Un conjunto de mosaicos autoensamblables , o setiset , de orden n es un conjunto de n formas o piezas, generalmente planas, cada una de las cuales puede ser enlosada con réplicas más pequeñas del conjunto completo de n formas. Es decir, las n formas pueden ensamblarse de n maneras diferentes para crear copias más grandes de sí mismas, donde el aumento de escala es el mismo en cada caso. La Figura 1 muestra un ejemplo para n = 4 usando decominoes de formas distintivas . El concepto puede extenderse para incluir piezas de mayor dimensión. El nombre setisets fue acuñado por Lee Sallows en 2012, [1] [2] pero el problema de encontrar tales conjuntos para n = 4 fue planteado décadas antes por C. Dudley Langford, y ejemplos de poliábolos (descubiertos por Martin Gardner , Wade E. Philpott y otros) y poliominós (descubiertos por Maurice J. Povah) fueron publicados previamente por Gardner. [3]
De la definición anterior se deduce que un setiset compuesto por n piezas idénticas es lo mismo que una 'ficha autorreplicante' o rep-tile , de la que los setisets son, por tanto, una generalización. [4] Los setisets que utilizan n formas distintas, como la Figura 1, se denominan perfectos . La Figura 2 muestra un ejemplo para n = 4 que es imperfecto porque dos de las formas de los componentes son iguales.
Las formas empleadas en un conjunto no tienen por qué ser regiones conectadas . También se permiten piezas disjuntas compuestas por dos o más islas separadas. Dichas piezas se describen como desconectadas o débilmente conectadas (cuando las islas se unen solo en un punto), como se ve en el conjunto que se muestra en la Figura 3.
La menor cantidad de piezas en un conjunto es dos. La figura 4 encapsula una familia infinita de conjuntos de orden 2, cada uno compuesto por dos triángulos, P y Q . Como se muestra, estos últimos se pueden unir mediante bisagras para producir un triángulo compuesto que tiene la misma forma que P o Q , dependiendo de si la bisagra está completamente abierta o completamente cerrada. Este ejemplar inusual proporciona un ejemplo de una disección con bisagras .
Las propiedades de los setisets hacen que sus piezas formen teselaciones de sustitución , o teselaciones en las que las prototiles pueden diseccionarse o combinarse para producir duplicados más pequeños o más grandes de sí mismas. Claramente, las acciones gemelas de formar copias cada vez más grandes (conocidas como inflación), o disecciones cada vez más pequeñas (deflación), pueden repetirse indefinidamente. De esta manera, los setisets pueden producir teselaciones no periódicas. Sin embargo, ninguna de las teselaciones no periódicas descubiertas hasta ahora califica como aperiódica , porque las prototiles siempre pueden reorganizarse para producir una teselación periódica. La figura 5 muestra las dos primeras etapas de inflación de un conjunto de orden 4 que conducen a una teselación no periódica.
Además de los conjuntos de teselas auto-mosaicos, que pueden interpretarse como bucles de longitud 1, existen bucles más largos, o cadenas cerradas de conjuntos, en los que cada conjunto tesela a su sucesor. [5] La figura 6 muestra un par de conjuntos de decominoes que se auto-mosaicoan , en otras palabras, un bucle de longitud 2. Sallows y Schotel hicieron una búsqueda exhaustiva de conjuntos de orden 4 que están compuestos de octominós . Además de siete setisets ordinarios (es decir, bucles de longitud 1), encontraron una variedad desconcertante de bucles de cada longitud hasta un máximo de 14. El número total de bucles identificados fue de casi un millón y medio. Aún queda más investigación en esta área, pero parece seguro suponer que otras formas también pueden implicar bucles. [6]
Hasta la fecha, se han utilizado dos métodos para producir conjuntos. En el caso de conjuntos compuestos de formas como los poliominós , que implican tamaños de piezas enteros, es posible una búsqueda de fuerza bruta por computadora, siempre que n , el número de piezas involucradas, no sea prohibitivo. Se demuestra fácilmente que n debe ser entonces un cuadrado perfecto . [4] Las figuras 1, 2, 3, 5 y 6 son ejemplos encontrados mediante este método.
Alternativamente, existe un método mediante el cual se pueden diseccionar múltiples copias de una ficha de reptil de ciertas maneras para obtener formas que creen conjuntos de conjuntos. Las figuras 7 y 8 muestran conjuntos de conjuntos producidos por este medio, en los que cada pieza es la unión de 2 y 3 fichas de reptil, respectivamente. En la figura 8 se puede ver cómo las 9 piezas de arriba juntas forman las 3 formas de fichas de reptil de abajo, mientras que cada una de las 9 piezas está formada a su vez por la unión de 3 de esas formas de fichas de reptil. Por lo tanto, cada forma puede ser teselada con duplicados más pequeños del conjunto completo de 9. [4]
