}$$

Por lo tanto, todo campo vectorial conservativo en es también un campo vectorial irrotacional en ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ . Este resultado se puede demostrar fácilmente expresando en un sistema de coordenadas cartesianas con el teorema de Schwarz (también llamado teorema de Clairaut sobre igualdad de parciales mixtos). ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \varphi )}$

Siempre que sea un espacio abierto simplemente conexo (en términos generales, un espacio abierto de una sola pieza sin un agujero en su interior), el inverso de esto también es cierto: todo campo vectorial irrotacional en un espacio abierto simplemente conexo es un campo vectorial conservativo en . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle U}$

La afirmación anterior no es cierta en general si no es simplemente conexo. Sea con la eliminación de todas las coordenadas en el eje (por lo que no es un espacio simplemente conexo), es decir, . Ahora, definamos un campo vectorial en por ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U=\mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,z)\mid z\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\left(-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}},{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}},0\right).}$$

Entonces tiene rotacional cero en todas partes en ( en todas partes en ), es decir, es irrotacional. Sin embargo, la circulación de alrededor del círculo unitario en el plano - es ; en coordenadas polares , , por lo que la integral sobre el círculo unitario es ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle xy}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {e} _{\phi }/r}$ $${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{\phi }~d{\phi }=2\pi .}$$

Por lo tanto, no tiene la propiedad de independencia de trayectoria analizada anteriormente, por lo que no es conservador incluso si, dado que donde está definido, no es un espacio abierto simplemente conexo. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} \equiv \mathbf {0} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

Digamos de nuevo que, en una región abierta simplemente conexa, un campo vectorial irrotacional tiene la propiedad de independencia de trayectoria (por lo que es conservativo). Esto se puede demostrar directamente utilizando el teorema de Stokes , para cualquier superficie lisa orientada cuyo límite sea una trayectoria cerrada simple . Por lo tanto, se concluye que En una región abierta simplemente conexa, cualquier campo vectorial que tenga la propiedad de independencia de trayectoria (por lo que es un campo vectorial conservativo) también debe ser irrotacional y viceversa. ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ $${\displaystyle \oint _{P_{c}}\mathbf {v} \cdot d\mathbf {r} =\iint _{A}(\nabla \times \mathbf {v} )\cdot d\mathbf {a} =0}$$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{c}}$ ${\displaystyle C^{1}}$

Abstracción

De manera más abstracta, en presencia de una métrica de Riemann , los campos vectoriales corresponden a formas diferenciales ${\displaystyle 1}$ . Los campos vectoriales conservativos corresponden a formas exactas , es decir, a las formas que son la derivada exterior de una función (campo escalar) en . Los campos vectoriales irrotacionales corresponden a formas cerradas , es decir, a las formas tales que . Como , cualquier forma exacta es cerrada, entonces cualquier campo vectorial conservativo es irrotacional. Por el contrario, todas las formas cerradas son exactas si es simplemente conexo . ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle d\phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle d\omega =0}$ ${\displaystyle d^{2}=0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle U}$

Vorticidad

La vorticidad de un campo vectorial se puede definir mediante: ${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\nabla \times \mathbf {v} .}$$

La vorticidad de un campo irrotacional es cero en todas partes. ^[6] El teorema de circulación de Kelvin establece que un fluido que es irrotacional en un flujo no viscoso seguirá siendo irrotacional. Este resultado se puede derivar de la ecuación de transporte de vorticidad , obtenida tomando el rotacional de las ecuaciones de Navier-Stokes .

En un campo bidimensional, la vorticidad actúa como una medida de la rotación local de los elementos del fluido. La vorticidad no implica nada sobre el comportamiento global de un fluido. Es posible que un fluido que se desplaza en línea recta tenga vorticidad, y es posible que un fluido que se desplaza en círculo sea irrotacional.

Fuerzas conservadoras

Ejemplos de campos potenciales y de gradiente en física:

•  Campos escalares, potenciales escalares:
  • V _G , potencial gravitacional
  • W _pot , energía potencial (gravitacional o electrostática)
  • V _C , Potencial de Coulomb
•  Campos vectoriales, campos de gradiente:
  • a _G , aceleración gravitacional
  • F , fuerza (gravitacional o electrostática)
  • E , intensidad del campo eléctrico

Si el campo vectorial asociado a una fuerza es conservativo, entonces se dice que la fuerza es una fuerza conservativa . ${\displaystyle \mathbf {F} }$

Los ejemplos más destacados de fuerzas conservativas son la fuerza gravitatoria (asociada a un campo gravitatorio) y la fuerza eléctrica (asociada a un campo electrostático). Según la ley de gravitación de Newton , una fuerza gravitatoria que actúa sobre una masa debido a una masa ubicada a una distancia de , obedece a la ecuación ${\displaystyle \mathbf {F} _{G}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle m}$

$${\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-{\frac {GmM}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }},}$$

donde es la constante gravitacional y es un vector unitario que apunta desde hacia . La fuerza de gravedad es conservativa porque , donde ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{G}=-\nabla \Phi _{G}}$

$${\displaystyle \Phi _{G}~{\stackrel {\text{def}}{=}}-{\frac {GmM}{r}}}$$

es la energía potencial gravitatoria . En otras palabras, el campo gravitatorio asociado con la fuerza gravitatoria es el gradiente del potencial gravitatorio asociado con la energía potencial gravitatoria . Se puede demostrar que cualquier campo vectorial de la forma es conservativo, siempre que sea integrable. ${\displaystyle {\frac {\mathbf {F} _{G}}{m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{G}}$ ${\displaystyle {\frac {\Phi _{G}}{m}}}$ ${\displaystyle \Phi _{G}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} =F(r){\hat {\mathbf {r} }}}$ ${\displaystyle F(r)}$

Para las fuerzas conservativas , la independencia de la trayectoria se puede interpretar como que el trabajo realizado al ir de un punto a otro es independiente de la trayectoria de movimiento elegida (dependiente únicamente de los puntos y ), y que el trabajo realizado al recorrer un bucle cerrado simple es : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 0}$

$${\displaystyle W=\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d{\mathbf {r} }=0.}$$

La energía total de una partícula que se mueve bajo la influencia de fuerzas conservativas se conserva, en el sentido de que una pérdida de energía potencial se convierte en una cantidad igual de energía cinética, o viceversa.

Véase también

• Campo vectorial de Beltrami
• Fuerza conservadora
• Sistema conservador
• Campo vectorial lamelar complejo
• Descomposición de Helmholtz
• Campo vectorial laplaciano
• Campos vectoriales longitudinales y transversales
• Campo vectorial solenoidal

Referencias

1. Marsden, Jerrold ; Tromba, Anthony (2003). Cálculo vectorial (Quinta ed.). WHFreedman and Company. págs. 550–561.
2. George B. Arfken y Hans J. Weber, Métodos matemáticos para físicos , sexta edición, Elsevier Academic Press (2005)
3. Para que sea independiente del camino, no es necesariamente continuamente diferenciable, la condición de ser diferenciable es suficiente, ya que el teorema del gradiente , que prueba la independencia del camino de , no requiere que sea continuamente diferenciable. Debe haber una razón para que la definición de campos vectoriales conservativos requiera que sea continuamente diferenciable . ${\displaystyle \mathbf {v} =\nabla \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \nabla \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$
4. Stewart, James (2015). "16.3 El teorema fundamental de las integrales de línea"". Cálculo (8.ª ed.). Cengage Learning. págs. 1127–1134. ISBN 978-1-285-74062-1.
5. Es necesario verificar si también existen diferenciales exactos para sistemas de coordenadas no ortogonales.
6. Liepmann, HW ; Roshko, A. (1993) [1957], Elementos de la dinámica de los gases , Courier Dover Publications, ISBN 0-486-41963-0, págs. 194–196.

Lectura adicional

• Acheson, DJ (1990). Dinámica de fluidos elemental . Oxford University Press. ISBN 0198596790.